Коэффициент теплопроводности

Под коэффициентом теплопроводности понимают тепловой поток, передаваемый через единичную площадь поверхности при единичном значении температурного градиента

. (11)

Коэффициент теплопроводности для каждого тела имеет свое численное значение и зависит от природы тела, пористости, влажности, давления, температуры и других параметров. Соотношение для определения теплового потока (7) получено при условии, что не зависит от температуры, и является постоянной величиной. Однако, как показывают опыты, с достаточной для практики степенью точности, зависимость коэффициента теплопроводности от температуры для многих материалов можно принять линейной во всем рассматриваемом интервале температур

(12)

где – коэффициент теплопроводности при температуре ; b – постоянная, характеризующая приращение (уменьшение) материала при повышении его температуры на 1 градус.

Наихудшими проводниками теплоты являются газы. Коэффициент теплопроводности газов возрастает с увеличением температуры и изменяется в пределах 0,005 ÷ 0,5 Вт/(м·К).

Коэффициент теплопроводности жидкостей лежит в пределах 0,07 ÷ 0,7 Вт/(м·К) и, как правило (за исключением воды и глицерина), уменьшается с увеличением температуры.

Наилучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых коэффициент теплопроводности изменяется в диапазоне Вт/(м·К). У большей части чистых металлов с возрастанием температуры он уменьшается.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Распределение температуры в теле описывается дифференциальным уравнением теплопроводности. При условиях, что тело однородно и изотропно, физические параметры тела постоянны во времени и пространстве, температурные деформации рассматриваемого элементарного объема малы по сравнению с самим объемом, внутренние источники теплоты распределены в рассматриваемом объеме равномерно, макрочастицы тела неподвижны относительно друг друга, дифференциальное уравнение теплопроводности имеет следующий вид:

, (13)

где – коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость изменения температуры в любой точке тела, м²/c; – изобарная теплоемкость тела, ; – плотность тела, кг/м³; – объемная плотность внутренних источников теплоты, Bm/м³; – оператор Лапласа.

В цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности может быть представлено в следующей форме:

, (14)

где – радиус-вектор; – угол наклона радиуса-вектора.

Чтобы получить решение уравнения (13) для конкретного случая, необходимо описать особенности рассматриваемого процесса теплопроводности. Эти особенности называются условиями однозначности, включающими:

• геометрические условия (форма, размеры тела);

• физические условия (физические свойства тела и его параметры);

• начальные условия (распределение температуры в теле в начальный момент времени);

• граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей средой.

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела, как функция координат и времени

(15)

где - температура поверхности тела.

В простейшем случае, если температура поверхности тела постоянна, выражение (15) имеет вид .

Граничные условия второго рода. Задается распределение плотности теплового потока на поверхности тела, как функция координат и времени

. (16)

В частном случае, когда плотность теплового потока на поверхности тела остается постоянной, имеем .

Граничные условия третьего рода. Задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой (уравнение Ньютона-Рихмана)

если , (17)

где – коэффициент теплоотдачи, Вm/(м²·К).

Тепловой поток, подведенный к поверхности тела, распространяется в теле по закону Фурье. Следовательно, на основании уравнений (8) и (17) имеем

, (18)

где – температурный градиент у поверхности тела.

Выражение (18) можно записать в виде

. (19)

Уравнение (19) является аналитическим выражением граничных условий третьего рода.

Граничные условия четвертого рода. Отражают условия теплообмена между телами, имеющими идеальный контакт и различные значения коэффициентов теплопроводности. При этих условиях и постоянном тепловом потоке, выражение граничных условий четвертого рода можно представить в виде

, (20)

где , – коэффициенты теплопроводности первого и второго тела, соответственно.