МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВО «КНИТУ»)

КАФЕДРА ФИЗИКИ

Т.Ю. Миракова., В.С. Минкин, Е.С. Нефедьев

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Учебное пособие

КАЗАНЬ 2018

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВО «КНИТУ»)

КАФЕДРА ФИЗИКИ

Т.Ю. Миракова, В.С. Минкин, Е.С. Нефедьев

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Учебное пособие

КАЗАНЬ 2018

Составители: доц. Т.Ю.Миракова

проф. В.С. Минкин

проф. Е.С. Нефедьев

Электричество и электромагнетизм. Основные законы и примеры решения задач. Учебное пособие / Т.Ю. Миракова, В.С. Минкин, Е.С. Нефедьев; М-во науки и высшего образ. РФ. Казан. нац. исслед. гехнол. ун-т. – Казань: КНИТУ, 2018. – с.

Данное учебное пособие включает в себя теоретический материал, а также подробное изложение решения задач по физике, раздел «электричество и электромагнетизм».

Предназначено для студентов, обучающихся по программе бакалавриата всех специальностей и всех форм обучения, изучающих дисциплину «Физика».

Учебное пособие подготовлено на кафедре физики КНИТУ.

Печатается по решению методической комиссии по циклу физико-математических дисциплин.

Введение

Что делать, если «просто решать» задачи не получается? Самый эффективный способ научить решать задачи – это просто показать, как они решаются, а самый эффективный способ научиться решать задачи – это просто их решать. Со временем «количество» перейдет в «качество» и возникнет желание искать решение все более сложных задач как по физике, так и связанных с профессиональной деятельностью.

При изложении решений многих задач мы ставили целью пройти весь путь вместе с читателем. В пособии рассматриваются задачи из «Сборника задач по общему курсу физики. Изд.3-е.-СПб.:Книжный мир, 2007.-328с.

Электричество и электромагнетизм

1. Электростатика

1.1Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей. Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля. Потенциал электрического поля Потенциальная энергия взаимодействия зарядов. Работа по перемещению заряда в электрическом поле.

В электростатике рассматриваются взаимодействия и свойства электрических зарядов, неподвижных в той системе системе координат, в которой эти заряды изучаются. Как известно, существуют два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные. Согласно закону сохранения заряда для электрически замкнутой системы, электрические заряды не возникают и не исчезают, они могут быть лишь переданы от одного тела другому. Из закона сохранения заряда следует, что в любом нейтральном веществе имеются заряды обоих знаков в равных количествах.

Экспериментально установлено, что электрический заряд любого тела состоит из целого числа элементарных зарядов, равных 1,6*10^-19 Кл. Наименьшая частица, обладающая элементарным отрицательным зарядом, называется электроном.

Закон Кулона.

Основной закон взаимодействия зарядов был экспериментально установлен в 1785 году Ш. Кулоном.

,

где q₁ и q₂ –величина первого и второго зарядов, ε –диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ –электрическая постоянная, r- расстояние между зарядами.

Таким образом, сила электростатического взаимодействия двух точечных электрических зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. При прочих равных условиях, сила взаимодействия зависит от свойств среды, в которой заряды находятся. Диэлектрическая проницаемость среды ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в вакууме больше, чем в данной среде.

Напряженность электрического поля образованного точечным зарядом q:

,

где r- расстояние от заряда до точки, где определяется напряженность электрического поля.

Напряженность электрического поля образованного бесконечной однородно заряженной нитью с линейной плотностью заряда τ:

где r- кратчайшее расстояние от нити до точки, где определяется напряженность электрического поля.

Напряженность электрического поля образованного бесконечной однородно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ:

Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме:

;

где ρ - объемная плотность заряда.

Потенциал электрического поля образованного точечным зарядом q:

Работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:

А=q (φ₁ –φ₂ ),

где φ₁ и φ₂ – потенциал электрического поля в точках 1 и 2.

Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом: = -grad φ

Потенциальная энергия системы электрических зарядов:

W= ,

где φ_i – потенциал поля, созданного в точке, где находится i-ый заряд, всеми другими зарядами.

Для однородного поля

(φ₁ –φ₂ )=U=E*d, где d- расстояние между точками, где определяется разность потенциалов.

№9.16

Во сколько раз сила гравитационного притяжения между двумя протонами меньше силы их электростатического отталкивания? Заряд протона равен по модулю и противоположен по знаку заряду электрона.

Дано: m_p=1,67*10^-27 кг, q_p= 1,6*10^-19Кл.

Найти: F_Кул / F_гр?

По закону всемирного тяготения сила гравитационного взаимодействия определяется по формуле:

F_гр= G ,

где гравитационная постоянная G=6,67*10^-11 Н*м² /кг²

По закону Кулона:

,

Отсюда,

Ответ:

№9.20

Рис.1

В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Каждый заряд q=1,5нКл, сторона шестиугольника а=3см.

Дано: q=1,5

Найти Е.

Пусть положительные заряды занимают положения 1, 2, 3, а отрицательные – 4, 5, 6 согласно рис.1.

Векторы напряженности положительных зарядов направлены от зарядов, а векторы напряженности отрицательных зарядов направлены к зарядам. По модулю напряженности полей отдельных зарядов равны и определяются по формуле:

, причем для воздуха ε=1.

По принципу суперпозиции полей:

Из рис. 1 видно, что угол между векторами и векторами равен 60⁰ . Соответственно, проекция суммы векторов на направление векторов равна Аналогичное выражение получается и для проекции суммы векторов ( ) на направление векторов . Отсюда следует, что напряженность электрического поля всех зарядов направлена вдоль векторов и равна по модулю: Е= .

E= .

Ответ: Е=60

9.29. На рис.2 бесконечная заряженная плоскость обозначена буквами АА, а одноименно заряженный шарик обозначен буквой В. Масса шарика 1г, заряд равен 1нКл, поверхностная плотность заряда плоскости σ=40мкКл/м² . Какой угол α с плоскостью АА образует нить, на которой висит шарик?

Дано: m=10^-3кг, q=10^-9Кл, σ=40*10^-6Кл/м².

Найти угол отклонения нити α.

На шарик В действуют три силы: сила натяжения нити , сила тяжести и со стороны электрического поля плоскости АА сила (рис.2). Шарик находится в состоянии покоя, следовательно, по первому закону Ньютона:

. (1)

Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости определяется по формуле: , причем для воздуха ε=1. Тогда сила, действующая со стороны электрического поля плоскости АА на шарик В равна: .

Направим ось x вправо по горизонтали, а ось y вверх по вертикали. Тогда, в проекциях на оси x и y уравнение (1) перепишется в виде:

Ox: F – Tsinα = 0 (2)

Oy: - mg +Tcosα =0 (3)

Поделим уравнение (2) на уравнение (3):

,

tgα= , tg

Ответ: α =arctg(0,226) ≈13 ⁰.

9.51.

Определить напряженность поля внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса R. Oбъемная плотность заряда внутри цилиндра равна ρ. Дано: R, ρ. Найти Е( r).

Рис.3

Из условия задачи следует, что электрическое поле, созданное заряженным равномерно цилиндром, обладает осевой симметрией. Силовые линии поля, то есть линии напряженности, перпендикулярны оси цилиндра и радиально расходятся от оси (рис.3).

По теореме Гаусса для электрического поля в вакууме:

(4)

Мысленно вырежем в пространстве цилиндр высотой L и радиусом оснований r. Высота цилиндра должна быть значительно меньше длины заряженного цилиндра, создающего поле (рис.3), а ось совпадать с его осью. Интеграл по замкнутой поверхности цилиндра в формуле (1) можно разбить на три: поток вектора сквозь верхнее основание цилиндра, поток вектора сквозь нижнее основание цилиндра и поток вектора сквозь боковую поверхность цилиндра.

+ + . (5)

Интегралы по верхнему и нижнему основаниям цилиндра равны нулю, так как вектор перпендикулярен нормали, проведенной к верхнему и нижнему основаниям цилиндра и скалярное произведение EdScos90⁰ в этих случаях обращается в ноль. Остается интеграл по боковой поверхности цилиндра. Все точки боковой поверхности цилиндра равноправны, тогда Е для данного значения r можно считать постоянной величиной. Тогда:

E_rdScos0=E_r2πrL, (6)

где r и L – радиус и высота вспомогательного цилиндра.

Рассмотрим случай, когда r<R. Заряд, сосредоточенный внутри цилиндра, будет равен объемной плотности заряда ρ, умноженной на объем цилиндра:

q=ρπr²L. (7)

С учетом формул (6) и (7) по теореме Гаусса получаем:

E_r2πrL= ρπr²L/ε₀,

E_r =

В случае, когда , q= ρπR²L и по теореме Гаусса:

E_r2πrL= ρπR²L/ε₀,

E_r = .

На рис.4 представлен график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра.

Рис.4 Ответ: r<R, E_r =

, E_r =

9.54. Шарик массой m=40мг, имеющий положительный заряд q=1нКл, движется со скоростью v=10см/с. На какое расстояние r может приблизиться шарик к положительному закрепленному точечному заряду q₀=1,33нКл?

Дано: m=4*10^-5 кг, q=10^-9 Кл, v=0,1м/c, q₀=1,33*10^-9Кл .

Найти r.

Положительно заряженный закрепленный шарик создает вокруг себя электрическое поле с потенциалом:

По закону сохранения энергии кинетическая энергия движущегося шарика при приближении к другому шарику переходит в потенциальную энергию:

Следовательно,

r= =0,0598м≈6см

Ответ: 6 см

9.61. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под действием этого поля от точки, находящейся на расстоянии r₁=1см от нити, до точки r₂=4см, α-частица изменила свою скорость от v₁=2*10⁵м/с, до v₂=3*10⁶м/с. Найти линейную плотность заряда τ на нити.

Дано: r₁=1см=0,01м, r₂=2cм=0,02м, m=6,64*10^-27кг, q=3,2*10^-16Кл, v₁=2*10⁵м/с, v₂=3*10⁶м/с.

Найти: τ.

α-частица представляет собой ядро атома гелия, заряд которой равен двум зарядам протона, а масса равна сумме масс двух протонов и двух нейтронов. Работа поля определяется по формуле:

Напряженность поля, созданного бесконечной заряженной нитью, определяется по формуле:

Тогда А=

По закону сохранения энергии работа поля пошла на увеличение потенциальной энергии α-частицы.

Отсюда, линейная плотность заряда на нити равна:

τ=

τ=3,7

Ответ; τ=3,7

9.74. Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления воздуха пылинка падает с постоянной скоростью v₁=2cм/с. Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U=3кВ пылинка достигнет одной из пластин? Какое расстояние L пылинка пролетит по вертикали до попадания на пластину? Расстояние между пластинами d=2см, масса пылинки m=2*10^-9г, ее заряд равен q=6,5*10^-17Кл.

Дано: v₁=2см/с=0,02м/с, U=3кВ=3*10³В, d=2см=0,02м, m=2*10^-12кг, q=6,5*10^-17Кл.

Найти t, L.

После подачи на пластины разности потенциалов на пылинку действуют сила тяжести, сила сопротивления среды и сила со стороны электрического поля. По второму закону Ньютона:

(8)

Пусть ось х направлена по горизонтали вправо, а ось у по вертикали вверх. Перепишем уравнение (8) в проекциях на оси х и у.

х: ma=F_эл (9)

у: F_c - mg=0 (10)

F_эл=qE, где Е –напряженность электрического поля внутри конденсатора. Электрическое поле конденсатора является однородным, а для однородного поля

Следовательно, a= a= . (12)

По условию задачи начальная скорость пылинки направлена вниз и не имеет горизонтальной составляющей. Тогда кинематическое уравнение движения по оси х запишется так:

X , где х=d/2. (13)

С учетом формул (12) и (13):

, t=d

t= с.

y=l=v₁t, l= .

Ответ: t= 3,2 ; y=6,4 м

9.6. Напряженность электрического поля как функция координат имеет вид . Определить плотность зарядов создающих такое поле.

Дано:

Найти: (x,y,z).

По теореме Остроградского-Гаусса:

По определению:

,

тогда по теореме Гаусса для электрического поля в вакууме:

;

ρ = .

Ответ: .

9.8

Решение:

по определению

.

Отсюда:

, , , .

По аналогии:

Если положить при x=0, y=o, z=0 const=0,то

φ(x,y,z) = -(ax +by +cz).

1.2 Электроемкость. Параллельное и последовательное соединение конденсаторов.

Электрическая емкость уединенного проводника

Уединенным называется проводник, вблизи которого нет других заряжен­ных тел, диэлектриков, которые могли бы повлиять на распределение зарядов дан­ного проводника.

Отношение величины заряда к потенциалу для конкретного проводника есть величина постоянная, называемая электроемкостью (емкостью) С:

. (14)

Таким образом, электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, который необходимо сообщить проводнику, чтобы изменить его потен­циал на единицу. Опыт показал, что электроемкость уединенного проводника зависит от его гео­метрических размеров, формы, диэлектрических свойств окружающей среды и не за­висит от величины заряда проводника.

Рассмотрим уединенный шар радиуса R, находящийся в однородной среде с диэлектрической проницаемостью . Ранее было получено, что потенциал шара ра­вен . Тогда емкость шара

, (15)

т.е. зависит только от его ра­диуса.

За единицу емкости принимается 1фарад (Ф). 1Ф - емкость такого уединенно­го проводника, потенциал которого изменится на 1В при сообщении заряда 1Кл.

Уединенные проводники даже очень больших размеров обладают малыми ем­костями. Емкостью в 1Ф обладал бы уединенный шар радиуса, в 1500 раз большего радиуса Земли. Электроемкость Земли составляет 0.7 мФ.

Взаимная электроемкость. Конденсаторы

Пусть вблизи заряженного проводника А нахо­дятся незаряженный проводни­к или диэлектрик. Под действием поля проводника А в другом теле возни­кнет индуцированный или свя­занные (если диэлектрик) заряды, причем ближе к А будут располагаться заряды противоположного знака. Индуцированные (или связанные) заряды соз­дают свое поле противоположного на­правления, чем ослабляют поле проводника А, уменьшая его потенциал и увеличи­вая его электроемкость.

На практике существует потребность в устройствах, которые при относитель­но небольшом потенциале накапливали (конденсировали) бы на себе заметные по вели­чине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, поло­жен факт, что емкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Простейший плоский конденсатор состоит из двух близко расположенных про­водников, заряженных равными по величине и противоположными по знаку заряда­ми. Образующие данную систему проводники называются обкладка­ми.

Для того, чтобы поле, создаваемое заряженны­ми обкладками, было полностью сосредоточено внутри конденсатора, обкладки должны быть в виде двух близко рас­положенных пластин, или коаксиаль­ных цилиндров, или концентрических сфер. Со­ответ­ственно конденсаторы называются плоскими, цилиндрическими или сфериче­скими.

Разность потенциалов между обкладками пропорциональна абсолютной вели­чине заряда обкладки. Поэтому отношение есть величина постоянная для конкретного кон­денсатора. Она обозначается С и называется взаимной электроемкостью провод­ников или емкостью конденсатора. Емкость конденсатора численно равна заряду, который нужно перенести с одной обкладки конденсатора на другую, чтобы изме­нить разность их потенциалов на единицу.

Разность потенциалов плоского конденсатора равна , где поверхностная плотность заряда обкладки. S - площадь обкладки конденса­тора.. Отсюда емкость плоского конденсатора:

. (16)

Из этой формулы следует, что С плоского конденсатора зави­сит от его геометрических размеров и диэлектри­ческой проницаемости диэлектрика, заполняющего межплоско­стное пространство.

Для получения устройств различной электроемкости конденсаторы соединяют парал­лельно и после­довательно.

Параллельное соединение конденсаторов. Соединенные провода-проводники имеют один и тот же потенциал, поэтому

разность потенциалов на обкладках всех конденсаторов оди­накова и равна . Заряды конденсаторов будут

, … , .

Заряд, запасенный всей батареей .

Отсюда следует, что полная емкость системы из параллельно соединенных конденсаторов:

(17)

равна сумме емкостей всех конденсаторов.

Последовательное соединение конденсаторов.

В данном случае, вследствие электростатической индукции,

заряды на всех обкладок q будут равны по мо­дулю, а общая разность потенциалов складывается из разностей потенциалов на отдельных конденсаторах . Так как , то . Отсюда:

. (18)

При последовательном сое­динении конденсаторов обратная величина результирующей емкости равна сумме обратных величин емкостей всех конденсаторов.