4 сем учебник

стью поглощается. Поэтому в светлое время суток окна домов со стороны улицы кажутся черными, хотя в комнатах достаточно светло.

Серое тело – тело, поглощательная способность которого меньше единицы, одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности тела. Для серого тела

aс,T aT const 1.

Исследование теплового излучения привело к созданию квантовой теории света.

Закон Кирхгофа устанавливает количественную связь между испускательной и поглощательной способностью тел и формулируется следующим образом: отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела и является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры:

r ,T f ,T .

a ,T

Для абсолютно черного тела поглощательная способность равна единице, поэтому из закона Кирхгофа следует, что универсальная функция

Кирхгофа f ,T есть испускательная способность абсолютно черного тела: rч,T f ,T .

Таким образом, для всех тел отношение испускательной способности к поглощательнойравноиспускательнойспособности абсолютно черного тела.

Следует отметить, что испускательная способность r ,T любого тела всегда меньше той же способности абсолютно черного тела rч,T , так как погло-

щательная способность тел a ,T < 1, и поэтому согласно закону Кирхгофа r ,T a ,T f ,T f ,T rч,T .

Кроме того, если в некотором интервале частот от до + d тело не поглощает электромагнитного излучения, то в этом же интервале частот оно его и не излучает, поскольку при a ,T = 0 должно выполняться равенство

r ,T = 0.

Формула Планка. Для получения согласующегося с опытом выражения испускательной способности абсолютно черного тела М. Планку пришлось отказаться от принятого в классической физике положения, согласно которому энергия любой системы может меняться непрерывно. Он выдвинул

50

гипотезу, в соответствии с которой атомы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания:

E0 h hc ,

где h = 6,625 10–34 Дж с – постоянная Планка.

Основываясь на этой гипотезе, М. Планк в 1900 г. получил выражение универсальной функции Кирхгофа

Эта формула полностью описывает распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела во всем интервале частот и температур, полученное экспериментально. Теоретический вывод этой формулы был доложен 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал днем рождения квантовой физики.

Учитывая связь между испускательной способностью, зависящей соответственно от переменных ν и λ, получаем

На рис. 2.1 приведены графики зависимости функций Кирхгофа от длины волны для разных температур.

fλ,Т, отн. ед.

Рис. 2.1

51

Закон смещения Вина. Опираясь на законы термо- и электродинамики, немецкий физик В. Вин установил, что длина волны max, соответствую-

щая максимальному значению испускательной способности rч,T абсолютно

черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре Т:

max Tb ,

где b – постоянная Вина. Это хорошо видно на рис. 2.1, на котором изображены графики f ,T rч,T температур Т1 = 4000, Т2 = 5000 и Т3 = 6000 К.

Значения длин волн, соответствующих максимумам f ,T, удовлетворяют неравенствам

λ1 > λ2 > λ3.

Закон смещения Вина и численное значение его постоянной можно получить, используя формулу Планка. Как известно из математики, в точке максимума производная любой функции равна нулю. Поэтому для нахождения max приравняем к нулю производную ∂f ,T /∂λ:

Послевведенияновойпеременнойx = hc/(kT max) получаемуравнение xex 5(ex 1) 0,

решение которого методом последовательных приближений дает x = 4,965. Следовательно,

hc 4,965,

kT max

откуда

b maxT 4,965hc k 2,9 10 3 м К.

Закон Вина объясняет, почему при охлаждении нагретых тел (например, металлов) в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (цвет меняется от белого до красного).

52

Закон Стефана–Больцмана. И. Стефан экспериментально (1879 г.) и Л. Больцман теоретически (1884 г.) установили зависимость испускательной способности абсолютно черного тела RТ от его температуры. Согласно закону Стефана–Больцмана

RT = σT4,

т. е. энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна

четвертой степени его термодинамической температуры Т. Здесь – постоянная Стефана–Больцмана. Этот закон и численное значение постоянной σ можно получить, используя формулу Планка. Для этого следует проинтегрировать испускательную способность абсолютно черного тела по всем частотам:

В результате получаем

RT 2 5k 4 T 4 . 15c2h3

Сравнивая это выражение с законом Стефана–Больцмана, находим постоянную σ:

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит как частные случаи законы теплового излучения. Она позволила вычислить также постоянные b и σ в законах тепловогоизлученияисвязатьихспостояннымиБольцманаk иПланкаh.

2.2. Фотоэффект

Суть этого явления заключается в том, что при освещении металлической поверхности пучком света из металла при определенных условиях вылетают электроны. Фотоэффект был открыт Г. Герцем. Большой вклад в изучение законов фотоэффекта внес русский физик А. Г. Столетов.

Фотоэффект можно наблюдать на установке, изображенной на рис. 2.2. В откачанной вакуумной трубке имеется кварцевое окошко Kв для освещения одного из электродов (катода К) пучком света. На электроды подается напря-

53

жение от батареи ε. Его величина U изменяется с помощью реостата П и измеряется вольтметром V. При освещении катода из него вылетают электроны, которые начинают двигаться к аноду А, если он находится под более высоким напряжением, чем катод. Достигшие анода электроны создают в цепи ток, называемый фототоком. Фототок регистрируется микроамперметром mА.

Kв Свет

П– + ε

Рис. 2.2

На рис. 2.3 показана зависимость силы фототока I от напряжения U между анодом и катодом для разной освещенности катодов Ф1 и Ф2. Как видно из рисунка, при напряжении Uн, которое называется напряжением насыщения, сила фототока достигает максимального значения (Iн1 или Iн2). Это максимальное значение фототока Iн называется фототоком насыщения. При U ≥ Uн все электроны, покинувшие катод под действием света, достигают анода.

Ф1

54

Наличие фототока при изменении полярности между К и А (область значений U < 0 на рис. 2.2) объясняется тем, что вырванные из катода электроны имеют кинетическую энергию, достаточную для прохождения пространства между катодом и анодом в задерживающем электрическом поле. Электроны обладают максимальной кинетической энергией

max mv2

Eк 2max ,

измерить которую можно, подав на анод задерживающее напряжение Uз, полностью тормозящее электроны. При Uз фототок I прекращается. Из закона сохранения энергии следует, что

где m – масса электрона; vmax – его максимальная скорость.

Законы внешнего фотоэффекта.

1.Максимальная энергия фотоэлектронов зависит от частоты (длины волны) падающего на катод света и не зависит от освещенности катода (интенсивности света).

2.Число электронов, которые вырываются светом из катода в единицу времени, и сила фототока насыщения прямо пропорциональны освещенности катода.

3.Для каждого вещества существует такая наименьшая частота ν0 (или наибольшая длина волны λ0 = с/ν0), при которой еще возможен внешний фотоэффект. Значения этих величин называются красной границей фотоэф-

фекта.

Кванты света. Уравнение Эйнштейна. Все закономерности фотоэф-

фекта находят объяснение, если предположить, что свет представляет собой поток корпускул – фотонов, или квантов света, распространяющихся в вакууме со скоростью света и обладающих энергией

Е= hν.

Фотоны – кванты электромагнитного поля. Эти частицы обладают энергией и импульсом. Монохроматическую электромагнитную волну можно представить как поток фотонов. Импульс фотона p имеет то же направление, что и волновой вектор волны k. Импульс фотона, его энергия, частота и длина волны связаны соотношениями

p E h h . c c

55

При внешнем фотоэффекте каждый поглощенный металлом фотон передает всю свою энергию hν электрону проводимости металла. Для выхода из металла электрон должен совершить некоторую работу, называемую работой выхода Авых, оставшаяся часть энергии фотона переходит в кинетическую энергию электрона. Уравнение внешнего фотоэффекта Эйнштейна есть закон сохранения энергии при фотоэффекте:

Это уравнение объясняет все законы фотоэффекта. Так, максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона линейно возрастает с увеличением частоты падающего излучения и не зависит от его интенсивности (числа фотонов):

mvmax2 h .

2

С уменьшением частоты света кинетическая энергия фотоэлектронов уменьшается (для данного металла Авых = const), и при некоторой частоте

= 0 их кинетическая энергия становится равной нулю, т. е. фотоэффект прекращается. Из уравнения Эйнштейна следует, что пороговая частота (красная граница фотоэффекта для данного металла) равна

0 Aвыхh .

Пороговая частота зависит лишь от работы выхода электрона, т. е. от химической природы вещества и состояния его поверхности.

2.3. Эффект Комптона

Эффектом Комптона называется упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и γ-излучения) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны этого излучения.

Данный эффект был открыт в 1923 г. американским физиком А. Комптоном. В нем наиболее отчетливо проявляются корпускулярные свойства света. Оказалось, что в составе рассеянного излучения наряду с излучением первоначальной длины волны λ1 наблюдается также излучение с длиной волны λ2 > λ1. Этот эффект не находит объяснения в рамках волновой теории, согласно которой длина волны рассеянного излучения должна совпадать с дли-

56

ной волны падающего: под действием электрического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает рассеянные волны той же частоты.

Эффект Комптона объясняется на основе квантовых представлений о природе света: излучение имеет корпускулярную природу, т. е. представляет собой поток фотонов, и эффект Комптона есть результат упругого столкновения фотонов со свободными электронами вещества (для легких атомов, например, парафина и бора, электроны слабо связаны с ядрами атомов, поэтому их можно считать свободными). В процессе этого столкновения фотон передает электрону часть своих энергии и импульса в согласии с законами сохранения.

Пусть на покоящийся электрон падает световая волна частотой ν1. Эта волна эквивалентна потоку частиц (фотонов) с энергией

E1 = hν1

и импульсом

p1 Ec1 .

В результате электромагнитного взаимодействия с электроном фотон изменяет свои энергию и импульс, так что они становятся равными

E2 = hν2 и p2 Ec2 ,

и рассеивается под некоторым углом θ по отношению к первоначальному направлению движения (рис. 2.4). Одновременно при упругом столкновении с фотоном электрон получает импульс и начинает двигаться под углом к первоначальному направлению со скоростью v.

p2

θ p1

mv

Рис. 2.4

Используя законы сохранения импульса и энергии для процесса столкновения, находим изменение ∆λ длины волны фотона, которое оказывается равным

57

∆λ = λ2 – λ1 = λС (1 – cosθ).

Величина C mch 0,0243 10 10 м называется комптоновской длиной

волны электрона.

Результаты измерений показали, что увеличение длины волны рассеянного рентгеновского излучения находится в полном соответствии с формулой для ∆λ.

2.4. Давление света

Так как фотоны обладают импульсом, при взаимодействии с веществом они передают его частицам импульс: поглощенные фотоны – импульс p = hν/c (по аналогии с неупругим ударом молекул газа о стенку сосуда), а отраженные – импульс 2p = 2 hν/c (по аналогии с упругим ударом молекул). Это означает, что фотоны оказывают давление на его поверхность.

Расчет показывает, что давление света описывается формулой

P cI 1 ,

где I – интенсивность света (световая энергия, действующая на единицу поверхности в единицу времени); ρ – коэффициент отражения.

Давление света объясняется и на основе волновой теории света. Электромагнитная волна – совокупность периодически меняющейся в пространстве и во времени напряженности электрического E и магнитного Н полей (см. рис. 1.1). При взаимодействии с поверхностью вещества эти поля оказывают силовое воздействие на электроны атомов вещества. Электрическое поле заставляет электроны двигаться со скоростью v, противоположной по направлению вектору E. На движущиеся электроны со стороны магнитного поля волны действует сила Лоренца FЛ, которая согласно правилу левой руки перпендикулярна v (т. е. Е) и Н и направлена вдоль распространения волны. Эта сила и есть сила светового давления.

Впервыедавлениесветаизмерилв1900 г. русскийфизикП. Н. Лебедев. Давление света в обычных условиях очень мало, однако оно вызывает такие явления, как хвосты комет, имеющие очень низкую плотность, всегда

направлены в сторону от Солнца из-за сил светового давления.

Таким образом, свет (электромагнитное излучение) обладает единством противоположных свойств: в одних явлениях он ведет себя как электромагнитная волна, в других – как поток частиц (фотонов). Волновые свойства света проявляются при интерференции, дифракции и поляризации, корпускуляр-

58

ные – в излучении черного тела, фотоэффекте и эффекте Комптона. Давление света объясняется как на основе волновых, так и корпускулярных свойств.

Это единство свойств называется корпускулярно-волновым дуализмом света.

2.5.Длина волны де Бройля

В1924 г. французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу об уни-

версальности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно этой гипотезе не только фотоны, но и электроны, а также любые другие частицы материи наряду с корпускулярными свойствами обладают и волновыми. Таким образом, с каждой частицей связаны, с одной стороны, корпускулярные характе-

ристики (энергия E и импульс p), а с другой – волновые характеристики

(частота ν и длина волны λ).

Согласно гипотезе де Бройля электрону, имеющему импульс р, соответствует волновой процесс с длиной волны

hp .

Эта формула определяет длину волны де Бройля.

Частица с массой m, движущаяся со скоростью v << c, имеет длину волны де Бройля

mhv .

Если ее кинетическая энергия равна E, то, учитывая, что p 2mE , выражение длины волны де Бройля можно записать в виде

2hmE .

Вчастности, электрон, ускоренный в электрическом поле с разностью потенциалов U, получает кинетическую энергию

E m2v2 eU ,

где е – заряд электрона, и его длина волны равна

2meUh .

59