Задание КР по Метрологии_Никитина_вар 3

Никитина Д.С.

ВАРИАНТ № 3

1. ИЗМЕ РЕ Н ИЕ П РЯМ ОЕ О Д Н О К Р АТ Н ОЕ

Условие. При измерении силы электрического тока I амперметр дал следующие показания

(А): 0,586; 0,599 и 0,587. Прибор с верхним пределом измерений 1 А имеет класс точности

0,1 (по относительной погрешности). Дополнительная погрешность из-за влияния магнитного поля не превысила 22 % нормирующей погрешности амперметра. Определить доверительные границы интервала для истинного значения силы тока с вероятностью P = 0,95.

2. ПРЯМ ОЕ М Н О Г О К РАТ Н ОЕ И З МЕР ЕН И Е

Условия. Результаты наблюдений при измерении напряжения U на участке электрической цепи (мВ): 32,08; 31,97; 31,89; 31,98; 30,67; 31,97; 32,05; 31,93; 31,88; 31,99; 32,02; 32,10;

границы интервала для истинного значения электрического напряжения с вероятностью P = 0,95.

3. КОСВЕ Н Н ОЕ ИЗМ Е РЕ Н ИЕ

Условие. Объём шара V = πd3/6 определяется путём многократного измерения его диаметра.

Результаты измерения диаметра d (мм): 12,050; 12,045; 12,048; 12,052; 12,050; 12,049; 12,051.

Среднее квадратическое отклонение измерительной головки σl = 0,5 мкм. Определить доверительные границы интервала для истинного значения объёма шара с вероятностью P

= 0,95.

1

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

«ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА»

1. Измерение. Погрешность измерения

Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности. Измерение величины – процесс экспериментального получения значения величины.

Каждый объект измерения обладает некоторой совокупностью свойств. Измерению подлежат именно свойства. Наиболее крупную группу свойств образуют величины – свойства, обладающие количественными характеристиками: проявление такого свойства у одного объекта измерения может быть меньше, равно или больше, чем у другого объекта.

Размер конкретного проявления данного свойства у объекта измерения называют значением величины. Каждая величина обладает истинным значением. Истинное значение величины – значение, которое идеальным образом характеризует данную величину. Действительное значение величины получают путём её измерения.

Задача измерения – получение результата измерения требуемого качества, то есть необходимой точности и достоверности, иными словами – получение результата измерения, наиболее близкого к истинному значению, и оценка погрешности этого результата.

Правильно измерить величину – это значит:

-грамотно разработать и провести процедуру измерения; для освоения навыков измерений предусмотрен лабораторный практикум дисциплины «Метрология, стандартизация и технические измерения»;

-грамотно обработать данные измерительного эксперимента и получить достоверный результат измерения; освоение этой части возложено, в частности, на рассматриваемое домашнее задание.

Метод измерений – совокупность приёмов сравнения измеряемой величины с её единицей.

В задании представлены задачи, в которых использованы результаты измерений, выполненных следующими методами:

-прямое однократное измерение,

-прямое многократное измерение,

-косвенное измерение.

Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины получают непосредственно от средства измерений. Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение величины определяют на основании прямых измерений других величин, функционально связанных с искомой величиной

2

Единичное (разовое) измерение принято называть наблюдением. При однократном измерении число наблюдений – 1, 2 или 3, при многократном – 4 и более без ограничения сверху.

Разность результата измерения XИЗМ величины X и её истинного значения XИСТ назвали погрешностью: ∆X = XИЗМ – XИСТ. Погрешность результата измерения ∆X в общем случае является суммой следующих составляющих:

-инструментальной ∆СИ (погрешности средства измерений);

-методической ∆МЕТ (погрешности метода измерения);

-субъективной ∆С (погрешности оператора, производившего измерение);

-дополнительной ∆ДОП (погрешности, вызванной влиянием внешней среды).

Сумма первых трёх слагаемых называется основной погрешностью результата измерения. На практике от 50 до 70 процентов погрешности измерения составляет инструментальная погрешность.

По форме выражения погрешности результата измерения бывают абсолютными (∆X) или относительными (δX = ).

По характеру изменения погрешности результата при повторных наблюдениях, проведённых в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью, различают следующие виды погрешностей:

-систематическая составляющая погрешности измерения, закономерно изменяющаяся при повторных наблюдениях; она может быть постоянной, монотонно изменяющейся, периодической или иметь более сложный характер;

-неисключённая систематическая погрешность, которая задаётся своими доверительными границами и по существу соответствует случайной погрешности;

-случайная составляющая погрешности измерения с непредсказуемым характером изменения по знаку и величине;

-выброс – погрешность результата отдельного наблюдения, аномальная по величине для данных условий измерения, то есть резко отличающаяся от погрешностей остальных наблюдений.

Систематическая и случайная составляющие влияют на результат измерения, выброс должен быть обнаружен и удалён (выброшен) при расчёте результата измерения.

Систематическая составляющая погрешности изменяет значение результата измерения.

Результат измерения при наличии систематической погрешности называют неисправленным, после её компенсации – исправленным. Остаточное (после компенсации) значение систематической погрешности является показателем правильности метода измерения. Правильность – степень близости результата измерения к истинному или принятому значению.

Случайная составляющая погрешности влияет на ширину интервала, характеризующего разброс результатов наблюдений, и, в конечном счёте, на разность Xmax – Xmin. Прецизионность – степень близости друг к другу независимых результатов наблюдений, полученных в конкретных условиях. Мерой прецизионности является значение стандартного (среднего квадратического) отклонения результатов наблюдений.

3

Для обнаружения выбросов существует добрый десяток критериев. Российский национальный стандарт ГОСТ Р 8.736-2011 рекомендует для этой цели в первую очередь использовать критерий Граббса.

При статистической обработке результатов наблюдений вычисляются следующие параметры:

- значение измеряемой величины, за которое принимается среднее арифметическое ряда исправленных результатов наблюдений x1, x2, … xi, … xn:

= ( ) / n;

- среднее квадратическое отклонение группы результатов наблюдений:

- среднее квадратическое отклонение среднего арифметического:

Корректная запись результата измерения имеет две формы:

X ± ∆X, Р и Xmin = (X – ∆X) ≤ X ≤ Xmax = (X + ∆X), P.

Здесь Р – доверительная вероятность того, что истинное значение величины находится в пределах интервала, границы которого - значения Xmin и Xmax.

2. Прямое однократное измерение

При однократном измерении (число наблюдений – 1, 2 или 3) не проводится статистическая обработка результатов наблюдений, т.е. не вычисляются средние квадратические отклонения S

Составляющие погрешности результата измерения должны быть известны до проведения измерения. Также предполагается, что все известные систематические погрешности исключены. Полагают, что распределение случайных погрешностей (СКО) не противоречит нормальному закону, а неисключённые систематические погрешности (НСП) распределены равномерно.

Если число наблюдений n более одного, вычисляется среднее арифметическое

В тех случаях, когда в условиях задачи указаны значения постоянных систематических погрешностей, необходимо вычислять исправленные значения результатов измерений.

Для того, чтобы получить достаточно надёжные значения оценки измеряемой величины и границ случайной погрешности результата измерения, необходимо использовать всю возможную априорную информацию о средствах и методах измерений, об условиях измерений. В частности, используются значения следующих составляющих погрешности измерения:

4

–инструментальная погрешность, которая указывается в форме основной погрешности средства измерений ∆СИ; она определяет границы зоны разброса результатов наблюдений при нормальных условиях измерений относительно показания прибора и используется в форме неисключённой систематической погрешности (± ∆СИ);

–методическая погрешность; она может быть задана в форме одного из следующих вариантов: + ∆МЕТ; – ∆МЕТ, ± ∆МЕТ или в относительной форме, как определённый процент от основной погрешности СИ. В первых двух вариантах её следует рассматривать как постоянную систематическую погрешность, а в двух других – как неисключённую систематическую погрешность;

–субъективная погрешность может быть задана либо в абсолютной форме (± ∆С), либо в относительной, как определённый процент от основной погрешности СИ; во всех случаях эта погрешность – неисключённая систематическая;

–дополнительная погрешность может быть задана либо в абсолютной форме (+ ∆ДОП; – ∆ДОП или ± ∆ДОП), либо в относительной, как определённый процент от основной погрешности СИ. В первых двух вариантах её следует рассматривать как постоянную, а в двух других – как неисключённую систематическую погрешность.

Погрешность результата однократного измерения представляется как совокупность двух видов - случайной (СКО) и несключённой систематической (НСП) погрешностей. Сложение составляющих этих погрешностей производится по следующим правилам:

зависимости от формы задания составляющих СКО [Si или εi(P)] доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения вычисляют по одной из формул:

ε(Р) = Z∙S = Z· или ε(Р) = ;

- составляющие НСП, заданные своими границами ± Θi, складываются квадратически; доверительные границы НСП результата измерения (без учёта знака) вычисляют по формуле

Θ(Р) = k· Θ

Значение поправочного коэффициента Z следует выбирать по таблице 1, а коэффициента k – по таблице 2.

5

Таблица 2

Поправочный коэффициент k

Доверительные границы погрешности результата измерения ∆(Р) оценивают в зависимости от величины отношения А = Θ(Р) / S:

-если А < 0,8 или неисключённая систематическая погрешность пренебрежимо мала и поэтому не задана, то ∆(Р) = ε(Р);

-если 0,8 ≤ А ≤ 8, то ∆(Р) = K∙[Θ(Р) + ε(Р)]; значение коэффициента K выбирается по таблице 3.

-если А > 8 или случайная погрешность пренебрежимо мала и поэтому не задана, то ∆(Р) =

Θ(Р).

Таблица 3

Коэффициент K

Результат измерения записывается в двух формах:

xиспр ± ∆(Р), P и [xиспр – ∆(Р)] ≤ x ≤ [xиспр + ∆(Р)], Р

3. Прямое многократное измерение

При многократном измерении используют не менее четырёх наблюдений. При статистической обработке группы результатов прямых многократных независимых наблюдений выполняют следующие операции:

-исключают известные систематические погрешности из каждого результата наблюдения; постоянную систематическую погрешность, если она одинакова для всего ряда результатов наблюдений, допускается исключать после вычисления среднего арифметического значения неисправленных результатов наблюдений;

-вычисляют значение (оценку) измеряемой величины;

-вычисляют среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений;

6

-проверяют наличие выбросов (грубых погрешностей) и исключают их; вычисляют значение (оценку) измеряемой величины и среднее квадратическое отклонение оставленных результатов наблюдений;

-вычисляют среднее квадратическое отклонение среднего арифметического результатов наблюдений и доверительные границы случайной погрешности измеряемой величины;

-вычисляют доверительные границы неисключённой систематической погрешности измеряемой величины;

-вычисляют доверительные границы погрешности измеряемой величины.

Для определения доверительных границ погрешности оценки измеряемой величины доверительную вероятность Р принимают равной 0,95. В некоторых случаях (например, когда не представляется возможным повторить измерение) допускается указывать границы для доверительной вероятности Р

= 0,99.

Значение (оценку) измеряемой величины, за которую принимается среднее арифметическое значение исправленных результатов, вычисляют по формуле

= xi,

где n - число результатов наблюдений.

Несмещённое среднее квадратическое отклонение для группы, содержащей n результатов наблюдений, вычисляют по формуле

S = .

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического вычисляют по формуле

S = S / .

Для проверки наличия выбросов (грубых погрешностей) рекомендуется в первую очередь использовать критерий Граббса. Статистический критерий Граббса основан на двух предположениях:

•группа результатов наблюдений принадлежит нормальному распределению (при числе результатов наблюдений n ≤ 15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяется);

•результат наблюдения, который считается выбросом, имеет весьма малую вероятность появления.

Перед процедурой выявления наличия выбросов целесообразно сформировать из результатов наблюдений ранжированный ряд:

xmin ≤ x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn–2 ≤ xmax.

Затем вычисляют критерии Граббса G1 и G2, предполагая, что наибольший xmax или наименьший xmin результат измерения вызваны грубыми погрешностями (промахами) и являются выбросами:

Сравнивают значения G1 и G2 с критическим значением GТ критерия Граббса (таблица 4) при выбранной вероятности Р. Если G1 < GТ, то xmax не считают выбросом и его сохраняют в ряду

7

результатов измерений. Если G2 < GТ, то xmin не считают выбросом и его сохраняют в ряду результатов измерений.

Если G1 > GТ, то xmax исключают как маловероятное значение. Если G2 > GТ, то xmin исключают как маловероятное значение. Далее вновь вычисляют среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонения ряда результатов измерений и процедуру проверки наличия выбросов повторяют до тех пор, пока не будет установлено, что обрабатываемый ряд результатов наблюдений не содержит выбросов.

Для выборки размером n > 40 используется критерий «трёх сигм».

Все известные погрешности прямого многократного измерения разделяют на две категории:

– случайные погрешности; в эту категорию включаются результаты обработки ряда результатов наблюдений - среднее квадратическое отклонение ряда результатов наблюдений S и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S ;

– неисключённые систематические погрешности; здесь могут быть представлены все составляющие погрешности измерения – инструментальная ∆СИ, методическая МЕТ, субъективная

С, дополнительная ДОП, а также погрешности, вызванные другими источниками.

Доверительные границы случайной погрешности измеряемой величины вычисляют по формуле: εx = t·S ,

где t - коэффициент Стьюдента (таблица 5).

8

Таблица 5

Значение коэффициента t Стьюдента

Суммирование составляющих неисключённой систематической погрешности с целью расчёта её доверительных границ для разных значений доверительной вероятности (Р = 0,95 и Р = 0,99) проводится по разным алгоритмам. При вычислении границ НСП принимают то же значение вероятности, что и при вычислении границ случайной погрешности.

Вероятность Р = 0,95. При числе составляющих НСП менее трёх (m < 3), каждая из которых представлена границами Θi, доверительные границы НСП измеряемой величины оценивают по формуле:

Θ (0,95) = |Θi|.

При наличии трёх составляющих НСП (m = 3) они рассматриваются как случайные независимые величины, и доверительные границы НСП измеряемой величины оценивают исходя из равномерного распределения составляющих:

Θ (0,95) = 1,2· Θ .

При числе составляющих НСП более трёх (m > 3) доверительные границы НСП вычисляют по формуле:

Θ (0,95) = 1,1· Θ .

Вероятность Р = 0,99. При числе составляющих m ≥ 2 и равномерном распределении составляющих доверительные границы НСП измеряемой величины определяют путём построения композиции НСП:

Θ (0,99) = k· Θ .

9

Значение коэффициента k определяется по таблице 6, где аргументами являются отношение l = (Θj max / Θj min) > 1 и число m слагаемых. При трёх или четырёх составляющих в качестве Θ1j принимается составляющая, по числовому значению наиболее отличающаяся от других составляющих, в качестве Θ2j - составляющая, ближайшая к Θ1j. Значение l равно отношению бòльшего из составляющих Θ1j и Θ2j к мèньшему.

Доверительные границы результата измерения определяют по формуле:

4. Косвенное измерение

Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение величины определяют на основании прямых измерений других величин, функционально связанных с искомой величиной. При косвенных измерениях искомое значение величины А находят на основании результатов измерений аргументов аi, связанных с искомой величиной уравнением

А = f (a1, …, ai, …, am).

10