Добавил:

EMBF Education Must Be Free Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский государственный технический университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Практика Аналитическая геометрия в пространстве

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.09.2021

Размер:

280.51 Кб

Скачать

☆

1.Уравнение поверхности и линии

1.1.Определите поверхность по ее уравнению:

а) yz2 2z2 3y 6 0 ;

б) 9x2 36x 4 y2 32 y 8 0.

1.2. Определите линию по ее уравнениям:

x2	y2	z 2	6x 1,	y2	8y 4x 20 0,
а)				б)
y 3 0;				x 2 0.

1.3.Найдите уравнение множества точек пространства, для каждой из которых расстояние до точки А(0; –1; 0) в два раза меньше, чем до точки В(0; –4; 0).

1.4.Найдите уравнение множества точек пространства, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F1(0; 0; –3) и F2(0; 0; 3) равен 2.

____________________________

1.5. Определите поверхность по ее уравнению:

а) xz2 4z2 2x 8 0 ;

б) 9x2 72x z2 6z 144 0 .

1.6. Определите линию по ее уравнениям:

x2	y2	z2	8z 2,	x2	4x 2 y 4 0,
а)				б)
x 3 0;				y 4 0.

1.7.Найдите уравнение множества точек пространства, равноудаленных от точек А(1; –2; 3) и В(–2; 3; –1).

1.8.Найдите уравнение множества точек пространства, для каждой из которых сумма расстояний до точек F1(–1; 0; 0) и F2(1; 0; 0) равна 4.

2.Плоскость

2.1.Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки

М1(1; –1; 2), М2(2; 1; 2), М3(1; 1; 4).


2.2. Напишите			уравнение	плоскости,	проходящей	через	точку
М(2; –3;	7)	параллельно плоскости 2x 6y 3z 8 0 .
2.3. Напишите			уравнение	плоскости,	проходящей	через	точку
М(2; –1;	3)	и отсекающей на осях координат равные отрезки.

2.4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и

точку М(1; –2; 1).

2.5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М1(–1; –2; 0) и М2(1; 1; 2) перпендикулярно плоскости x 2y 2z 4 0.

2.6. Найдите	расстояние от	точки М(5; 1; –1) до плоскости
x 2y 2z 4 0 .
2.7. Найдите	координаты точек, лежащих на оси Оy и
равноудаленных от плоскостей x 2y 2z 2 0			и 2x y 2z 5 0.
2.8. Найдите	угол между	плоскостями	11x 8y 7z 4 0 и

4x 10y z 2 0.

____________________________

2.9. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(3; 8; –4) и отсекающей на осях Ох и Оz отрезки, равные –3 и 2 соответственно.

2.10. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(–1; –1; 2) и перпендикулярной плоскостям x 2y z 4 0 и x 2y 2z 4 0 .

2.11.Найдите расстояние от точки А(5; 4; –1) до плоскости,

проходящей через точки М1(0; 4; 0), М2(0; 4; –3), М3(3; 0; 3).

2.12.Найдите значения α и β, при которых плоскости 2x y 3z 0

иx 6y 6z 4 0 являются параллельными.

2.13. Найдите угол между плоскостями x y 2z 3 0 и 2x y z 1 0.

2.14. Напишите уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и равноудаленной от точек А(–1; 3; 2) и В(2; –1; –3).

3.Прямая линия

3.1.Напишите параметрические и канонические уравнения прямой,

проходящей через

точку М(4; –3; 6)

перпендикулярно плоскости

2x y 3z 7 0.

3.2. Напишите уравнения сторон треугольника АВС с вершинами

А(3; 2; –1), В(3; 8; 4), С(6; 2; 5).

3.3. Напишите

уравнения прямой,

проходящей

через

точку

М(–2; 3; 4) перпендикулярно прямым

x 2

y 1

y 2

z 1

3.4. Общие уравнения

прямой

x y z 4 0,

преобразуйте

2x y 2z 5 0

каноническому виду.

3.5. Найдите угол между прямыми

x 1

z 1

y 3

3.6. Установите взаимное расположение прямых

y 3

z 2

x 4

y 1

z 1

3.7. Найдите

координаты

точки

пересечения

прямых

x 9

z 13

x 3

y 3

z 1

____________________________

3.8.Напишите уравнения медианы AD треугольника АВС с

вершинами А(–3; 2; 8), В(–7; 0; 3), С(3; 4; 5).

3.9.Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через

3x y 2z 7

точку М(1; –3; 5) параллельно прямой

x 3y 2z 3

3.10. Найдите

угол между прямыми

3x y 5z 1 0,

2x 3y 8z 3 0

x 2

y 1

3.11. Установите взаимное расположение прямых

x 6

y 1

x 1

y 7

z 5

. Если прямые пересекаются, то найдите координаты

их точки пересечения.

4. Прямая линия и плоскость

4.1. Напишите уравнение плоскости,			проходящей через точку
М(4; –3; 6) перпендикулярно прямой	x 3	y 1		z 5	.

	2		1	2

4.2. Напишите

уравнение плоскости,

проходящей

через

прямую

x 2

y 3

z 1

и точку М(3; 4; 0).

4.3. Напишите

уравнение плоскости,

проходящей

через

прямую

x 1

y 1

z 2

перпендикулярно плоскости 2x 3y z 4 0.

4.4. Найдите угол между прямой

x 3

y 6

z 4

и плоскостью

4x 2y 2z 3 0.

4.5. Найдите координаты точки пересечения прямой

y 1

z 1

и плоскости x 2y 3z 29 0 .

x y 4z 6 0,

4.6. Установите взаимное расположение прямой

y z 3 0

иплоскости 3x y 6z 12 0 .

4.7.Найдите координаты точки В, симметричной точке А(–3; 4; 5) относительно плоскости x 2y z 6 0 .

____________________________

4.8. Напишите

уравнение

плоскости,

проходящей через

две

параллельные прямые

x 3

z 1

x 1

y 1

4.9. Найдите угол между прямой

x y z 7 0,

и плоскостью

2x y z 3 0

2x y 2z 5 0.

4.10. Найдите значения А и С, при которых прямая

x 2

y 1

z 3

лежит в плоскости Ax 4y Cz 5 0.

4.11. Найдите координаты проекции точки А(3; 1; –1) на плоскость

3x y z 20 0.

5.Дополнительные задачи

5.1.Найдите уравнение множества точек пространства, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до точек А(0; –2; 0) и В(0; 2; 0) равна 16.

5.2.Найдите уравнение множества точек пространства, для каждой из которых расстояние до точки А(1; 2; 0) в два раза больше, чем до точки

В(–2; –1; 0).

5.3.Найдите расстояние от точки А(4; –2; –3) до плоскости,

проходящей через точки М1(2; 2; –3), М2(3; 1; 1), М3(–1; 0; –5).

5.4.Напишите уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и равноудаленной от точек А(–1; 3; 2) и В(2; –1; –3).

5.5.Напишите уравнения средней линии, параллельной стороне ВС,

треугольника АВС с вершинами А(3; 4; –1), В(–1; 2; 5), С(5; –2; 3).

5.6.Напишите уравнения диагонали BD параллелограмма АВСD

если

известны

координаты трех

его

вершин:

А(2; 4; 3),

В(–3; 0; 6),

С(–4; 2; 1).

5.7. Найдите угол между прямыми

y 2

x 1

5.8. Установите взаимное расположение прямых

x 3

y 3

z 1

x y z 4 0,

. Если прямые пересекаются, то найдите координаты

2x 3y z 5 0.

их точки пересечения.

5.9. Найдите

координаты

точки

пересечения

прямой

x 1

y 2

z 2

и плоскости 3x y 2z 5 0.

5.10. Найдите координаты точки В, симметричной точке А(6; –4; –2)

относительно плоскости x y z 3 0 .

5.11. Установите взаимное расположение прямой

x 1

y 2

z 4

и плоскости 3x y 4z 15 0 .

Ответы

1. Уравнение поверхности и линии

1.1. а) плоскость, параллельная плоскости Охz; б) гиперболический цилиндр, образующая которого параллельна оси Oz, а направляющая –

гипербола x 2 2 y 4 2 1. 1.2. а) окружность, лежащая в плоскости

4 9

y 3, с центром в точке (3; 3; 0) и радиусом равным 1; б) две параллельные оси Oz прямые, проходящие соответственно через точки (2; 2; 0) и (2; 6; 0).

1.3. x2 y2 z2	4 . 1.4.	x2		y2		z2	1. 1.5. а) плоскость, параллельная

		8	8		1

плоскости Оyz; б) эллиптический цилиндр, образующая которого

параллельна оси Oy, а направляющая – эллипс	x 4 2		z 3 2	1.
	1		9

1.6. а) окружность, лежащая в плоскости x 3, с центром в точке (3; 0; 4) и радиусом равным 3; б) прямая, параллельная оси Oz и проходящая через

			x2	y2	z2
точку (2; 4; 0). 1.7.	3x 5y 4z 0	. 1.8.				1.
			4	3	3

2. Плоскость

2.1.2x y z 5 0. 2.2. 2x 6y 3z 1 0. 2.3. x y z 4 0.

2.4.2x y 0. 2.5. 2x 2y z 2 0. 2.6. 3. 2.7. (0; –7; 0), (0; 1; 0). 2.8. 45º.

2.9.2x 3y 3z 6 0 . 2.10. 2x 3y 4z 3 0. 2.11. 4, 4x 3y 12 0 .

2.12.3, 4 . 2.13. 60º. 2.14. y 2z 0, 5y 4z 0.

3. Прямая линия

				x 4 2t,						x 4			y 3		z 6									y 2		z 1
										x 4			y 3		z 6									y 2		z 1
		3.1.		y		3 t,											. 3.2.		x 3		0	,						;
		3.1.		y		3 t,					2		1		3		. 3.2.		x 3		0	,		6		5		;
						6 3t,					2		1		3									6		5

				z
	y 3		z 1			, y 2 0;						x 3		y 8		z 4		. 3.3.		x 2			y 3		z 4		.
						, y 2 0;												. 3.3.									.
3				6							3			6	1					5				1		3
3.4.		x 3			y 1			z	. 3.5. 45º. 3.6. Прямые скрещиваются, 7 .
3.4.									. 3.5. 45º. 3.6. Прямые скрещиваются, 7 .
		1				4	3

3.7. (1; –2; 3). 3.8.

x 3

z 8

, y 2 0. 3.9.

x 1

y 3

z 5

3.10. 90º. 3.11. Прямые пересекаются, (–3; 5; –3).

4. Прямая линия и плоскость

4.1. 2x y 2z 7 0. 4.2. x 2y z 5 0. 4.3.

8x 5y z 11 0.

4.4. 30º. 4.5. (6; 4; 5). 4.6. Прямая параллельна плоскости. 4.7. В(1; –4; 9).

4.8. x 2y 2z 1 0. 4.9. 45º. 4.10. A 3, C 1. 4.11. (6; 2; 0).

	5. Дополнительные задачи
	5.1. x2 y2 z2 4 . 5.2. x 3 2 y 2 2 z2						8 . 5.3. 4,
2x 2y z 3 0 . 5.4. x z 0, 5x 3z 0 . 5.5.						x 1		y 3	z 2	.

						3		2	1
5.6.	x 3		y	z 6	. 5.7. 60º. 5.8. Прямые пересекаются, (1; –2; 3).

	2	3		4

5.9. (–3; –4; 0). 5.10. В(8; –2; 0). 5.11. Прямая лежит в плоскости.

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

#
22.09.2021280.51 Кб5Практика Аналитическая геометрия в пространстве.pdf
#
22.09.2021327.8 Кб4Практика Аналитическая геометрия на плоскости.pdf
#
22.09.2021364.22 Кб9Практика Векторная алгебра.pdf
#
22.09.2021313.99 Кб11Практика Матрицы и определители.pdf
#
22.09.2021290.07 Кб4Практика Системы линейных уравнений.pdf