3.Частица в потенциальной «яме» («ящике») конечной глубины Uo.

Рассмотрим ситуацию, когда электрон находится в одномерном потенциальном «ящике» конечной глубины Uo (U = Uo в областях 1,3 для x < 0 и x > a; U = 0

Рис. 12.3.

в области 2 для 0   x  a). Уравнение Шредингера для этого случая запишется так:

(12.22)

На рис.12.4 представлены графики функции плотности вероятности нахождения частицы в потенциальном «ящике» конечной глубины для n = 1, 2, 3…. . В отличие от случая бесконечно глубокой ямы, функция |ψ|² не будет равна нулю в областях 1, 3 даже при малых энергиях частицы.

Рис. 12.4.

Это означает, что частица может выйти за пределы потенциальной «ямы» даже в случае, когда ее энергия меньше Uo , чего в классической механике происходить не может.

Подобное явление наблюдается и при рассмотрении поведения микрочастицы вблизи одномерного потенциального «барьера»: U = 0 в областях 1,3 для x < 0 и x > a; U = Uo в области 2 для 0   x   a. Частица с энергией меньшей Uo может проходить сквозь этот «барьер». Схема такого барьера представлена на рис. 12.5.

Рассмотрим это явление с точки зрения классической физики. Если полная энергия частицы Е меньше высоты барьера Uo, то в области,

Рис. 12.5.

где U(х)  > Е, кинетическая энергия частицы , то есть отрицательна. С классической точки зрения эта область недоступна для частицы, так как бессмысленно говорить о мнимом импульсе р частицы. Такие явления прохождения сквозь потенциальные барьеры частиц с малой энергией являются чисто квантовыми и называются «туннельными эффектами».

Описывая такое явление в квантовой механике, мы встречаемся с трудностью, связанной с самой возможностью представления полной энергии, как суммы кинетической и потенциальной. Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга, нельзя одновременно точно определить координату частицы и ее импульс. Если зафиксировать частицу в определенной области , измеряя ее координату, то есть зафиксировать с достаточной точностью ее потенциальную энергию U(х), то при этом будет внесена неопределенность в значении ее импульса . Таким образом, нельзя утверждать, что после того как зафиксировано положение частицы, ее полная энергия по прежнему равна Е. При этом можно показать, что изменение кинетической энергии частицы, вызванное измерением ее координаты, превышает разность между высотой барьера Uo и энергией частицы Е: Uo – Е. Другими словами, превышает ту энергию, которой недостает частице, находящейся внутри потенциальной «ямы», для того, чтобы она могла «классическим способом» пройти над барьером.

Экспериментально это подтверждает, например, явление холодной эмиссии электронов из металла, когда они вылетают из металла под действием приложенного электрического поля с напряженностью, значительно меньше той, чем , казазалось бы, необходима в рамках классической физики.

Электрическое поле вырывает электроны из отдельных атомов и молекул благодаря туннельному эффекту. Это явление автоионизации тавже происходит при меньших напряженностях поля, чем это следует из классической физики. Туннельный эффект играет основную роль в явлениях радиоактивного – распада.