Лекц / pdf / Общий

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности при следующих допущениях: тело однородно и изотропно; физические параметры тела постоянны во времени и пространстве; температурные деформации рассматриваемого элементарного объема малы по сравнению с самим объемом; внутренние источники теплоты распределены в рассматриваемом объеме равномерно; макрочастицы тела неподвижны относительно друг друга; имеет следующий вид:

где t – время, сек; a = clr – коэффициент температуро-

проводности, характеризующий скорость изменения температуры в любой точке тела, ; c – теплоемкость тела;

r – плотность тела;qv – объемная плотность тепловыделения, вm/м3; Ñ – оператор Лапласа.

В цилиндрических координатах

где r – радиус вектор; j – угол наклона радиуса–вектора

Условия однозначности или краевые условия: геометрические условия (форма, размеры тела);

физические условия (физические свойства тела и его физические параметры);

начальные условия (распределение температуры в теле в начальный момент времени);

граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей средой.

1. Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела, как функция координат и

времени:

tc = f (x, y,z ,t),

где tc -температура поверхности тела.

В частном случае, если температура поверхности тела постоянна tc = const

2. Граничные условия второго рода. Задается распределение плотности потока на поверхности тела, как функция

координат и времени

qc = f (x, y,z,t)

В частном случае, когда плотность теплового потока на поверхности тела остается постоянной, имеем qc = q0 = const .

3.Граничные условия третьего рода. Задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой (закон НьютонаРихмана ).

где a – коэффициент теплообмена, представляющий собой

плотность теплового потока подведенного (отведенного) к единице поверхности тела при разности температур между поверхностью тела и окружающей среды 10С, вm/м2град.

Количество теплоты, воспринятое поверхностью тела, распространяется в нем по закону Фурье

Отсюда аналитическое выражение граничных условий третьего

4. Граничные условия четвертого рода. Отражают условия теплообмена системы тел имеющих различные коэффициенты теплопроводности. Между телами предполагается

Теплопроводность при стационарном режиме

Развернутая форма оператора Ñ2t зависит от выбранной

системы координат. При отсутствии внутренних источников теплоты , уравнение теплопроводности при стационарном температурном поле запишется в виде

Ñ2t = 0

Определим тепловой поток теплопроводностью через изотропную плоскую стенку, предполагая, что температура меняется только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки т.е

d 2t = 0 dx2

Первое и второе интегрирование данного уравнение

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий первого рода

Подставляя постоянные интегрирования в общее решение получим закон распределения температуры в рассматриваемом сечении стенки

t = tc1 - tc1 - tc2 x

d

распределение температуры в стенке при граничных условиях первого рода является линейной функцией.

Расчетное выражение удельного теплового потока получается из уравнения Фурье

q = -l ¶¶xt = -lc1 = ld (tc1 - tc2 )

С учетом того, что тепловой поток Q = qF имеем

Q = qF = ld (tc1 - tc2 )F

Отношение ld называется тепловой проводимостью стенки. Обратная величина ld представляет собой термическое

сопротивление стенки. С учетом выше сказанного имеем