ЛР1 / Отчет №1

Министерство науки и высшего образования РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

Факультет информатики и робототехники

Кафедра вычислительной математики и кибернетики

Отчет по лабораторной работе №1

«Генерирование случайных переменных»

по дисциплине

«Компьютерное моделирование»

Выполнил:

студент группы МО-317

Ишпахтин А. А.

Проверила:

Валеева А. Ф.

Уфа 2021

Оглавление

Заключение 9

Задание:

Выбрать для программирования одну непрерывную случайную переменную и одну дискретную. Проверить по критерию согласия К. Пирсона принадлежность исследуемой случайной переменной закону распределения.

Теоретические сведения:

1. Критерий согласия хи-квадрат К. Пирсона – это статистический критерий о том, что генеральная совокупность имеет распределение предполагаемого типа; позволяет оценить значимость различий между фактическим (выявленным в результате исследования) количеством исходов или качественных характеристик выборки, попадающих в каждую категорию, и теоретическим количеством, которое можно ожидать в изучаемых группах при справедливости гипотезы.

2. Метод программирования «сверху вниз» (или «нисходящее» программирование) – это один из двух основных подходов создания программ и алгоритмов, при которой разработка начинается с определения целей решения проблемы, после чего идет последовательная детализация, заканчивающаяся детальной программой. Является противоположной методике программирования «снизу вверх». При нисходящем проектировании задача анализируется с целью определения возможности разбиения ее на ряд подзадач. Затем каждая из полученных подзадач также анализируется для возможного разбиения на подзадачи. Процесс заканчивается, когда подзадачу невозможно или нецелесообразно далее разбивать на подзадачи. В данном случае программа конструируется иерархически - сверху вниз: от главной программы к подпрограммам самого нижнего уровня, причем на каждом уровне используются только простые последовательности инструкций, циклы и условные разветвления.

Ход работы:

1. Генерирование непрерывной переменной

• Выбираем непрерывную случайную величину. Сгенерировать экспоненциальную случайную переменную с параметром и функцией распределения . Если , , логарифмируя, получим:

1. Генерировать U ~ Uniform [0, 1]

2. Возвратить

• Выдвигаем (нулевую) гипотезу: выбранная случайная переменная X распределена по показательному закону.

• Алгоритм (символом ‘#’ обозначим комментарии кода):

• Вход: lambd # параметр, вещественное n # количество данных, целое m # количество проводимых опытов, целое

• Выход: (< ? >)

• Шаг 1. Ввести входные данные.

• Шаг 2. Выполнить m опытов: for i = 0 to m u = random(0, 1) x = -math.log(1 - u) / lambd xs.append(x)

• Шаг 3. Вычислить длину интервала:

b = int(max(xs)) + 1 # конец отрезка

step = b / n # вещественное

• Шаг 4. Найти вероятность попадания Х в частичные интервалы:

for x in xs:

index = int(x / step)

F[index] += 1

• Шаг 5. Вычислить теоретические частоты:

T = [m * P[i] for i in range(n)]

• Шаг 6. Считать значение Chi_Square: Chi_Square = 0 # инициализируем, вещественное for i = 1 to n Chi_Square = Chi_Square + / T[i]

• Шаг 7. Сравнить полученное значение с табличным при вероятности ошибки 0.05 и степенью свободы n – 2: critical_value = (0.05, n – 2) if (Chi_Square < critical_value) output(‘Гипотеза принимается’) else output(‘Гипотеза НЕ принимается’)

• 

  import math import random table_values = [0.05, 3.841, 5.991, 7.815, 9.488, 11.070, 12.592, 14.067, 15.507, 16.919, 18.307, 19.675, 21.026, 22.362, 23.685, 24.996] n = 10 # количество данных, целое m = 1000 # количество проводимых опытов, целое lambd = 0.5 # параметр xs = [] # список сгенерированных значений print('Лямбда-параметр:', lambd) for i in range(m): u = random.random() x = -math.log(1 - u) / lambd xs.append(x) b = int(max(xs)) + 1 # конец отрезка step = b / n # длина каждого интервала print('Конец отрезка: ') print(b) print('Длина отрезка: ') print(step) F = [0 for _ in range(n)] # список счетчиков каждого интервала for x in xs: index = int(x / step) # вычисляем индекс интервала F[index] += 1 # увеличиваем счетчик интервала M = [(step * (i + 1) - step / 2) for i in range(n)] _x = sum([M[i] * F[i] for i in range(n)]) / m print('Параметр предпологаемого показательного распределения: ', 1 / _x) P = [math.exp(-lambd * step * i) - math.exp(-lambd * step * (i + 1)) for i in range(n)] T = [m * P[i] for i in range(n)] print('Фактические частоты: ') print(F) print('Теоретические частоты:') print(T) Chi_Square = sum([(F[i] - T[i]) ** 2 / T[i] for i in range(n)]) # хи-квадрат (наблюдаемое значение) critical_value = table_values[n - 2] # табличное критическое значение print(Chi_Square) print(critical_value) print(Chi_Square < critical_value)

  Код программы на языке программирования python

• Пример работы программы

• Проверка работы программы

• шаг: 14 / 10 = 1.4

• Интервал	Фактическая частота
  0 – 1.4	484
  1.4 – 2.8	264
  2.8 – 4.2	122
  4.2 – 5.6	63
  5.6 – 7.0	39
  7.0 – 8.4	14
  8.4 – 9.8	7
  9.8 – 11.2	3
  11.2 – 12.6	2
  12.6 – 14	2

  таблица 1(полученное эмпирическое распределение):

• таблица 2(эмпирическое распределение равноотстоящих вариант):

	0.7	2.1	3.5	4.9	6.3	7.7	9.1	10.5	11.9	13.3
	484	264	122	63	39	14	7	3	2	2

• = |m = 1000, n = 10| = 2.128

• = 0.469924812

• таблица 3 (вычисление )

			K =
0	484	503.4146962	0.748747367
1	264	249.9883398	0.785343115
2	122	124.1405356	0.036908916
3	63	61.6463656	0.029723181
4	39	30.6126792	2.297974305
5	14	15.2018066	0.095011017
6	7	7.5489937	0.039925067
7	3	3.7487193	0.149539228
8	2	1.8615589	0.010295639
9	2	0.9244228	1.251447188
			= 5.444915023

• Вывод: = 5.444915023; (0,05; 8) = 15.507; Следовательно, т. к. < – гипотезу принимаем.

2. Генерирование дискретной переменной

• Выбираем дискретную случайную величину

• Выдвигаем (нулевую) гипотезу: выбранная случайная переменная X распределена по закону Пуассона.

• Алгоритм(символом ‘#’ обозначим комментарии кода):

• Вход: lambd( # параметр, вещественное от 0 до 1 n # количество данных, целое m # количество проводимых опытов, целое

• Выход: (< ? >)

• Шаг 1. Ввести входные данные.

• Шаг 2. Инициализируем список частот F (список целых чисел): for i = 1 to n F[i] = 0

• Шаг 3. Выполнить m опытов: for i = 0 to m u = random(0, 1) i = 0 p = R = p while (U > R) p = p * R = R + p i = i + 1 F[i] = F[i] + 1

• Шаг 4. Задать список теоретических частот Т: for i = 0 to n P[i] = T[i] = P[i] * m

• Шаг 5. Считать значение Chi_Square: Chi_Square = 0 # инициализируем, вещественное for i = 1 to n Chi_Square = Chi_Square + / T[i]

• Шаг 6. Сравнить полученное значение с табличным при вероятности ошибки 0.05 и степенью свободы n – 2: critical_value = (0.05, n – 2) if (Chi_Square < critical_value) output(‘Гипотеза принимается’) else output(‘Гипотеза НЕ принимается’)

• 

  # генерирование дискретной случайной переменной(Пуассоновский закон) import random import math table_values = [0.05, 3.841, 5.991, 7.815, 9.488, 11.070, 12.592, 14.067, 15.507, 16.919, 18.307, 19.675, 21.026, 22.362, 23.685, 24.996] # 1. ввод входных значений lambd = float(input('Введите лямбду-параметр(0..1): ')) n = int(input('Введите количество данных: ')) m = int(input('Введите количество опытов: ')) # 2. проведение m опытов и подсчет количества полученных значений F = [0 for _ in range(n)] # список счетчиков for _ in range(m): U = random.random() # генерируем случайное число от 0 до 1 i = 0 p = math.exp(-lambd) R = p while(U > R): p *= lambd / (i + 1) R += p i += 1 F[i] += 1 # 3. вычисление теоретических частот P = [math.exp(-lambd) * (lambd ** i) / math.factorial(i) for i in range(n)] # список вероятностей по Пуассону T = [m * P[i] for i in range(n)] # список теоретических частот # 4. проверка по критерию Пирсона Chi_Square = sum([(F[i] - T[i]) ** 2 / T[i] for i in range(n)]) critical_value = table_values[n - 2] # 5. вывод (выходные значения) print(F) print(T) print(Chi_Square) print(critical_value) print(Chi_Square < critical_value)

  Код программы на языке программирования python

• Пример работы программы

• Проверка работы программы

• 0.6, n = 5, m = 100

• Значение, xi	Фактическая частота, ni
  0	57
  1	35
  2	5
  3	2
  4	1

  таблица 1(полученное эмпирическое распределение):

• вычисление теоретических частот , , i = 0, 1, 2, 3, 4 54.8811636 = 32.9286981 = 9.8786094 = 1.9757218 = 0.2963582

• = 0.55

• таблица 2 (вычисление )

			K =
0	57	54.8811636	0.081803435
1	35	32.9286981	0.130290349
2	5	9.8786094	2.409329969
3	2	1.9757218	0.000298337
4	1	0.2963582	1.670653225
			= 4.292375315

• Вывод: = 4.292375315; (0,05; 3) = 7.815; Следовательно, т. к. < – гипотезу принимаем.

Заключение

В ходе данной лабораторной работы были выбраны одна непрерывная и одна дискретная случайные величины и был написан программный код (алгоритм) для генерации данных соответствующих переменных, а также для проверки их принадлежности соответствующим распределениям по критерию Пирсона.