Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля.

Потоком вектора магнитной индукции через элементарную площадку dS называется физическая величина dФ_m, равная произведению величины этой площадки и проекции вектора В на направление нормали к площадке dS .

И нтегрируя это выражение по S, получим магнитный поток Ф_m сквозь произвольную замкнутую поверхность S:

.

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору В, поток рассчитывают по формуле Ф = ВS, из которой можно определить единицу магнитного потока, которая обозначается - Вб. Силовые линии магнитного поля замкнуты. Поэтому, интеграл по любой замкнутой поверхности должен быть равен нулю, так как внутрь поверхности входит тот же поток, что и выходит из нее. Соответственно, по теореме Гаусса:

Магнитный поток сквозь тороид, имеющий воздушный зазор:

Ф=

Э.Д.С. индукции:

,

Магнитный поток Ф через поверхность, ограниченную контуром, по которому течет ток I:

Ф=LI, где L - индуктивность контура.

Э.Д.С. самоиндукции:

.

11.3. Найти напряженность Н магнитного поля в центре кругового проволочного витка радиусом R=1см, по которому течет ток величиной 1 А.

Дано: R=0,01м, I= 1А.

Найти: Н.

П о закону Био-Савара-Лапласа для магнитного поля, созданного витком с током, в центре витка:

,

Ответ: .

11.4. На рис.6 изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние между проводниками АВ=10см, токи I₁=20 А и I₂=30 А. Найти Рис.6напряженности Н магнитного поля, вызванного токами I₁ и I₂ в точках М₁, М₂ и М₃. Рис.6Расстояния М₁А=2см, АМ₂=4см и ВМ₃= 3см.

Дано: АВ=0.1м, I₁=20А, I₂=30А, М₁А=0.02м, АМ₂=0.04м, ВМ₃=0.03м.

Найти: Н_М1, Н_М2, Н_М3.

Ток I₁ направлен на нас, ток I₂ - от нас. По закону Био-Савара-Лапласа для магнитного поля, созданного прямолинейным проводником с током:

Рис.6

г де а- кратчайшее расстояние от точки, где ищется напряженность, до проводника с током.

Применяя правило буравчика или правой руки, определяем, что в точке М₁ напряженность поля первого тока направлена в плоскости рисунка (рис.7) вниз, а поля второго тока направлена вверх. Соответственно, исходя из принципа суперпозиции полей, напряженность поля, созданного данной конфигурацией токов, равна разности напряженностей полей, созданных каждым из проводников по отдельности:

По аналогии находятся напряженности магнитного поля в точках М₂ и М_3.

Ответ: Н_м1=120 .

11.6. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости (рис.8). Найти напряженности Н₁ и Н₂ магнитного поля в точках М₁ и М₂ , если токи I₁=2 А и I₂=3 А. Рис.8 Расстояния АМ₁=АМ₂=1 см, и ВМ₁=СМ₂=2 см.

Дано: I₁=2 А, I₂=3 А, АМ₁=АМ₂=1 см, ВМ₁=СМ₂=2 см.

Найти: Н_М1, Н_М2.

По закону Био-Савара-Лапласа для магнитного поля, созданного

прямолинейным проводником стоком:

,

где а- кратчайшее расстояние от точки, где ищется напряженность, до проводника с током.

Применяя правило буравчика или правой руки, определяем, что в точке М₁ напряженность поля первого тока направлена перпендикулярно плоскости рисунка от нас, а поля второго тока направлена перпендикулярно плоскости рисунка на нас. Отсюда:

.

По аналогии находится напряженность магнитного поля в точке М_2.

Ответ: Н_м1=8

11.7. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис.9). Найти напряженности Н₁ и Н₂ магнитного поля в точках М₁ и М₂ , если токи I₁=2 А и I₂=3 А. Расстояния АМ₁=АМ₂=1 см, и АВ=2 см.

Дано: I₁=2А, I₂=3А, АМ₁=АМ₂=1 см, АВ=2 см.

Найти: Н_М1, Н_М2.

По закону Био-Савара-Лапласа для магнитного поля, созданного прямолинейным проводником с током:

,

где а- кратчайшее расстояние от точки, где ищется напряженность, до проводника с током.

Ток I₁ направлен в плоскости рисунка вверх, ток I₂ перпендикулярно плоскости рисунка от нас.

Применяя правило буравчика или правой руки, определяем, что в точке М₁ напряженность поля первого тока направлена вверх из плоскости рисунка, а поля второго тока в плоскости рисунка вверх (рис.10), следовательно:

По аналогии находится напряженность поля в точке М₂.

Ответ: Н_М1= 35,6

11.13. Найти напряженность Н магнитного поля в центре кругового тока на расстоянии а=3 см от его плоскости. Радиус контура R=4 см, ток в контуре I=2 А.

Дано: I=2А, а =3 см, R=4 см.

Найти: Н.

По закону Био-Савара-Лапласа для магнитного поля, созданного витком с током в точке на оси витка:

где а- расстояние от центра витка до точки, в которой ищется напряженность.

Ответ: Н=12,7 .

11.33. В однородном магнитном поле напряженностью Н=79.6кА/м помещена квадратная рамка, плоскость которой составляет с направлением магнитного поля угол β =45⁰. Сторона рамки а=4см. Найти магнитный поток Ф, пронизывающий рамку.

Дано: Н=79.6кА/м =79,6 , β=45º, а=4 см=0,04м.

Найти: Ф.

По определению, магнитный поток сквозь поверхность рамки равен:

Ф=ВS cosα,

где В - индукция магнитного поля, S – площадь поверхности, ограниченной контуром, α – угол между нормалью к поверхности, ограниченной контуром и вектором индукции магнитного поля. По условию задачи α= π/2- β. Напряженность магнитного поля Н связана с индукцией магнитного поля соотношением: .

Следовательно: .

_{Ответ: Ф=113мкВб.}

11.34. В магнитном поле, индукция которого В=0.05 Тл вращается стержень длиной L=1 м. Ось вращения проходящая через один из концов стержня параллельна направлению магнитного поля. Найти магнитный поток Ф пересекаемый стержнем при его каждом обороте.

Дано:В=0.05 Тл, L=1 м.

Найти: Ф.

По определению, магнитный поток сквозь поверхность, прочерчиваемую стержнем при его движении:

Ф=В*S*cos α,

Рис. 11 где площадь пересекаемой за один оборот поверхности , а угол α равен углу между направлением вектора индукции магнитного поля и нормалью к поверхности, прочерчиваемой стержнем при его движении (Рис.11).

Из рис.11 видно, что угол α равен 0º, .cosα=1. Отсюда:

.

Ответ: Ф=0,157Вб.

11.37. Длина железного сердечника тороида L₁ =2,5 м, длина воздушного зазора L₂ = 1 см. Число витков в обмотке тороида N=1000. При токе I=20А индукция магнитного поля в воздушном зазоре В=1.6Тл. Найти магнитную проницаемость µ₁ железного сердечника при этих условиях. (зависимость В от Н для железа неизвестна).

Дано: В= 1,6 Тл, L₁ =2,5 м, L₂ = 1 см=0,02м, N=1000, I=20 А.

Найти: µ₁.

Магнитное поле тороида полностью заключено внутри его сердечника. Совокупность областей пространства, в которых локализовано магнитное поле, называют магнитной цепью. Таким образом, внутренние полости тороида, а также бесконечно длинного соленоида представляют собой простейшие магнитные цепи. Теоретически доказывается (см. лекции или учебник), что абсолютная величина магнитного потока во всех сечениях магнитной цепи тороида (бесконечно длинного соленоида) одинакова. Поэтому, проводя аналогию между магнитной и электрической цепью, можно установить, что магнитный поток играет в магнитной цепи такую же роль, какую в электрической цепи играет сила тока. Отсюда следует, что индукция магнитного поля тороида с составным сердечником во всех его сечениях одинакова.

Магнитный поток сквозь тороид:

,

где L₁- длина железного сердечника, L₂- длина воздушного зазора.

С учетом сказанного ранее следует:

, ,

где µ₂ =1–магнитная проницаемость воздуха. Отсюда:

Ответ: µ₁ = 440.

11.52. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d₁ =10 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи I₁ =20 А, и I₂=30 А. Какую работу A/L надо совершить (на единицу длины проводника), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния d₂ =20 см?

Дано: d₁ =10 см=0,1м, d₂ =20 см=0,2м, I₁ =20 А, I₂=30 А. Найти: A/L.

По определению:

, где ,

где модуль перемещения равен приращению расстояния между проводниками d.

Направление действующей силы совпадает с направлением перемещения, поэтому в скалярном произведении ( ) угол между векторами α=0, а cosα=1. Следовательно:

Ответ: А/L =84мкДж/м.

11.64. Поток α – частиц (ядер атома гелия), ускоренных разностью потенциалов U=1МВ, влетает в однородное магнитное поле напряженностью H=1,2 кА/м. Скорость каждой частицы направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти силу F, действующую на каждую частицу.

Дано: U=1МВ=10⁶В, H=1,2кА/м=1,2*10³А/м, , , α=90º. Найти: F.

По определению, на заряженные частицы со стороны магнитного поля действует сила Лоренца:

Чтобы найти скорость частиц, необходимо учесть, что они ускорены известной разностью потенциалов, причем работа по ускорению частиц пошла на увеличение их кинетической энергии:

, так что .

Магнитная индукция определяется по формуле: В=µ₀Н. Отсюда:

Ответ: F_Л=3,33*10^-15 Н

11.66. Найти кинетическую энергию W протона (в электрон-вольтах), движущегося по дуге окружности радиусом R=60 см в магнитном поле с индукцией В=1Тл.

Дано: q=1.6*10^-19 Кл, m= 1.67*10^-27 кг, В=1 Тл, α= 90º, Найти: W

По определению: , следовательно, надо найти скорость движения протона.

Со стороны магнитного поля на протон действует сила Лоренца F_л. По второму закону Ньютона для тела, движущегося по окружности:

mа_цс= , а_цс= ,

, ,

Ответ: Е_кин=17МэВ.

11.71. Магнитное поле напряженностью Н=8 кА/м и электрическое поле напряженностью Е=1 кВ/м направлены одинаково. Электрон влетает в электромагнитное поле со скоростью V=10⁵ м/с. Найти тангенциальное а_τ , нормальное а_n и полное ускорение электрона. Задачу решить, если скорость электрона направлена: а) параллельно направлению электрического поля, б) перпендикулярно к направлению электрического поля.

Дано: Н=8 кА/м= 8000 кА/м, Е=1 кВ/м=1000 кВ/м, q=1,6*10^-19 Кл, , m=9,1*10^-31 кг, V=10⁵ м/с.

Найти:a_τ, a_n ,и a

По второму закону Ньютона: со стороны электрического поля на частицу действует сила , так что направление силы и напряженности поля совпадают, а со стороны магнитного поля действует сила , так что направление силы перпендикулярно как вектору скорости, так и вектору магнитной индукции, где В=µ₀Н.

По условию задачи, направление векторов Е и Н совпадает.

В случае а), вектор V также параллелен Е и Н. Тогда:

=0, так как α=0.

Отсюда, , ,

_.

В случае б), вектор V перпендикулярен векторам Е и Н.. Тогда, со стороны электрического поля на электрон действует сила, перпендикулярная начальной скорости частицы, эта сила сообщает электрону ускорение, перпендикулярное скорости, но параллельное вектору и равное по модулю, как и в предыдущем случае а):

.

С другой стороны, сила Лоренца также сообщает электрону ускорение, перпендикулярное скорости, но при этом перпендикулярное и векторам и :

, ,

_{Составляющие нормального ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому общее ускорение находим по теореме Пифагора:}

Тангенциальная составляющая в случае б) равна нулю, так как нет сил, действующих на электрон вдоль направления начальной скорости.

Ответ: в случае а) а=а_τ=1,76*10¹⁴м/c², а_n=0,

В случае б) а=а_n=1,77*10¹⁴м/с², а_τ=0.

11.73 Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ , влетает в однородное магнитное поле под углом α=30º к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля В=13 мТл. Найти радиус R, и шаг винтовой траектории h.

Дано: m=9,1*10^-31 кг, q=1,6*10^-19 Кл, U=6 кВ=6000В, α=30º, В=13 мТл=0,013Тл. Найти: R, h.

Чтобы найти скорость частиц, необходимо учесть, что они ускорены известной разностью потенциалов, причем работа по ускорению частиц пошла на увеличение их кинетической энергии:

, так что .

Направим ось x параллельно вектору В, а ось y перпендикулярно ему.

,

Рис.12

Согласно рис.12, , . По второму закону Ньютона:

mа_цс= , ,

.

Период оборота электрона: , и шаг винтовой траектории:

,

Ответ: R=1см, h =10,8см.

11.80. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,1 Тл движется проводник длиной L=10 см. Скорость движения проводника V=15м/с и направлена перпендикулярно к магнитному полю. Найти индуцированную в проводнике Э.Д.С. έ_инд.

Дано: В=0,1 Тл, L=10 см=0,1м, V=15м/с. Найти: έ_инд

По определению, ЭДС будет равна скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, прочерчиваемую проводником при его движении.

,

Ответ: έ_инд.=0,15В.

11.81.Катушка диаметром D=10 см, состоящая из N=500 витков проволоки, находится в магнитном поле. Найти среднюю Э.Д.С. индукции έ_инд. , возникающую в этой катушке, если индукция магнитного поля В увеличивается в течение времени t₁=0.1c от В₀=0, до В₁=2 Тл.

Дано: D=10 см, В₀=0, В₁=2 Тл, t₁=0.1c, N=500. Найти: ε.

По закону электромагнитной индукции:

.

ε=

Ответ: ε =78,5В.

11.83. В магнитном поле, индукция которого В=0,05Тл, вращается стержень длиной L=1 м с угловой скоростью w=20 рад/c. Ось вращения проходит через конец стержня и параллельно магнитному полю. Найти Э.Д.С. индукции ε, возникающую на концах стержня.

Дано: В=0,05 Тл, L=1 м, w=20 рад/c. Найти: : ε.

По определению, ЭДС будет равна скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, прочерчиваемую проводником при его движении. Из рис.13 следует, что площадь, прочерчиваемая стержнем при его движении, зависит от времени. Угол поворота стержня за время t равен (wt).Составим пропорцию:

Для угла поворота 360⁰ прочерченная площадь равна πL²,

Для угла поворота (wt) - S.

Отсюда: .

По закону Фарадея:

Ответ: