Теплопроводность плоской стенки

При установившемся (стационарном) тепловом режиме и уравнение (13) принимает вид

или . (21)

Развернутая форма оператора зависит от выбранной системы координат. При отсутствии внутренних источников теплоты дифференциальное уравнение теплопроводности при стационарном температурном поле запишется в следующем виде

. (21а)

Определим тепловой поток через изотропную плоскую стенку. Предполагая, что температура меняется только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (рис. 2а), имеем:

(22)

. (22а)

б

а

Рис. 2. Теплопроводность плоской однослойной (а) и многослойной (б)

стенки

Интегрируя уравнение (22а), имеем

. (23)

Второе интегрирование дает

. (24)

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий первого рода:

(25)

Подставляя постоянные интегрирования в соотношение (24), получим уравнение распределения температуры в плоской стенке

. (26)

Из выражения (26) следует, что температура в плоской стенке изменяется по линейному закону.

Из закона Фурье (8), с учетом формул (23) и (25), получаем уравнение теплопроводности через однослойную плоскую стенку

. (27)

Тепловой поток при теплопроводности через однослойную плоскую стенку определяется следующим образом:

. (28)

Отношение называется тепловой проводимостью плоской стенки. Обратная величина представляет собой удельное термическое сопротивление плоской стенки.

Уравнения (27) и (28) могут быть представлены в виде:

, (29)

. (30)

Таким образом, можно утверждать, что значения удельного или полного теплового потока зависят от термического сопротивления стенки.

Рассмотрим процесс передачи теплоты теплопроводностью через плоскую трехслойную стенку (рис. 2б) при условиях, что толщина слоев стенки составляет , , ; коэффициенты теплопроводности материалов слоев равны соответственно , , ; контакт между стенками идеальный и температура на границе смежных слоев одинакова. Перенос теплоты происходит в стационарных условиях – значения плотности теплового потока через все слои стенки имеет одно и то же значение (q = idem).

Запишем выражения плотности теплового потока через стенки и приравняем их, т.к. q = idem

. (31)

Выделим из соотношения (31) разности температур на каждом из слоев стенки:

(32)

(32а)

(32б)

Суммируя, левые и правые части уравнений (32), (32а), (32б), получаем: слева - изменение температуры в стенке , справа – произведение плотности теплового потока q на сумму термических сопротивлений стенок

(33)

Таким образом, для определения плотности теплового потока через плоскую трехслойную стенку получим следующее выражение:

(34)

В случае многослойной плоской стенки, состоящей из n слоев, выражение для плотности теплового потока может быть представлено в следующем виде:

(35)

где R – общее термическое сопротивление многослойной плоской стенки.

Как следует из соотношения (35), плотность теплового потока прямо пропорциональна разности температур и обратно пропорциональна термическому сопротивлению стенки R.