Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через
плоскую трехслойную стенку при условиях: толщина слоев стенки d1 , d2 , d3 ; коэффициенты теплопроводности материалов соответственно l1 , l2 , l3 ; контакт между
стенками идеальный и температура на границе смежных слоев одинакова.
Перенос тепла происходит в стационарных условиях – плотность теплового потока по всем слоям стенки имеет одно и то же значение (q=idem).
q = l1 (tc1 |
- tc2 ) = l2 (tc2 |
- tc3 ) = l3 (tc3 - tc4 ). |
d1 |
d2 |
d3 |
Выделим из этого ряда равенств разности температур
tс1 - tc2 |
= q |
d1 |
= qR1 ; |
tc2 |
- tc3 |
= q |
d2 |
= qR2 ; |
|
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|
l1 |
|
|
|
l2 |
|||
t3 - tс4 = q d3 = qR3 . l3
Складывая левые и правые части уравнений разности температур, получаем слева изменение температуры в стенке, справа – произведение плотности теплового потока q
и общего термического сопротивления |
|
|
|||||||||
|
æ |
d1 |
|
d2 |
|
d3 |
ö |
= q(R1 |
|
+ R3 ). |
|
tс1 - tс4 |
ç |
+ |
+ |
÷ |
+ R2 |
||||||
|
|
|
|||||||||
= qç |
l2 |
|
÷ |
||||||||
|
è l1 |
|
|
l3 ø |
|
|
|
||||
Плотности теплового потока при переносе тепла теплопроводностью через плоскую трехслойную стенку
q = |
|
|
tс1 - tс4 |
|
= |
|
tс1 - tс4 |
|
, |
Q = qF |
|||
|
d1 |
|
d2 |
|
d3 |
|
R |
+ R + R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
l1 |
+ l2 |
+ l3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае для стенки, состоящей из n – слоев имеем
Q = qF = |
t |
с1 - tс(n+1) |
F |
= |
tс1 |
- tс(n+1) |
F , |
||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
d |
i |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åRi |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
li |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|||||||
q = |
tс1 - tс(n+1) |
= |
|
t |
с1 |
- tс(n+1) |
|
= |
tс1 |
- tс(n+1) |
, |
||||||||||||
n |
d |
i |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
R |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åRi |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
li |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Температура на стыке двух слоев
ti+1 = t1 - qåi di i=1 li
Рассмотрим теплопроводность цилиндрической однослойной стенки с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2 в условиях стационарного температурного поля. Внутренние источники теплоты отсутствуют.
Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки
¶t |
æ |
¶2t 1 ¶t |
1 ¶2t |
|
¶2t |
ö |
||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
¶t |
¶ 2 + r ¶r + |
|
|
|
¶j2 |
+ ¶ 2 |
||||||||
= aç |
r |
2 |
|
÷ |
||||||||||
|
è |
r |
|
|
|
|
z |
ø |
||||||
¶t = 0
В рассматриваемом случае ¶t
Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки неизменны и ось z совмещена с осью
цилиндра
¶2t = ¶2t = 0
¶j2 ¶z 2
Подставляя полученные значения С1 и С2 в общее уравнение
С |
|
= |
t |
c1 |
- t |
c2 |
С2 |
= tc1 - (tc1 |
- tc2 ) |
lnr1 |
|
|||
1 |
|
|
|
|
r1 |
|
||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ln r2 |
|
|
|
|
|
ln r2 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
получим |
t = tc1 - (tc1 - tc2 ) |
ln r |
|
|
||
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
ln |
r2 |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
температурного поля представляет собой уравнение логарифмической кривой.
Для определения теплового потока через цилиндрическую поверхность воспользуемся законом Фурье
Q = -l |
¶t |
× F ; |
Q = -l |
¶t |
× 2prL |
|
¶r |
||||
¶r |
Подставляя в уравнение Фурье значение градиента
температуры
drdt = Сr1
получим |
2pll(tc1 - tc2 ) |
|
2pll(tc1 - tc2 ) |
|||||||
Q = |
или Q = |
|||||||||
|
|
|
|
|
d2 |
|
||||
ln |
r2 |
ln |
||||||||
|
|
|||||||||
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
d1 |
||||||