Практика Матрицы и определители

Добавил:

EMBF Education Must Be Free Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский государственный технический университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Приведите к ступенчатому виду матрицу А

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.09.2021

Размер:

313.99 Кб

Скачать

☆

					1. Операции над матрицами
	1.1. Найдите линейную комбинацию 2A 3B матриц															1	2			3
	1.1. Найдите линейную комбинацию 2A 3B матриц												A
																0	1
																0	1		1
		2		3	0
и B					.
		2		1
		2		1	1
								2		7	3
	1.2. Вычислите матрицу A
	1.2. Вычислите матрицу A					2Е , где A			4	1	0	,	Е – единичная
									0	5	6
									0	5	6
матрица третьего порядка.
																2	1
	1.3. Найдите произведения					AB	и	BА	матриц											и
	1.3. Найдите произведения					AB	и	BА	матриц				A							и
																1
																1		1

B	1		1
B				.
	2
	2		1
															2	1			3
						ABТ
	1.4. Найдите произведения					ABТ	и	BА матриц			A				0		4		2	и
														1			1
														1			1		1
B 1		2		0 .
	1.5. Найдите произведения АAТ и AТ А матрицы													1	2		0
	1.5. Найдите произведения АAТ и AТ А матрицы										A							.
														0	1		2
														0	1		2

1.6. Приведите к ступенчатому виду матрицу:

			1	0 1 1							0 1 1	3


а) А			3 2		1		0	;	б)	А	1 2 4	7	.
		5									5 0 10	5
		5		3 2 1							5 0 10	5
							____________________________
	1.7. Вычислите						матрицу			2A Е B ,		где		1	3	,
	1.7. Вычислите						матрицу			2A Е B ,		где	A			,
														2	0
														2	0
	0		2	2			Е – единичная матрица второго порядка.
B						,	Е – единичная матрица второго порядка.
	1		1		0
	1		1		0

									2

						произведение ABС Т					1	0	1
	1.8. Найдите					произведение ABС Т				матриц A			,
											2	1
											2	1	2

	0	0	1
В	0	1 0					1	1	3
В	0	1 0			и С				.
							2	0
	1	0	0				2	0	1
	1	0	0
											2	2	3

	1.9. Проверьте коммутативность умножения матриц A										1	1	0
												2
										1		2	1
		1	4		3

и B		1	5		3 .
		1		6	4
		1		6	4

2.Определители

2.1.Вычислите определитель второго порядка:

а)

3 2

;

б)

;

в)

a 2 ab b2

a b

a 2 ab b2

a b

2.2. Вычислите определитель третьего порядка с помощью «правила треугольников»:

	1		2		4				2		3	4				3	2	1
	1		2		4				2		3	4				3	2	1
а)		3	1 0				;	б)	5	2		1	;		в)	1	2 4			.
		5	2	1					1		2	3				2	4 3
		2.3. Вычислите						определитель третьего							порядка		разложением по
какой-нибудь строке или столбцу:
			6		3					1 0		1				3 2		1
	5		6		3					1 0		1				3 2		1
а)	0		2		0	;		б)		2	1 0			;	в)	2	2	3	.
	7		4		5				2		1 3					4	2	3

											3
		2.4. Вычислите определитель:
	1	a	b c							2	4	1					1	2	2	3
								1
								1
								0		1	3 5						3	1	4	6
а)	1	b a c			;		б)	0		1	3 5				;	в)	3	1	4	6		.
	1	c	a b					0		0	2		1				1	0	0	1
	1	c	a b					0		0	0		3				1	2	1	3
								0		0	0		3				1	2	1	3
		2.5. Решите уравнение:
а)		x 2		y 3		0;	б)		cos 3x		sin x			0 ;		в)			3	x 1	0 .
																	6
																	6
																	2x		1	0
	y 3			x 2					sin 3x		cos x						4	x 2		2
																	4	x 2		2

____________________________

2.6. Вычислите определитель третьего порядка с помощью «правила треугольников»:

	2 3 1							0 2			1						1 1 1
	2 3 1							0 2			1						1 1 1
а)	6 6 2		;				б)	1	4		5	;				в)	3 1 2			.
	2 1 2							2 6			9						2 1 0
	2.7. Вычислите						определитель				третьего					порядка		разложением по
какой-нибудь строке или столбцу:
		2 0						2	3		5						1 2 3
	1	2 0						2	3		5						1 2 3
а)	3	4 0		;			б)	4	0		1		;			в)	2 5		4		.
	5	6 7						1 3			2						0 7 1
	2.8. Вычислите определитель:
	a a 2 1 a 1 2								0	0	4						1	2	3			4
								0
								0
								0 0		1 5							1 0		1			2
а)	b b2 1 b 1 2					;	б)	0 0		1 5				;		в)	1 0		1			2		.
	c c2 1 c 1 2							0	2	3	1						3	1	1			0
	c c2 1 c 1 2							1	4	1	2						1	2	0			5
								1	4	1	2						1	2	0			5
	2.9. Решите уравнение:
	x 2	y 3			4;			sin 2x		sin 3x					0		3		x 1			1


а)							б)									; в)	x 2		2			3	6 .
	1 y	x 2						cos 2x			cos 3x						0		1			x
																	0		1			x

3.Обратная матрица

3.1.Определите, при каких значениях λ матрица А не имеет обратной:

													3		1										4	1
				3		1
				3		1
а)									б) A		1 1 1								;		в) A			2	5 1 .
а)	А						;		б) A		1 1 1								;		в) A			2	5 1 .

				7		1					1		2											0
											1		2											0		1
			3.2. Используя					алгебраические							дополнения,								найдите			обратную
матрицу для матрицы:
			1								1		1		2									1	2	2
а)			1		0				б)	A	2	1 2					;				в)	A		2	1 2		.
а)	A					;			б)	A	2	1 2					;				в)	A		2	1 2		.
				2	5
				2	5						4		1 4											2	2
											4		1 4											2	2	1
			3.3. Используя					элементарные					преобразования, найдите													обратную
матрицу для матрицы:

											2			2		3								3	0	1
а)			1			2			б)	A	1		1 0						;		в)	A		2	1 0			.
а)	A					;			б)	A	1		1 0						;		в)	A		2	1 0			.

				2	3						1													4	1
											1			2 1										4	1	1
			3.4. Решите матричное уравнение:

	1 2					7		1						1				1		1			1	1	3
а)	1 2					7		1			б) X			2				1		0			1	1	3
а)				X				;			б) X			2				1		0					;
			0																				4	3	2
			0	3		3		0						1		1							4	3	2
														1		1				1
		1	1			5	6		1	1
в)
в)				X						.
		2		3		4	5		2	3

____________________________

3.5. Найдите обратную матрицу для матрицы:


									1		1	1							1	2	3
а)			0	2		;		б) A	3	1 2				;		в) A			3	2 4		.
а)	A					;		б) A	3	1 2				;		в) A			3	2 4		.
			3	5
			3	5					2	1		0							2	1	0
									2	1		0							2	1	0
	3.6. Решите матричное уравнение:
						3	1				1 2				1				1	0
		4	3
а)		4	3			1 0		;	б)		3		2		2		X		2	2	.
а)	X					1 0		;	б)		3		2		2		X		2	2	.

		1	1								3	1			2			3
					2		1				3	1			2			3		1

4.Ранг матрицы

4.1.Найдите ранг матрицы:

		1	2	3 1					2	1	3	2	4
а)		3	2	4		;	б)		4	2 5		1 7
	А				3			А						.
		5	2	2	4				2	1	1	8	2

4.2. Определите, при каких значениях λ ранг матрицы А равен 3:

	2		0	3				3		2		1

а)	А	1	7		3	;	б)	А	1 0			7	.
		5	3	6					2	1		3
		5	3	6					2	1		3
	4.3. Найдите ранг матрицы										1	2	0
	4.3. Найдите ранг матрицы						АAТ , где A							.
											0	1	2
											0	1	2
					____________________________
	4.4. Найдите ранг матрицы:
	2 3		2	3				1 2			1		1 3
а)		3 1	1 2				б)		3 1
а)	А	3 1	1 2		;		б)	А	3 1			1 6 11 .
		1 5	5 4						1 1			1 4
		1 5	5 4						1 1			1 4			3

	4.5. Определите, при каких				значениях λ	ранг		матрицы
	1	0	2
	3	1	0	равен 3.
А	3	1	0	равен 3.
	4	1
	4	1
				5. Дополнительные задачи
	5.1. Найдите произведения АВТ				и ВТ А матриц		1	0	2
	5.1. Найдите произведения АВТ				и ВТ А матриц	A			и
							2	1	3

B	0	1	1
B			.
	3	1	2

		0	0	4
5.2. Найдите произведения АAТ		0	6	0
	и AТ А матрицы A				.
		5	0	0


												0	0	1
												0	2	4			, В 1 2					3 .
	5.3. Вычислите матрицу BАВТ , где А											0	2	4			, В 1 2					3 .
												3	5	6
												3	5	6
																1	2		3		1
																3		2 4			2
	5.4. Приведите к ступенчатому виду матрицу А															3		2 4			2		.
																	2		2		4
															5		2		2		4
	5.5. Вычислите определитель:
	а	а 1					sin 2		1	cos2					1		0	1	3


															1		2	1	6

а)				;	б)		sin 2		1	cos2		;	в)							.
а)	а 2 а 1		а 2	;	б)		sin 2		1	cos2		;	в)	2			2	0	2	.
							sin 2		1	cos2				3			2	3	0
							sin 2		1	cos2
	5.6. Решите уравнение:
	5.6. Решите уравнение:
а)	2x 1	x 1	6 ;		б)		2 x 2			1	0 ;		в)		3			x	4			0.


						1		1		2					2			1	3
	x 2	x 1				5		3		x					x 10			1	1
						5		3		x					x 10			1	1

5.7. Найдите обратную матрицу для матрицы:


		4 0	1				1 2		3				1 1		1
а)		1 1		;	б)		0	1	2	;	в)		8	3	6
а)	A	1 1	1	;	б)	A	0	1	2	;	в)	A	8	3	6	.
		3 0					0	0					4	1
		3 0	1				0	0	1				4	1	3

5.8. Решите матричное уравнение:


	2	1	1	0	7
а)		Х				;
	1		4	1	2
	1	1	4	1	2

	0	1		1	2	1	1
	0	1					1
				3	2	2
в)			X	3	2	2
	1	2					0
	1	2		3	1	2	0
				3	1	2

5.9. Найдите ранг матрицы:

б)		3	2	1		2	;
б)	X						;
		5	4		5	6
		5	4		5	6

2 1

	1	0	4	5			1	3 7		2	5

а) А	1	3 0		1	;	б) А	1	0	4	8	3 .
	2 9		4	2			3 6		10	4	7
	2 9		4	2			3 6		10	4	7

																				7
																		Ответы
			1. Операции над матрицами
									8 5					6			4		7			3											0 3									3 0
									8 5					6				4	1			0											0 3					BA				3 0
			1.1.											. 1.2.				4	1			0	. 1.3. AB													,		BA						.
						6				1																							3 0
						6				1				5				0		5		4											3 0									3 3
																		0		5		4
									4																															1		2	0
1.4. ABТ									8		,		BA	2 9				1 . 1.5. AАТ											5			2		AТ A							2	5	2		.
1.4. ABТ									8		,		BA	2 9				1 . 1.5. AАТ															,	AТ A							2	5	2		.
																													2			5
																													2			5								0		2	4
									3																															0		2	4
				1 0						1				1			1 2 4									7
1.6. а)					0		2					2		3		; б)		0	1		1			3				. 1.7.					6			0		6
1.6. а)					0		2					2		3		; б)		0	1		1			3				. 1.7.													.
																																	1			7			8
					0 0													0 0 0								0							1			7			8
					0 0							0 3						0 0 0								0
		2																				2		3					2				1
1.8.		2				1																0				1		5					3	.
1.8.								. 1.9. AB BA E . 1.10.														0				1		5					3	.
			3			2
			3			2																0				0		3				8
																						0				0		3				8
			2. Определители
			2.1. а) 7; б)										1		; в) 2b3. 2.2. а) 11; б) –10; в) 0. 2.3. а) 8; б) –1; в) –12.

												cos 2
2.4. а) 0; б) –6; в) –48. 2.5. а) (2; –3); б)																									n		, n Z ; в) –4; 1; 2. 2.6. а) 10;
2.4. а) 0; б) –6; в) –48. 2.5. а) (2; –3); б)																						8					, n Z ; в) –4; 1; 2. 2.6. а) 10;
																						8				4
б) 0; в) 7. 2.7. а) 14; б) 39; в) 5. 2.8. а) 0; б) 8; в) –24. 2.9. а) (2; –1); б)																																							n			, n Z ;
																																								5		, n Z ;
																																								5
в) 1.
			3. Обратная матрица
																								1			5			0							6				2		4
																								1			5			0						1
			3.1. а) 1; 2; б) –1; 6; в) –8; 1. 3.2. а)																														; б)					0				4	2		;
			3.1. а) 1; 2; б) –1; 6; в) –8; 1. 3.2. а)																														; б)					0				4	2		;
																								5
																								5		2			1							6		6
																																						6				3 3

			1			2				2												1		4				3								1 1						1
	1															3		2
в)			2			1				2			. 3.3. а)					; б)				1		5				3			; в)				2				1			2	.
в)			2			1				2			. 3.3. а)					; б)				1		5				3			; в)				2				1			2	.

	9		2		2											2		1			1					6			4							2			3
			2		2					1											1					6			4							2			3			3

							8

												1	0	1
	5 1		1	3		2	3 2		0		1
3.4. а)		, A 1					; б)			, A 1		2	2	2	;
3.4. а)		, A 1					; б)			, A 1		2	2	2	;
	1 0		3		0			4 5	2		2
	1 0		3		0	1		4 5	2		2
												3	2	1

															2	1	1				4			3	2
5		6				1		5		2		1
в)		. 3.5.		а)							; б)				4	2	5		; в)		8			6	5	.
в)		. 3.5.		а)							; б)				4	2	5		; в)		8			6	5	.
	4					6			3	0		7
	4	5				6			3	0		7		1 3			4				7 5				4
														1 3			4				7 5				4
		2 5													2		4					2			3	2
3.6. а)		1	3	,	A		1			1 3			б)			1	1	,	A	1				0	1
3.6. а)		1	3	,	A							;	б)			1	1	,	A					0	1	1 .
										1	4
		1	2							1	4					1	6						3		5	4
		1	2													1	6						3		5	4

		4. Ранг матрицы
		4.1. а) 3; б) 2. 4.2. а) 5 ; б)										2. 4.3. 2. 4.4. а) 2; б)											3. 4.5. 2.
		5. Дополнительные задачи
									7			6 3			9							16		0 0
		5.1. AВТ						2	7			1		1	5			. 5.2.		ААТ			0	36	0		,
		5.1. AВТ							, ВТ A			1		1	5			. 5.2.		ААТ			0	36	0		,

								2	1			5 2			4								0
												5 2			4								0	0 25
			25		0		0						1	2					3	1

АТ А			0		36		0	. 5.3. 64 . 5.4.					0	8		13				1 . 5.5. а) 1; б) 0;

			0		0 16								0	0				0
			0		0 16								0	0				0		0
															1 0					1		1		2 7

в) –24. 5.6. а) 1; 5; б) –6; –4; в) –10; 2. 5.7. а)																	2		1	3	; б)		0	1	2	;
																	3		0	4			0	0
																	3		0	4			0	0	1
	3		2	3				3			5			3		2				7				6
в)		0	1	2				3		1	5			3		2				7		9		6
в)		0	1	2		. 5.8. а)							; б)						; в)						.
									7							4							1	0
		4	3	5					7	2 3				5		4				2			1	0
		4	3	5

5.9. а) 2; б) 2.

4.1. Методом окаймляющих миноров найдите ранг матрицы:


		1	2	3	4				1	1	3	7	1

а)	А	0	3	7	5	;	б)	А	2 1		1	6	4	.
		3	3	2	7				1	2	1	10	5
		3	3	2	7				1	2	1	10	5

4.1. а) 2; б) 3.

4.4. Методом окаймляющих миноров найдите ранг матрицы:

	1		1	3	5				1 3		1	14	22

а)	А	2	1	5	6	;	б)	А	2	1 3		3	9	.
		1	5 1						4	3	11	19	17
		1	5 1		3				4	3	11	19	17

4.4. а) 2; б) 2.

4.3. Определите максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы:

		2	1	4	5				2	0	3	5	1
а)		1	0	1	2	;	б)		4	3	1 7		5
	А							А						.
		1	2	4	0				2	3	2 2		4

4.3. а) 3; б) 2.

5.9. Методом окаймляющих миноров найдите ранг матрицы:

	2	3	1	2			8	2	2	1	1

а) А	0	2	1	1	;	б) А	1 7		4	2	5	.
	4	0					2	4	2	1
	4	0	5 1				2	4	2	1	3

5.9. а) 2; б) 2.

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

#
22.09.2021280.51 Кб5Практика Аналитическая геометрия в пространстве.pdf
#
22.09.2021327.8 Кб4Практика Аналитическая геометрия на плоскости.pdf
#
22.09.2021364.22 Кб9Практика Векторная алгебра.pdf
#
22.09.2021313.99 Кб11Практика Матрицы и определители.pdf
#
22.09.2021290.07 Кб4Практика Системы линейных уравнений.pdf


		4 0	1				1 2		3				1 1		1
а)		1 1		;	б)		0	1	2	;	в)		8	3	6
а)	A	1 1	1	;	б)	A	0	1	2	;	в)	A	8	3	6	.
		3 0					0	0					4	1
		3 0	1				0	0	1				4	1	3


		4 0	1				1 2		3				1 1		1
а)		1 1		;	б)		0	1	2	;	в)		8	3	6
а)	A	1 1	1	;	б)	A	0	1	2	;	в)	A	8	3	6	.
		3 0					0	0					4	1
		3 0	1				0	0	1				4	1	3


		4 0	1				1 2		3				1 1		1
а)		1 1		;	б)		0	1	2	;	в)		8	3	6
а)	A	1 1	1	;	б)	A	0	1	2	;	в)	A	8	3	6	.
		3 0					0	0					4	1
		3 0	1				0	0	1				4	1	3