Добавил:

EMBF Education Must Be Free Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский государственный технический университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Практика Аналитическая геометрия на плоскости

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.09.2021

Размер:

327.8 Кб

Скачать

☆

Дискретная математика1. Уравнение линии

а)

в)

а)

1.1. Определите линию по ее уравнению:
y 3 y 4x2	0 ;	б) x3 xy2 4x 0;
x2 10x y 2 4 y 29 0;		г) 3x2 4 y 2 12 0.
1.2. Напишите уравнение линии в виде F(x; y) 0 :
x 2t 1,	x 2 cos t,	x 2 cos2 t,
	б)	в)
y 1 8t 2 ;	y 3sin t;	y sin 2t 3.

1.3.Найдите уравнение множества точек плоскости, для каждой из которых расстояние до оси Ох в три раза меньше, чем до оси Оy.

1.4.Найдите уравнение множества точек плоскости, для каждой из которых расстояние до точки А(1; 2) в два раза больше, чем до точки

В(–2; –1).

1.5.Найдите уравнение множества точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек F1(–1; 0) и F2(1; 0) равна 4.

____________________________

а)

в)

а)

1.6. Определите линию по ее уравнению:
x 4 y 7x2		0 ;	б) 9 y x2 y y3 0 ;
x2 6x y 2 2 y 10 0 ;			г) 7x2 2 y 4 16 0.
1.7. Напишите уравнение линии в виде F(x; y) 0 :
x 2t 2	1,	x 2 sin 2t,	x et 2,
		б)	в)
y 3t 2	2;	y cos2 2t;	y e t 3.

1.8.Найдите уравнение множества точек плоскости, для каждой из которых расстояние до точки А(0; –1) в два раза меньше, чем до точки

В(0; –4).

1.9.Найдите уравнение множества точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F1(–4; 0) и F2(4; 0) равен 4.

2.Прямая линия

2.1. Каноническое уравнение прямой	x 4		y 3	представьте в

	8	2

различных видах (в виде общего уравнения, в отрезках, с угловым коэффициентом).

2.2.Напишите уравнения сторон треугольника АВС с вершинами

А(3; 2), В(3; 8), С(6; 2).

2.3.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 6) и отсекающей от осей координат треугольник площадь которого равна 6.

2.4.Напишите уравнения прямых, проходящих через точку А(–2; 1) параллельно и перпендикулярно прямой 3x 5y 8 0 .

2.5.Найдите расстояние от точки М(1; –8) до прямой, проходящей через точки А(–3; –6) и В(1; –3).

2.6.Найдите угол между прямыми y 73 x 2 и 5x 2y 2 0 .

2.7.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(0; 2) под углом 45º к прямой x 2y 3 0.

2.8.Найдите координаты точки В, симметричной точке А(–3; 4) относительно прямой 4x y 1 0.

____________________________

2.9.Напишите уравнение средней линии, параллельной стороне ВС, треугольника АВС с вершинами А(3; 4), В(–1; 2), С(2; –1).

2.10.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(4; –1)

иотсекающей от положительной полуоси Ох отрезок вдвое больший, чем от отрицательной полуоси Оy.

2.11.Найдите угол между высотой АD и медианой АЕ треугольника

АВС с вершинами А(–2; –3), В(–5; 8), С(3; –4).

2.12. Найдите координаты проекции точки А(1; –3) на прямую

2x y 5 0.

2.13. Напишите уравнение биссектрисы угла, образованного прямыми 2x y 3 0 и 2x 4y 1 0.

3.Окружность

3.1.Найдите координаты центра и радиус окружности:

а) x2 y 2 4x 6 y 3 0;

б) 9x2 9 y 2 12x 24 y 16 0 .

3.2.Напишите уравнение окружности с центром в точке С(–4; 5) и проходящей через точку А(–1; 1).

3.3.Напишите уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку А(–1; 2).

			3
3.4. Напишите		уравнение	окружности,		описанной		около
треугольника,	уравнения сторон		которого имеют вид:			3x 4y 12 0 ,
4x 3y 12 0 , y 0.
3.5. Напишите уравнение множества точек плоскости, касательные
из которых,	проведенные к		окружностям		x 1 2	y 1 2	1 и
x 2 2 y 3 2 1, имеют равные длины.
		____________________________
3.6. Найдите		расстояние	между	центрами		окружностей
x2 y 2 6x 5 0 и x2 y 2 8y 7 0.

3.7.Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 5) и В(5; –1), если ее центр лежит на прямой x y 2 0 .

3.8.Напишите уравнение окружности, диаметром которой является высота АH треугольника АВС с вершинами А(–4; 8), В(5; –4), С(10; 6).

4.Эллипс

	x2	y 2
4.1. Постройте эллипс			1. Найдите координаты фокусов,
	16	12

эксцентриситет и уравнения директрис эллипса.

4.2.Напишите каноническое уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого равно 8, а малая полуось равна 3.

4.3.Напишите каноническое уравнение эллипса, большая полуось

которого равна 6, а эксцентриситет равен 12 .

4.4.Напишите каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки А 6; 1 и В 2; 2 .

4.5.Найдите уравнение множества точек плоскости, для которых отношение расстояния до точки F(4; 0) к расстоянию до прямой x 9,

равно 23 .

____________________________

	x2	y2
4.6. Постройте эллипс			1. Найдите координаты фокусов,
	36	20

эксцентриситет и уравнения директрис эллипса.

4.7.Напишите каноническое уравнение эллипса, меньшая полуось которого равна 4, а эксцентриситет равен 53 .

4.8.Напишите каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку А 2; 6 и имеющего эксцентриситет равный 22 .

5.Гипербола

	x2	y 2
5.1. Постройте гиперболу			1. Найдите координаты
	16	9

фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис гиперболы.

5.2.Напишите каноническое уравнение гиперболы, мнимая полуось которой равна 4, а эксцентриситет равен 53 .

5.3.Напишите каноническое уравнение гиперболы, расстояние между фокусами которой равно 20, а уравнения асимптот y 34 x .

5.4.Напишите каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку А 6; 2 и имеющей эксцентриситет равный 5 .

5.5.Напишите каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой

совпадают с фокусами эллипса x2 y2 1, а эксцентриситет равен 2.

23 7

____________________________

	x2	y 2
5.6. Постройте гиперболу			1. Найдите координаты
	36	64

фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис гиперболы.

5.7.Напишите каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки А 8; 1 и В 4; 5 .

5.8.Найдите уравнение множества точек плоскости, для которых отношение расстояния до точки F(9; 0) к расстоянию до прямой x 4 ,

равно 32 .

6.Парабола

6.1.Постройте параболу y 2 4x . Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы параболы.

6.2.Напишите уравнение параболы, симметричной относительно оси Оy и проходящей через точки О(0; 0) и А(4; –2). Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы параболы.

6.3.Напишите каноническое уравнение параболы, фокус которой

F(–3; 0).

6.4.Найдите уравнение множества точек плоскости, равноудаленных от точки F(0; 4) и прямой y 2.

____________________________

6.5.Постройте параболу x2 8y . Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы параболы.

6.6.Напишите уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точки О(0; 0) и А(–1; –6). Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы параболы.

6.7.Напишите каноническое уравнение параболы, уравнение директрисы которой 2 y 7 0 .

6.8.Найдите уравнение множества точек плоскости, равноудаленных от точки F(4; 0) и прямой x 2 .

7. Смешанные задачи на прямую и линии второго порядка

7.1.Напишите уравнение прямой, проходящей через центры окружностей x2 y 2 6x 8y 16 0 и x2 y 2 10x 4 y 13 0.

7.2.Напишите уравнение прямой, проходящей через левый фокус кривой 4x2 13y 2 52 параллельно прямой 4x 3y 1 0.

7.3.Найдите угол между асимптотами гиперболы, эксцентриситет которой равен 2.

7.4.Найдите длину хорды параболы x2 8y , проходящей через ее фокус перпендикулярно к оси симметрии.

____________________________

7.5.Напишите уравнение прямой, проходящей через правый фокус кривой 7x2 9 y 2 63 перпендикулярно прямой 3x 4y 1 0.

7.6.Найдите длину хорды параболы y 2 12x , проходящей через точку А(8; 0) под углом 60° к оси Ох.

7.7.Напишите уравнение окружности, симметричной окружности

x2 y 2 2x 4 y 4 0 относительно прямой x y 5 0.

8. Приведение уравнения линии второго порядка

кканоническому виду

8.1.Параллельным переносом системы координат приведите

уравнение	9x2 16 y 2	90x 32 y 97 0 к			каноническому виду и
постройте кривую в исходной системе координат.
8.2. Параллельным переносом				системы	координат	приведите
уравнение	x2 8x 2 y 12 0		к	каноническому виду и		постройте
кривую в исходной системе координат.
8.3. Поворотом		системы	координат		приведите	уравнение

x2 103xy 11y 2 16 0 к каноническому виду и постройте кривую в исходной системе координат.

8.4. Выполнив последовательно поворот и параллельный перенос системы координат, приведите уравнение x2 2xy y 2 10x 6 y 25 0 к каноническому виду и постройте кривую в исходной системе координат.

____________________________

8.5. Параллельным переносом системы координат приведите уравнение x2 4 y 2 8x 16 y 16 0 к каноническому виду и постройте кривую в исходной системе координат.

8.6. Поворотом		системы координат приведите уравнение
x2 2xy y 2
	2x	2y 0 к каноническому виду и постройте кривую

висходной системе координат.

8.7.Выполнив последовательно поворот и параллельный перенос

системы координат, приведите уравнение 3x2 2xy 3y 2 4x 4 y 12 0 к каноническому виду и постройте кривую в исходной системе координат.

Ответы

1. Уравнение линии

1.1. а) прямая, параллельная оси Ох, и парабола; б) ось Оу и окружность с центром в начале координат и радиусом равным 2; в) точка ( 5; 2) ; г) уравнение не определяет никакого геометрического

образа

на плоскости. 1.2. а) 2x2 4x y 1 0

; б)

y 2

в) x 1 2

y 3 2 1.

1.3. x 3y ,

x 3y .

1.4. x 3 2 y 2 2

y 2

1.5.

1. 1.6. а) прямая, параллельная оси Оy,

и парабола; б) ось

Ох и окружность с центром в начале координат и радиусом равным 3; в) точка (3; 1) ; г) уравнение не определяет никакого геометрического

образа на плоскости.

1.7. а)

3x 2y 1 0, x 1,

y 2;

б) x2 4 y 4 ;

в) xy 3x 2y 7 0,

x 2,

y 3. 1.8. x2 y 2 4 0. 1.9.

y 2

2. Прямая линия

2.1. x 4y 8 0

x 2 . 2.2.

x 3 0,

y 2 0,

2x y 14 0. 2.3. 3x 4y 12 0 , 3x y 6 0 . 2.4.

3x 5y 11 0 ,

5x 3y 7 0. 2.5. 4. 2.6. 45°. 2.7.

3x y 2 0, x 3y 6 0 2.8. В(5; 2).

2.9. x y 4 0. 2.10. x 2y 6 0 . 2.11. 45°, АD:

2x 3y 5 0,

АЕ: 5x y 7 0. 2.12. (–3; –1). 2.13.

6x 2y 5 0, 2x 6y 7 0.

3. Окружность

3.1. а) С 2; 3 ,

r 4 ; б)

;

r 2 . 3.2.

x 4

25.

3.3. x 1

y 1

1, x 5

25. 3.4. x

3.5. 6x 4y 11 0. 3.6. 5.

3.7. x 4 2

y 2 2 10.

3.8. x 2 2

y 5 2

45.

4. Эллипс

4.1. F1(–2; 0), F2(2; 0),


4.4.	x2	y 2	1. 4.5.		x2		y2
	8	4		36		20

4.7.	x2	y 2	1. 4.8.	x2		y 2
	25	16		16		8

5. Гипербола

1					x2		y 2			x2			y 2
	,	x 8		. 4.2.				1.	4.3.					1.
2	,	x 8		. 4.2.	25	9		1.	4.3.	36			27	1.
2					25	9				36			27
1.			4.6. F1(–4; 0),			F2(4; 0),					2	,	x 9.
1.			4.6. F1(–4; 0),			F2(4; 0),						,	x 9.
										3
1.

								5				x2	y 2				x	2	y 2
	5.1. F1(–5; 0), F2(5; 0),								,	x 3,2	. 5.2.			1. 5.3.						1.
	5.1. F1(–5; 0), F2(5; 0),							4	,	x 3,2	. 5.2.	9	16	1. 5.3.		64			36	1.
								4				9	16			64			36
	x2	y 2				x2	y2									5
5.4.			1.	5.5.				1. 5.6. F1(–10; 0), F2(10; 0),										, x	3,6 .
5.4.	5	20	1.	5.5.	4		12	1. 5.6. F1(–10; 0), F2(10; 0),								3		, x	3,6 .
	5	20			4		12									3
	x2	y 2				x2	y2
5.7.			1.	5.8.				1.
5.7.	6	3	1.	5.8.	36		45	1.
	6	3			36		45
	6. Парабола
	6.1. F(1; 0),			x 1.			6.2. x2 8y ,				F(0; –2),		y 2 .		6.3. y 2 12x .
6.4. x2 12 y 1 . 6.5. F(0; 2),										y 2.	6.6. y 2 36x ,				F(–9; 0),				x 9.

6.7.x2 14 y . 6.8. y 2 4 x 3 .

7.Смешанные задачи на прямую и линии второго порядка

7.1.3x 4y 7 0. 7.2. 4x 3y 12 0 . 7.3. 60°, k1,2 ba 3 . 7.4. 8.

7.5.4x 3y 16 0. 7.6. 24. 7.7. x 7 2 y 4 2 1.

8. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду

			x 2			y 2		1 . 8.2.			2
	8.1.		16			9	1, О 5;	1 . 8.2.		x			2 y		, О 4; 2 .
		2			2				2

	x			y		1, 30 . 8.4. y
8.3.	4			1		1, 30 . 8.4. y				4		2x		, 45 .

	x 2		y 2			2
8.5.	16		4		1, О 4; 2 . 8.6.	x	y	, 45 .
8.7.	x	2	y	2	1, 45 .
8.7.	x		y		1, 45 .
	8		4

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

#
22.09.2021280.51 Кб5Практика Аналитическая геометрия в пространстве.pdf
#
22.09.2021327.8 Кб4Практика Аналитическая геометрия на плоскости.pdf
#
22.09.2021364.22 Кб9Практика Векторная алгебра.pdf
#
22.09.2021313.99 Кб11Практика Матрицы и определители.pdf
#
22.09.2021290.07 Кб4Практика Системы линейных уравнений.pdf