Добавил:

EMBF Education Must Be Free Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский государственный технический университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Практика Векторная алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.09.2021

Размер:

364.22 Кб

Скачать

☆

1.Разложение векторов

1.1.В треугольнике АВС точка О – точка пересечения медиан. Разложите вектор BO по векторам АВ и АC .

1.2.В треугольнике АВС, длины сторон АВ и АС которого равны соответственно 2 и 1, проведена биссектриса АМ. Разложите вектор АМ по векторам АВ и АC .

1.3.В треугольной пирамиде SАВС точка М – точка пересечения медиан треугольника АВС. Разложите вектор SМ по векторам SА, SB и

SC .
	1.4. Разложите вектор									и
		с	5l	4l	2	по векторам a	6l	3l	2
			1				1

b3l1 6l2 .

1.5.В параллелограмме АВСD точки М и N – середины сторон ВС и CD соответственно. Разложите вектор АD по векторам АM и АN .

____________________________

1.6.В параллелограмме АВСD точка М – точка пересечения диагоналей. Разложите вектор МD по векторам АB и АD.

1.7.В равнобедренной трапеции АВСD (ВС || AD) АВ = ВС = СD = 2, AD = 4, точка М – середина стороны CD. Разложите вектор АM по

векторам АB и АD.
									и
	1.8. Разложите вектор с	6l	l	2	по векторам a	4l	2l	2
		1				1

b6l1 3l2 .

2.Векторы в декартовой прямоугольной системе координат

	2.1. Найдите			проекцию					на ось	Оу, если
	2.1. Найдите			проекцию			вектора 5a	2b	на ось	Оу, если

a	2i	j k , b i			4 j 2k
	2.2. Найдите			длину		и	направляющие		косинусы	вектора

a	2i	3 j	6k .						если радиус-вектор r
	2.3. Найдите координаты x; y; z точки М,								если радиус-вектор r

точки М составляет с осью Ох угол 45°, с осью Оy – 60° и rM 6 . M

2.4. Найдите длину медианы АD треугольника АВС с вершинами

А(1; 2; 4), В(4; 5; 2), С(2; 3; 4).

2.5. Найдите

координаты

вектора

b ,

параллельного

вектору

7 j

4k и противоположного с ним направления, если

27 .

2.6. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если

А(2; –6; 5),

AB 2i

4 j

4k , AC 6i

3 j

2k .

____________________________

2.7. Найдите длину и направляющие косинусы вектора М1М 2 , если

М1(4; –2; 6), М2(1; 4; 0).

2.8. Найдите

координаты

вектора

b ,

коллинеарного

вектору

2 j 2k , если

15 и b образует с осью Оy острый угол.

2.9. Найдите

длины

диагоналей

параллелограмма ABCD, если

AB i

4 j

3k ,

AD 3i

j 2k .

2.10. В параллелограмме АВСD точка М – точка пересечения диагоналей. Найдите координаты вектора AD, если А(3; –1; 4), В(5; 0; 2),

М(6; –1; 1).

3. Скалярное произведение векторов

если

7 ,

3.1. Найдите скалярное произведение векторов a

и b ,

120 .

4 , a b

3.2. Найдите

скалярное

произведение

векторов

4l2 и

2l1

l2 , если

3 ,

2 , l1 l2

135 .

3.3. Найдите

длину

вектора

a 3l1 l2 ,

если

2 ,

l1 l2

60 .

3.4. Найдите длины диагоналей параллелограмма,

построенного на

векторах a

2l1

и b l1

2l2 , если

1, l1

60 .

3.5. Найдите

проекцию

вектора

4l1

2l2

вектора b

3l2 , если

1, l1 l2

120 .

3.6. Найдите

скалярное произведение векторов

2k .

на направление


a	2i	4 j	k и

	3.7. На			материальную			точку

f1	2i	j	k ,	f2	i	2 j	2k ,

	А(2; –1; 0)			действуют	силы

f3	i	j	2k .	Найдите	работу

равнодействующей этих сил по перемещению точки из А в В(4; 1; –1).

3.8. Найдите внутренний угол А треугольника АВС с вершинами

A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(3; 1; –2).

3.9. Найдите проекцию вектора

на направление вектора b с ,

если a

i 3 j

4k , b

4 j 2k

, с i

4k .

3.10. Найдите координаты вектора

перпендикулярного векторам

на направление вектора

2k , если проекция вектора х

2 j

равна 1.

____________________________

3.11. Найдите угол между векторами a

2l1

4l2 и b

l1 l2 , если

l1 l2 120 .

3.12. Найдите проекцию вектора b 2l1 l2

на направление вектора

l2 , если

2 ,

l1 l2

120 .

3.13. Найдите угол между векторами a

i j

и b

2 j

2k .

3.14. Найдите проекцию вектора

на направление вектора

с ,

если a

6 j

k , b

4 j

5k ,

4 j 12k .

3.15. Найдите координаты вектора

перпендикулярного векторам

3 j

и b i

2 j

3k , если 2i

х 6.

4. Векторное произведение векторов

4.1. Упростите выражение:

а) 2a 3b а

2b b ;

б) 2i

k 3 j

k .

4.2. Найдите длину вектора

, если

2 ,

30 .

a b

4.3. Найдите

площадь

треугольника,

4l1

и b 2l1

3l2 , если

4.4. Найдите

векторное

произведение

3 j

k .

построенного		на		векторах


2 , l1 l2	150 .

векторов a 3i			j		2k и

4.5. Найдите площадь параллелограмма,

построенного на векторах

2 j

2k и b

3 j

2k .

4.6. Найдите

площадь

треугольника

вершинами

А(–2; 1; –3),

В(1; 5; –7), С(–1; 7; –7).

4.7. Найдите

момент

силы f

2i 4 j

5k , действующей на

материальную точку M(0; 2; 1), относительно точки А(–1; 2; 3).

____________________________

4.8. Найдите площадь параллелограмма,

построенного на векторах

3l1

5l2

и b

l1 2l2 , если

2 ,

1, l1 l2 150 .

4.9. Упростите выражение:

а) 2i 3k j

2 j i

;

б) i

2 j j

j 6k

i .

4.10. Найдите длину высоты ВD треугольника АВС с вершинами

А(1; –1; 2), В(5; –6; 2), С(1; 3; –1).

4.11. На

материальную

точку

M(3; –4; 8)

действуют

силы

4 j

6k ,

i 2 j

3k ,

7k . Найдите момент

равнодействующей этих сил относительно точки А(4; –2; 6).

5. Смешанное произведение векторов

5.1. Упростите выражение:

а) a

b a c

b ;

б) a

с a

5.2. Найдите

смешанное

произведение

векторов

3k ,

3 j

и с 3i

2 j

4k .

										5
		5.3. Найдите			объём		параллелепипеда, построенного на векторах

a	i	2 j	k , b	3i		2 j	k	и с	i	k .

5.4.Найдите объём пирамиды с вершинами A(5; 1; –4), B(1; 2; –1),

C(3; 3; –4), D(2; 2; 2).

5.5.Покажите, что точки A(3; 5; 1), B(2; 4; 7), C(1; 5; 3), D(4; 4; 5)

лежат в одной плоскости.

5.6. Найдите

значение

α,

при

котором

векторы

a 2i

3k ,

являются компланарными.

7 j

3 k

и c 5i 3 j

____________________________

5.7. Найдите

смешанное

произведение

векторов

если

с ,

3, a b 30

, с

перпендикулярен a и b .

5.8. Найдите

длину

высоты

DH пирамиды АВСD с

вершинами

А(2; 3; 1), В(4; 1; –2), С(6; 3; 7), D(–5; –4; 8).

5.9. Проверьте условие

компланарности векторов

i 2 j

2k ,

2 j k

и с 5i

2 j k .

6. Дополнительные задачи

6.1. В треугольнике АВС точка О – точка пересечения медиан.

Разложите векторы АB и ВС по векторам

АО и АC .

по векторам

6.2. Разложите вектор d

12l

2l1

3l2

l3 и c

3l1

2l2

4l3 .

6.3. В трапеции АВСD (ВС || AD) точки М и N – середины сторон АВ

и CD соответственно. Найдите

координаты

вектора

MN ,

если

AB 2; 2; 5 ,

AC 3; 6; 2 ,

AD 9; 8; 13 .

6.4. Найдите

скалярное

произведение

векторов

ВD

–

диагоналей четырехугольника ABCD, если

AB 3; 1; 2 ,

BC 2; 5; 1 ,

AD 3; 4; 8 .

6.5. Найдите

длину

вектора

2l1

4l2 ,

если

2 ,

l1 l2 60 .

6.6. Найдите

скалярное

векторное

произведение

2 j

3k и b

j k .

6.7. Найдите

проекцию

вектора а

3 j

составляющую с осями координат равные острые углы.

векторов

на ось,

6.8.Найдите внутренний угол А треугольника АВС с вершинами

A(1; 2; 3), B(3; 2; 1), C(1; 4; 1).

6.9.Найдите площадь треугольника АВС с вершинами А(3; –1; –4),

В(5; 2; –2), С(7; –4; –2).

6.10.Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах

2l1

и b

3l2 , если

2 ,

l1 l2

30 .

6.11. Найдите

объём

параллелепипеда, построенного на векторах

3 j

, b 2i

и с 3i 2 j 5k .

6.12. Покажите,

что

точки

A(5; 7; –2),

B(3; 1; –1), C(9; 4; –4),

D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

6.13. В правильном тетраэдре SАВС точка М – середина стороны SС. Найдите угол между ребрами пирамиды SA и BM.

ОТВЕТЫ

1. Разложение векторов

1.1. BO							2		АВ					1	АС . 1.2.					АМ							1			АВ			2		АС .
1.1. BO									АВ						АС . 1.2.					АМ										АВ					АС .
						3			3																		3					3
	1					1			1													2					1										2					4
1.3. SМ			SА					SB					SC . 1.4.						c						a				b . 1.5. АD										АM					АN .
1.3. SМ		3	SА			3		SB				3	SC . 1.4.						c		3				a			3	b . 1.5. АD									3	АM			3		АN .
	1								1												1									3										1		2
1.6. MD					АВ						АD. 1.7. АМ														АВ							АD . 1.8. c									a		b .
1.6. MD				2	АВ					2	АD. 1.7. АМ												2		АВ						4	АD . 1.8. c								2	a	3	b .
2. Векторы в декартовой прямоугольной системе координат
																		2									3									6
2.1. 3. 2.2.								7 , cos										2	, cos								3			, cos						6	. 2.3. М(3					2 ; 3; 3)
						а
						а												7									7									7
																											7									7

или М(3	2 ; 3; –3). 2.4. 3. 2.5. b 12i																									21 j						12k . 2.6. D(10; –5; 3).
2.7. М М			9, cos													1	, cos					2		,		cos								2	.

3 3 3

2.8.b 5i 10 j 10k . 2.9. d1 30 , d2 50 . 2.10. AD 4; 1; 4 .

3.Скалярное произведение векторов1 2

3.1. –14. 3.2. –11. 3.3.

. 3.4. 7 , 13 . 3.5.

7 . 3.6. –8. 3.7. 7.

3.8. 45°. 3.9. 5. 3.10.

2 j

k . 3.11. 120°. 3.12. 1. 3.13. 135°. 3.14. –4.

3.15. х

3i 3 j 3k .

4. Векторное произведение векторов

4.1. а) 6 a

b ;

б) 6k

. 4.2. 7. 4.3. 21. 4.4.

8k . 4.5. 15. 4.6. 9.

4.7. m 8i 9 j 4k . 4.8. 11.

4.9. а) 3i ; б)

3 j . 4.10. 5.

4.11. m 10i 10 j

5k .

5. Смешанное произведение векторов

5.1.а) abc ; б) 3abc . 5.2. 39. 5.3. 12. 5.4. 4. 5.6. 5. 5.7. ±27. 5.8. 11.

5.9.Векторы компланарные.

	8
	6. Дополнительные задачи

	6.1. АB 3АO АС , BC 3АO 2АС . 6.2. d					a	b	c .
6.3.		7,

	MN 7; 6; 10 . 6.4. 4. 6.5. 4. 6.6. ab		a	b	i 5 j			3k . 6.7. 3 .

				3
6. 8. 60°. 6.9. 11. 6.10. 7. 6.11. 12. 6.13. arccos				3	.
6. 8. 60°. 6.9. 11. 6.10. 7. 6.11. 12. 6.13. arccos					.
				6
				6

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

#
22.09.2021280.51 Кб5Практика Аналитическая геометрия в пространстве.pdf
#
22.09.2021327.8 Кб4Практика Аналитическая геометрия на плоскости.pdf
#
22.09.2021364.22 Кб9Практика Векторная алгебра.pdf
#
22.09.2021313.99 Кб11Практика Матрицы и определители.pdf
#
22.09.2021290.07 Кб4Практика Системы линейных уравнений.pdf