Опыт Франка и Герца.

Теория Бора нашли свое экспериментальное подтверждение в опытах Франка и Герца (1913г.). В опытах исследовались столкновения электронов с атомами газов. Принципиальная схема установки представлена на рис. 13.5. Вакуумная трубка наполнена парами ртути при давлении порядка 16 Па, в нее вставлены катод (К), две сетки (С₁ и С₂) и анод (А). Между сеткой С₁ и катодом приложена ускоряющая разность потенциалов. Между сеткой С₂ и анодом приложена задерживающая разность потенциалов порядка 0,5В. Электроны, ускоренные в области 1, попадают в область 2, где испытывают соударения с атомами паров ртути. Электроны, которые после соударений, имеют достаточную энергию для преодоления задерживающего потенциала в области 3, достигают анода.

Рис. 13.5.

При неупругих соударениях электронов с атомами ртути, атомы ртути могут переходить в возбужденные состояния (рис.13.5). Согласно теории Бора, каждый атом может взять лишь определенное значение энергии, и перейти в одно из возбужденных состояний. Поэтому, если в атомах действительно существуют стационарные состояния, то электроны при столкновениях будут терять энергию дискретно, порциями, равными разности энергий соответствующих состояний атома.

Пока разность потенциалов между катодом и сеткой меньше энергии возбуждения, электроны при столкновении с атомами ртути испытывают только упругие столкновения, не отдают энергию, совершают работу против сил со стороны задерживающего поля и долетают до анода. Идет ток. Если энергия электронов становится достаточной, чтобы вызвать неупругие столкновения, то есть атом может взять эту энергию, электрон теряет свою набранную кинетическую энергию и не может совершить работу. Он не долетает до анода и ток в цепи падает. Этим и объясняется то нарастание, то падение электрического тока в цепи.

На рис. 13.6 показано схематическое изображение зависимости силы анодного тока от приложенного напряжения. Решение задачи о движении электрона в кулоновском поле ядра. Энергетические уровни. Квантовые числа и их физический смысл

При рассмотрении атома водорода, движение его единственного электрона можно рассматривать как движение электрона в кулоновском поле ядра. Такие системы ядро-электрон называются водородоподобными, их примером являются атом водорода Н, ион гелия Не⁺, ион лития Li⁺⁺. При этом заряд электрона по величине, также как и заряд протона в ядре, обозначим как е. Тогда потенциальная энергия электрона в поле ядра будет записываться так:

; здесь z – число протонов в ядре атома.

И, соответственно, стационарное уравнение Шредингера можно зпаисать так:

(13.1)

При решении уравнения Шредингера о движении электрона в центральном поле ядра, используют сферические координаты, центр которых совпадает с центром ядра атома.

x=r sinΘ cosφ , y=r sinΘ sinφ, z=r cosΘ, (13.2)

где φ – угол между проекцией радиус – вектора r на плоскость x,y и осью ох, Θ – угол между осью oz и радиус-вектором r.

Оказалось, что решение уравнения для момента импульса существует не при всех , а лишь когда , (13.3)

где l целое положительное число, получившее название орбитального квантового числа l = 0, 1, 2,……., (n-1).

Так как электрон имеет электрический заряд, то его движение вокруг ядра приводит к появлению магнитного момента, аналогичного магнитному моменту кругового витка с током. Орбитальное квантовое число l квантует величину момента импульса и магнитного момента . Орбитальное число также определяет величину радиуса орбит электрона, то есть величину атома.

При этом для каждого l существует (2l+ 1) решений. Такое условие называется вырождением, когда определенное значение физической величины может быть реализовано в (2l + 1) состояниях.

Магнитное квантовое число m характеризует ориентацию момента импульса и магнитного момента (который связан с движением электрона по орбите) во внешнем силовом поле (например, магнитном), и может принимать целочисленные значения от – l до + l . Согласно классической теории магнитный момент всегда стремится встать вдоль направления магнитного поля. В квантовой механике движение электрона таково, что магнитный момент может быть направлен в нескольких, строго определенных направлениях в зависимости от состояния атома, то есть он квантуется не только по величине, но и по направлению (рис.13.7).

Собственными значениями проекции момента импульса на выбранное направление Mz будут значения: Mz = m , где m = 0, , число m называют магнитным квантовым числом.

Рис. 13.7.

Отсюда следует, что волновые функции при заданном полном моменте (заданное l) с разными m, суть состояния с различными проекциями момента импульса на ось OZ.

Вернемся к уравнению Шредингера. Конечные решения уравнения в сферических координатах при собственных значениях оператора энергии Е >0 существуют при любых значения Е (движение свободно движущегося электрона вне атома), а при Е < 0 существуют лишь при следующих значениях энергии электрона:

Е_n= , (13.4)

Число n определяет энергию электрона и называется главным квантовым числом.

Значения энергии Е_n, которые может иметь атом, называют разрешенными значениями энергии атома, а их совокупность Е₁, Е₂, … Е_ представляет собой энергетический спектр атома. Разрешенные значения энергии обычно изображаются в виде горизонтальных линий, называемых энергетическими уровнями.

Таким образом, важной особенностью полученного решения является его зависимость от трех чисел n, l, m, называемых квантовыми числами. Каждому решению соответствует определенное состояние атома со своим распределением плотности вероятности нахождения электрона вокруг ядра, которое задается соответствующей волновой функцией, зависящей от трех квантовых чисел: n, l, m_.

Подсчитаем, сколько различных волновых функций принадлежит уровню Еn:

(13.5)

Вернемся к рассмотрению спектра атома водорода.

Если энергия, переданная электрону, будет достаточно велика, то электрон может преодолеть силу притяжения к ядру и оторваться от атома. Такой процесс называют ионизацией атома. Для атома водорода квантовая механика дает такие же значения энергетических уровней, что и теория Бора, то есть:

где n=1, 2, (это суть термы в теории Бора). (13.6)

Состояние атома с наименьшей энергией называется основным (n = 1), все остальные состояния – возбужденными.

Схему энергетических уровней атома водорода мы уже видели при рассмотрении теории Бора на рис.13.2.

В возбужденном состоянии атом долго находиться не может. Как и любая физическая система, атом стремится занять состояние с наименьшей энергией. Поэтому через время порядка 10^-8с возбужденный атом самопроизвольно переходит в состояние с меньшей энергией, испуская при переходе квант энергии излучения. Такой процесс продолжается до тех пор, пока атом не окажется в основном состоянии. Совокупность всех возможных частот или длин волн излучений атома называют спектром испускания (при анализе излучений спектроскопом им соответствует набор спектральных линий). Если структура энергетических уровней атома определена, то можно рассчитать и спектры возможных излучений данного атома. Например, с учетом постулата Бора для атома водорода и формулу Планка:

можно получить общую формулу, описывающую все экспериментальные серии излучения водорода.

Рис.13.8.

На рис.13.8 показаны возможные переходы для атомарного водорода.

Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием или поглощением фотона, то возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое число изменяется на единицу Dl = ±1, ясно, что магнитное число при этом тоже должно меняться ∆m = ±1. Это правило называется правилом отбора. Вследствие указанных особенностей, у каждого атома имеется свой индивидуальный спектр излучения и спектр поглощения, которые полностью его идентифицируют. Состояния с l=0 обозначают как S состояние, состояния с l=1 обозначают как P состояние, состояния с l=2 обозначают как D состояние, состояния с l=3 обозначают как F состояние. То есть, с учетом правила отбора, возможен, например, переход 2Р - 1S, а переход 2S - 1S запрещен.