2. Представление числовой информации в компьютерных системах

Исторически первым видом данных, с которым стали работать компьютеры, были числа. Первые ЭВМ использовались исключительно для математических расчетов. В соответствии с принципами Джона фон Неймана, ЭВМ выполняет расчеты в двоичной системе счисления.

Структурные единицы памяти компьютера — бит, байт и машинное слово. Причем понятия бита и байта универсальны и не зависят от модели компьютера, а размер машинного слова зависит от типа процессора ЭВМ. Если машинное слово для данного компьютера равно одному байту, то такую машину называют 8-разрядной (8 бит); если машинное слово состоит из 2 байтов, то это 16-разрядный компьютер; 4-байтовое слово у 32-разрядных ЭВМ. Обсуждение вопроса о том, как представляются числа в памяти ЭВМ, будем вести на примере 16-разрядной машины.

Для кодирования целых чисел от 0 до 255 достаточно иметь 8 разрядов двоичного кода (8 бит). В таблице 1 представлены примеры преобразования десятичного числа в двоичный код.

Таблица 1

Десятичное число	Двоичный код
0	0000 0000
1	0000 0001
2	0000 0010
254	1111 1110
255	11111111

  Числа в памяти ЭВМ хранятся в двух форматах: в формате с фиксированной точкой и в формате с плавающей точкой. Под точкой здесь и в дальнейшем подразумевается знак разделения целой и дробной части числа. Формат с фиксированной точкой используется для хранения в памяти целых чисел. В этом случае число занимает одно машинное слово памяти (16 бит). Чтобы получить внутреннее представление целого положительного числа N в форме с фиксированной точкой нужно:

1. перевести число N в двоичную систему счисления;

2. полученный результат дополнить слева незначащими нулями до 16 разрядов.

Например, N = 1607₁₀ = 11001000111₂. Внутреннее представление этого числа в машинном слове будет следующим:

0000

0110

0100

0111

В сжатой шестнадцатеричной форме этот код запишется так: 0647.

Представление чисел в памяти компьютера имеет специфическую особенность, связанную с тем, что в памяти компьютера числа должны располагаться в байтах - минимальных по размеру адресуемых ячейках памяти. Адресом числа считают адрес первого байта. В байте может содержаться произвольный код из восьми двоичных разрядов.

Целые числа представляются в памяти компьютера с фиксированной запятой. В этом случае каждому разряду ячейки памяти компьютера соответствует один и тот же разряд числа, запятая расположена справа после младшего разряда (то есть вне разрядной сетки).

Для кодирования целых чисел от 0 до 65 535 требуется 16 бит; 24 бита позволяют закодировать больше 16,5 миллионов разных значений.

3. Системы счисления

Системы счисления — это символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. У каждой системы есть основание и разряды.

Основание системы счисления – это количество знаков, используемых для записи числа в этой системе. Основанием системы счислений, как правило, может являться любое натуральное число, но сегодня наиболее распространены десятичная, — она используется при обычном счете, — двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Основание системы счисления указывается подстрочным знаком после числа, например 101₂.

Разряд числа – это место цифры в числе. В зависимости от количества разрядов мы называем числа двузначными, трёхзначными, четырёхзначными и так далее.

Системы счисления подразделяются на:

• Позиционные

• Непозиционные

• Смешанные

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того разряда, где он расположен. Наиболее используемые позиционные системы счисления известны всем: это двоичная, которая используется в компьютерной технике, троичная, 8-ричная, 10-ричная, 12-ричная и 16-ричная.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания. В пример таких систем можно привести биномиальную, систему остаточных классов, а также систему счисления Штерна-Броко.

Смешанные системы счисления — это такие системы, в которых числа, заданные в системе счисления с основанием Р изображают с помощью цифр другой системы с основанием Q, где Q<P. Пример смешанной системы счисления — денежные знаки. Чтобы получить определенную сумму, нужно использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства. Таким образом, у этой системы целый ряд оснований, равный достоинствам денежных знаков, также используется основание той системы, с помощью которой производится их счет.