vm_labs / Лаб раб 10
.docСанкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
Кафедра МО ЭВМ
Вычислительная математика
Отчет
по выполнению лабораторной работы N10
Преподаватель: Щеголева Н.Л.
Студент группы 4351: Усенко А.В.
Санкт-Петербург, 2006
Постановка задачи
В лабораторной работе требуется, Используя подходящую интерполяционную формулу, вычислите в точках x1, x2, x3 значения функции, заданной таблицей, для узлов с равноотстоящим шагом.
Вариант задания – 16.
Функция:
|
X[ 0] = 0.3490 |
Y[ 0] = -0.4300 |
|
X[ 1] = 0.5590 |
Y[ 1] = -0.1060 |
|
X[ 2] = 0.7690 |
Y[ 2] = 0.0250 |
|
X[ 3] = 0.9790 |
Y[ 3] = 0.0220 |
|
X[ 4] = 1.1890 |
Y[ 4] = -0.0610 |
|
X[ 5] = 1.3990 |
Y[ 5] = -0.1710 |
|
X[ 6] = 1.6090 |
Y[ 6] = -0.2490 |
|
X[ 7] = 1.8190 |
Y[ 7] = -0.2410 |
|
X[ 8] = 2.0290 |
Y[ 8] = -0.0920 |
|
X[ 9] = 2.2390 |
Y[ 9] = 0.2540 |
|
X[10] = 2.4490 |
Y[10] = 0.8530 |
x1 = 2.2960; x2 = 0.9390; x3 = 1.3920
Общие сведения
Если
значения функции
заданы в точках
с постоянным положительным шагом, то
часто используется интерполяционный
многочлен Ньютона для интерполяции
вперед
,
(1.10)
где
,
а конечные разности
,
носящие названия нисходящих
разностей, находят из соотношений
,
.
Интерполяционный
многочлен (1.10) удобно использовать при
работе в начале таблицы значений функции
и для экстраполяции левее точки
.
Интерполяционный
многочлен с узлами
где
,
имеет вид
(1.11)
и
называется интерполяционным многочленом
Ньютона для интерполяции назад. Его
удобно использовать при интерполяции
в конце таблицы и для экстраполяции
правее точки
.
Входящие в выражение (1.11) значения
конечных восходящих разностей находят
из соотношений
,
..............................................
.
Если
при заданном
в таблице значений функции
с шагом
имеется достаточное число узлов с каждой
стороны от
,
то целесообразно узлы интерполяции
выбрать так, чтобы точка
оказалась как можно ближе к середине
минимального отрезка, содержащего узлы.
При этом обычно в качестве
берется ближайший к
узел, затем за
принимается ближайший к
узел, расположенный с противоположной
от
стороны, чем
.
Следующие узлы назначаются поочередно
с разных сторон от
и должны быть расположены как можно
ближе к
.
Одной из возможных схем интерполяции
в этом случае является схема Стирлинга
с интерполяционным многочленом вида
В
этом выражении учитывается, что дано
нечетное число
значений функции
,
где
.
Обычно эту формулу целесообразно
использовать при
.
Разработка программы
Программа построена следующим образом.
Точки функции и ее значения заданы в
двумерном массиве. Имеются 2 функции:
Newton, Lagrange,
которые производят интерполяцию по
схемам Ньютона и Лагранжа соответственно.
Функция Newton на каждом
шаге выводит значения конечных разностей.
Функция Lagrange на
каждом шаге выводит значения
интерполяционных многочленов
.
Результаты вычислений
********* Newton X1 **********
Order 1:
F(10) = 0.599000
F( 9) = 0.346000
F( 8) = 0.149000
F( 7) = 0.008000
F( 6) = -0.078000
F( 5) = -0.110000
F( 4) = -0.083000
F( 3) = -0.003000
F( 2) = 0.131000
F( 1) = 0.324000
Order 2:
F(10) = 0.253000
F( 9) = 0.197000
F( 8) = 0.141000
F( 7) = 0.086000
F( 6) = 0.032000
F( 5) = -0.027000
F( 4) = -0.080000
F( 3) = -0.134000
F( 2) = -0.193000
Order 3:
F(10) = 0.056000
F( 9) = 0.056000
F( 8) = 0.055000
F( 7) = 0.054000
F( 6) = 0.059000
F( 5) = 0.053000
F( 4) = 0.054000
F( 3) = 0.059000
Order 4:
F(10) = 0.000000
F( 9) = 0.001000
F( 8) = 0.001000
F( 7) = -0.005000
F( 6) = 0.006000
F( 5) = -0.001000
F( 4) = -0.005000
Order 5:
F(10) = -0.001000
F( 9) = -0.000000
F( 8) = 0.006000
F( 7) = -0.011000
F( 6) = 0.007000
F( 5) = 0.004000
Order 6:
F(10) = -0.001000
F( 9) = -0.006000
F( 8) = 0.017000
F( 7) = -0.018000
F( 6) = 0.003000
Order 7:
F(10) = 0.005000
F( 9) = -0.023000
F( 8) = 0.035000
F( 7) = -0.021000
Order 8:
F(10) = 0.028000
F( 9) = -0.058000
F( 8) = 0.056000
Order 9:
F(10) = 0.086000
F( 9) = -0.114000
Order 10:
F(10) = 0.200000
Function value = 0.387695
********* Lagrange X1 **********
P( 0) = -0.004373
P( 1) = 0.049015
P( 2) = -0.250900
P( 3) = 0.775752
P( 4) = -1.615098
P( 5) = 2.391858
P( 6) = -2.602495
P( 7) = 2.141856
P( 8) = -1.434923
P( 9) = 1.493662
P(10) = 0.055646
Function value = 0.387695
********* Newton X2 **********
Order 1:
F(10) = 0.599000
F( 9) = 0.346000
F( 8) = 0.149000
F( 7) = 0.008000
F( 6) = -0.078000
F( 5) = -0.110000
F( 4) = -0.083000
F( 3) = -0.003000
F( 2) = 0.131000
F( 1) = 0.324000
Order 2:
F(10) = 0.253000
F( 9) = 0.197000
F( 8) = 0.141000
F( 7) = 0.086000
F( 6) = 0.032000
F( 5) = -0.027000
F( 4) = -0.080000
F( 3) = -0.134000
F( 2) = -0.193000
Order 3:
F(10) = 0.056000
F( 9) = 0.056000
F( 8) = 0.055000
F( 7) = 0.054000
F( 6) = 0.059000
F( 5) = 0.053000
F( 4) = 0.054000
F( 3) = 0.059000
Order 4:
F(10) = 0.000000
F( 9) = 0.001000
F( 8) = 0.001000
F( 7) = -0.005000
F( 6) = 0.006000
F( 5) = -0.001000
F( 4) = -0.005000
Order 5:
F(10) = -0.001000
F( 9) = -0.000000
F( 8) = 0.006000
F( 7) = -0.011000
F( 6) = 0.007000
F( 5) = 0.004000
Order 6:
F(10) = -0.001000
F( 9) = -0.006000
F( 8) = 0.017000
F( 7) = -0.018000
F( 6) = 0.003000
Order 7:
F(10) = 0.005000
F( 9) = -0.023000
F( 8) = 0.035000
F( 7) = -0.021000
Order 8:
F(10) = 0.028000
F( 9) = -0.058000
F( 8) = 0.056000
Order 9:
F(10) = 0.086000
F( 9) = -0.114000
Order 10:
F(10) = 0.200000
Function value = 0.030187
********* Lagrange X2 **********
P( 0) = 0.000619
P( 1) = -0.009616
P( 2) = 0.096728
P( 3) = 1.096256
P( 4) = -0.306952
P( 5) = 0.200186
P( 6) = -0.114534
P( 7) = 0.049830
P( 8) = -0.015086
P( 9) = 0.002811
P(10) = -0.000242
Function value = 0.030187
********* Newton X3 **********
Order 1:
F(10) = 0.599000
F( 9) = 0.346000
F( 8) = 0.149000
F( 7) = 0.008000
F( 6) = -0.078000
F( 5) = -0.110000
F( 4) = -0.083000
F( 3) = -0.003000
F( 2) = 0.131000
F( 1) = 0.324000
Order 2:
F(10) = 0.253000
F( 9) = 0.197000
F( 8) = 0.141000
F( 7) = 0.086000
F( 6) = 0.032000
F( 5) = -0.027000
F( 4) = -0.080000
F( 3) = -0.134000
F( 2) = -0.193000
Order 3:
F(10) = 0.056000
F( 9) = 0.056000
F( 8) = 0.055000
F( 7) = 0.054000
F( 6) = 0.059000
F( 5) = 0.053000
F( 4) = 0.054000
F( 3) = 0.059000
Order 4:
F(10) = 0.000000
F( 9) = 0.001000
F( 8) = 0.001000
F( 7) = -0.005000
F( 6) = 0.006000
F( 5) = -0.001000
F( 4) = -0.005000
Order 5:
F(10) = -0.001000
F( 9) = -0.000000
F( 8) = 0.006000
F( 7) = -0.011000
F( 6) = 0.007000
F( 5) = 0.004000
Order 6:
F(10) = -0.001000
F( 9) = -0.006000
F( 8) = 0.017000
F( 7) = -0.018000
F( 6) = 0.003000
Order 7:
F(10) = 0.005000
F( 9) = -0.023000
F( 8) = 0.035000
F( 7) = -0.021000
Order 8:
F(10) = 0.028000
F( 9) = -0.058000
F( 8) = 0.056000
Order 9:
F(10) = 0.086000
F( 9) = -0.114000
Order 10:
F(10) = 0.200000
Function value = -0.167530
********* Lagrange X3 **********
P( 0) = 0.000027
P( 1) = -0.000333
P( 2) = 0.002003
P( 3) = -0.008058
P( 4) = 0.028689
P( 5) = 0.998374
P( 6) = -0.026838
P( 7) = 0.007794
P( 8) = -0.001959
P( 9) = 0.000327
P(10) = -0.000026
Function value = -0.167530
Вывод
Из полученных результатов видно, что результаты вычислений по схеме Ньютона совпали с результатами вычислений по общей схеме Лагранжа. Схема Ньютона более удобна, чем схема Лагранжа: вычисления проводятся намного быстрее и легко изменить степень интерполяционного многочлена, просто отбросив необходимое количество членов.