Коновалюк МА - весна 2021 (1 сем.) / 07 ЛК - Переходные процессы в цепях первого порядка
.pdf
Кафедра «Теоретическая радиотехника»
www.mai-trt.ru
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Лекция 6. Переходной процесс в цепи первого порядка
Коновалюк М.А. konovaluk@mai-trt.ru
Коммутации в электрических цепях
• Момент коммутации = 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=? |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• До коммутации < 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(по ЗКН) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
|
= |
|
= 0 |
|
|
(по «з-ну емкости») |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Институт № 4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
2 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
Реактивные элементы при постоянном токе
Емкость по постоянному току эквивалентно заменяется в цепи на источник нулевого тока, т.е. «холостой ход»
|
|
|
|
xx |
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
(по «з-ну емкости») |
(хх – источник нулевого тока) |
||||||
Индуктивность по постоянному току эквивалентно заменяется в цепи на источник нулевого напряжения, т.е. «короткое замыкание»
|
|
|
= |
|
= 0 |
кз |
|
= 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(по «з-ну индуктивности») |
(кз – источник нулевого напряжения) |
||||||
Институт № 4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
3 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
Законы коммутации
• Окрестность точки = 0 слева и справа
0− 0+
0
Значение переменной состояния в момент
коммутации скачком не изменяется
|
0 |
= |
0 |
= |
0 |
|
+ |
|
|
|
− |
|
0 |
= |
0 |
= |
0 |
|
+ |
|
|
|
− |
• В момент коммутации = 0
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
(по «з-ну коммутации») |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 = − |
|
(по з-ну Ома) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Институт № 4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
4 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
Реактивные элементы в момент
коммутации
Емкость в момент коммутации эквивалентно заменяется независимым источником напряжения
|
|
|
(0) |
|
(0) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
= |
|
< ∞ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Индуктивность в момент сразу после коммутации эквивалентно заменяется независимым источником тока
|
= |
|
< ∞ |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
Институт № 4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
5 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
Динамическое уравнение
• После коммутации > 0
|
|
|
|
|
= − |
|
(по з-ну Ома) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 + |
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(по «з-ну емкости») |
|
|||||
• После подстановки тока в уравнение для напряжения получим динамическое уравнение
|
|
1 |
|
|
′ |
|
1 |
|
|
|
= 0 − |
|
′ = 0 − |
′ ′ |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Институт № 4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
6 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
Решение уравнения
• Динамическое уравнение
|
1 |
|
|
= − |
′ ′ + 0 |
||
|
|||
|
0 |
||
|
|
|
• |
Пример напряжения |
|
= − |
|
|
|||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
− |
|
1 |
≈ 0,37 |
|
≈ 0,14 |
≈ 0,05 |
||||
|
• |
Пример функции |
|
|
= |
|
|
= + , |
, В
|
≈ 0,37 |
|
|
e |
, с |
|
|
0 |
|
• Проверку можно выполнить подстановкой решения в динамическое уравнение:
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
′ |
|
|
|
|
|
||||
|
= − |
− |
|
′ + = − |
|
0 + = |
− |
|
− 0 |
+ = − |
|
||
|
|
|
|
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Институт № 4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
7 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
Собственная реакция
= 0
|
|
|
• Начальное состояние
0 =
• Собственная реакция
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
, ≥ 0 |
||||
|
|
|||||||
собств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Искомая реакция |
|||||||
|
= |
, |
|
|
|
|
|
< 0; |
− |
|
|
|
|
||||
|
|
|
, |
|
|
≥ 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собств. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 0,37 |
|
|
e |
, с |
|
|
0 |
|
= , c – постоянная времени RC-цепи
Институт № 4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
8 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
Вынужденная реакция
•Вынужденная реакция определяется в установившемся режиме при → ∞
= 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вын. ∞ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Другой пример
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вын. ∞ |
= |
Институт № 4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
9 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|
Переходной процесс цепи первого порядка
• Переходной процесс определяется суммой собственной и вынужденной реакции
(0−), |
|
|
|
< 0; |
= |
− ∞ |
|
− |
≥ 0. |
0+ |
+ ∞ , |
Постоянная времени RC-цепи: |
Постоянная времени RL-цепи: |
|
|
|
|
|
= , [ ] |
|
= |
|
, [ ] |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Институт № 4 «Радиоэлектроника, |
|
Кафедра «Теоретическая |
|
инфокоммуникации и информационная |
10 |
||
радиотехника» |
|||
безопасность» |
|
||
|
|