изгиб / Примеры решения
.pdf
Занятие № 2
Пример № 1. Построить эпюру внутренних силовых факторов при изгибе (рис. 1).
Рис. 1.
Решение. Брус имеет один участок. 0 ≤ z ≤ l.
Q = - F.
М = - Fz.
При z = 0 Q = - F; Mизг = 0;
При z = l Q = - F; Mизг = - Fl.
По составленным уравнениям и полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
1
Пример № 2. Построить эпюру внутренних силовых факторов при изгибе (рис. 2).
Рис. 2.
Решение. Брус имеет один участок: 0 ≤ z ≤ l.
Q = - qz.
При z = 0 Q = 0;
При z = l Q = - ql.
M = - q z z2 = - 12 q z2 = - q2z2 .
При z = 0 Mизг = 0;
При z = l Mизг = - q2l 2 .
По составленным уравнениям и полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
2
Пример № 3. Дано: а = 2 м; F = 4 кН; М0 = 2 кН·м; q = 2 кН/м. Построить эпюру внутренних силовых факторов при изгибе (рис. 3).
Рис. 3.
Первый участок: 0 ≤ z1 ≤ a. Q1 = - F;
Мизг 1 = Fz1.
При z1 = 0 Q1 = - F = - 4 кН, Мизг 1 = 0;
При z1 = а = 2 м Q1 = - F = - 4 кН, Мизг 1 = Fa = 4·2 = 8 кН·м.
Второй участок: 0 ≤ z2 ≤ a.
Q2 = - F + qz2;
Mèçã2 = F (a + z2 ) - M 0 - |
q z22 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
||
При z2 |
= 0 Q2 = - F = - 4 кН, Мизг 2 = Fa – M0 = 4·2 – 2 = 6 кН·м; |
|||||||
При z2 |
= а = 2 м Q2 = - F + qa = - 4 + 2 · 2 = 0, |
|
||||||
Mизг 2 = F 2a - M0 - |
q a2 |
= 4 × 2 × 2 - 2 + |
1 |
× 2 × 22 |
= 10 к Н × м. |
|||
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
|
||||
Строим эпюры.
3
Пример № 4. Построить эпюру внутренних силовых факторов при изгибе (рис. 4). Дано: F = 30 кН; q = 20 кН /м.
Рис. 4.
Решение. Брус имеет два участка. Первый участок:
0 ≤ z1 ≤ 2 м.
Q1 = F - qz1.
M |
|
= F × z - |
q z2 |
||
èçã1 |
1 |
. |
|||
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
При z1 |
= 0 Q1 = F = 30 кН; Mизг 1 = 0. |
||||
При z1 |
= 2 м Q1 = F - q·2 = 30 - 20·2 = - 10 кН; |
||||
|
|
|
|
Мизг 1 = 30·2 - 20·2·1 = 20 кН·м. |
|
Второй участок: 0 ≤ z2 ≤ 1 м. Q2 = - 10 кН.
Мизг 2 = F·3 - q·2 ·2 = 30·3 - 20·2·2 = 10 кН·м.
|
Определяем |
максимальное |
значение |
изгибающего момента. |
||||||||
Q = F - q z* |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z* = |
F |
|
= |
30 |
= 1,5 м; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
q |
20 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
М max = F × z |
* - q × z* |
z* |
= 30 ×1,5 - 20 ×1,5× 0,75 = 22,5кН × м . |
||||||||
|
1 |
|||||||||||
|
2 |
|||||||||||
|
|
изг |
1 |
1 |
|
|
|
|||||
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
4
Пример № 5. Построить эпюру внутренних силовых факторов при изгибе (рис. 5). Дано: F = 3 кН; q = 4 кН /м; m = 2 кН·м.
|
|
|
|
|
|
Рис. 5. |
|
Первый участок: |
|
|
|
|
|||
0 ≤ z1 ≤ 1 м. |
|
|
|
|
|||
Q1 = - qz1; |
z |
|
q z2 |
||||
|
|
|
|
||||
M |
изг1 |
= - q z |
1 |
= - |
1 |
. |
|
2 |
2 |
||||||
|
1 |
|
|
||||
При z1 = 0 Q1 = 0; Mизг 1 = 0;
При z1 = 1 м Q1 = - 4 кН; Мизг 1 = - 2 кН·м. Второй участок:
0 ≤ z2 ≤ 2 м.
Q2 = - q·1 + F = - 4 + 3 = - 1 кН.
Мизг 2 = - q ·1 ·2,5 + m + F·z2 = - 2·1·2,5 + 2 + 3·z2. При z2 = 0 Mизг 2 = 0;
При z2 = 2 м Мизг 2 = - 2 кН·м.
Строим эпюры. поперечных сил и изгибающих моментов.
5
Пример № 6. Построить эпюры Qy и Мх для заданной консольной балки: F = qa, m = qa2 (рис. 6).
Рис. 6 |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
Первый участок: |
|
|
|
|
|
|
0 ≤ z1 ≤ а. |
|
|
|
|
|
|
Q1 = F = qa; |
|
|
|
|
|
|
Мизг1 = F·z1. |
|
|
|
|
|
|
При z1 = 0 Мизг1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
При z1 = a Мизг1 = qa2. |
|
|
|
|
|
|
Второй участок: |
|
|
|
|
|
|
0 ≤ z2 ≤ 2а. |
|
|
|
|
|
|
Q2 = F = qa; |
|
|
|
|
|
|
Мизг2 = F(a + z1) – m. |
|
|
|
|
|
|
При z2 = 0 Мизг2 = Fa – m = qa2 – 2qa2 = - qa2; |
|
|
|
|
|
|
При z2 = 2a Мизг2 = F·3a – m = qa2. |
|
|
|
|
|
|
Третий участок: |
|
|
|
|
|
|
0 ≤ z3 ≤ 3а. |
|
|
|
|
|
|
Q3 = F - q·z3. |
|
|
|
|
|
|
При z3 = 0 Q3 = F = qa; |
0,%1 |
|
|
|
|
|
При z3 = 3a Q3 = F - q·3a = qa – 3qa = - 2qa. |
|
|
|
|
||
Мизг% = '(3* + ,%) − / − |
. |
|
|
|
||
|
2 |
1 |
; |
|||
При ,% = 0 Мизг% = ' ∙ 3* − / = −0* |
|
|||||
При ,% = 3* Мизг% = ' ∙ 6* − / − |
0(3*)1 |
= |
||||
2 |
|
|
||||
6
|
= 0* ∙ 6* − 20* |
1 |
− |
0(3*)1 |
= −0,50* |
1 |
. |
|||||||
Вычисляем |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
значение максимального изгибающего момента: |
|||||||||||||
|
=% = ' − 0 ∙ ,% → ,% = *; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
@AB |
|
|
|
|
|
|
|
0*1 |
|
|
|
|
|
|
Мизг = '(3* + *) − / − |
|
= |
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
0*1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
= 0* ∙ 4* − 20* |
|
− |
2 |
= 1,50* |
|
. |
|
|
|||||
7
Занятие № 4
Пример № 1. Дано: а = 2 м; q = 2 кН/м (рис. 1). Построить эпюры внутренних силовых факторов при изгибе.
Рис. № 1.
Решение.
åM A = - q × 3a 32 a + RB × 2 a = 0, RB = 94 q a = 94 × 2 × 2 = 9 кН ;
åM B = - RA × 2 a + q × 3a a2 = 0, RA = 34 q a = 34 × 2 × 2 = 3 к Н .
Проверка:
åFy = RA - q × 3a + RB = 34 q a - 3q a + 94 q a = 0.
Первый участок: 0 ≤ z1 ≤ 4 м.
Q1 = RA - q z1 = 34 q a - q z1;
М изг1 = RA × z1 - q z1 z21 = 34 q a z1 - 12 q z12 .
При z1 = 0 Q1 = 3 кН, Мизг 1 = 0;
При z1 = 4 м Q1 = - 5 кН, Мизг 1 = - 4 кН·м. Второй участок:
0 ≤ z2 ≤ 2 м.
Q2 = q z2;
1
М изг 2 = - 12 q z22 .
При z2 = 0 Q2 = 0, Мизг 2 = 0;
При z2 = 2 м Q2 = 4 кН, Мизг 1 = - 4 кН·м.
Определяем максимальное значение изгибающего момента на первом участке.
Q = |
3 |
q a - q z* = 0 Þ z* = |
3 |
a = |
3 |
|
м. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
max |
|
|
3 |
|
3 |
|
q |
æ 3 |
ö |
2 |
|
9 |
|
|
|
2 |
|
9 |
|
2 |
= 2,25 кН × м. |
||
М |
изг |
= |
|
q a |
|
a - |
|
ç |
|
a÷ |
= |
|
|
q a |
|
= |
|
× 2 × 2 |
|
|||||
4 |
4 |
2 |
|
32 |
|
32 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è 4 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Строим эпюры.
Пример № 2. Построить эпюры внутренних силовых факторов при изгибе (рис. № 2).
Рис. № 2.
Решение.
åM A |
= - 2 F a + RB × 2 a - F × 3a = 0, RB = |
5 |
F ; |
||||
2 |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|||
åM B |
= - RA × 2 a + 2 F × a - F a = 0, RA |
= |
|
F . |
|||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Проверка:
2
åFy = RA - 2 F + RB - F = 12 F - 2 F + 52 F - F = 0.
Первый участок: 0 ≤ z1 ≤ а.
Q1 = RA = 12 F;
Mизг1 = RA × z1 = 12 F z1.
При z1 = 0 Q1 = F/2, Мизг 1 = 0; При z1 = a Q1 = F/2, Мизг 1 = Fa/2.
Второй участок: 0 ≤ z2 ≤ a.
Q2 = RA - 2 F = |
|
1 |
F - 2 F = - |
3 |
F; |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Мизг 2 = RA (a + z2 ) - 2 F z2 = |
1 |
F a - |
3 |
F z |
2 . |
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
При z2 |
= 0 Q2 |
= - |
|
3 |
F, |
Mизг 2 |
= |
F a |
; |
|
|||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
При z2 |
= а Q2 |
= - |
|
3 |
F, |
Mизг 2 |
= - F a. |
|
|||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Третий участок: 0 ≤ z3 ≤ a.
Q3 = F; Mизг3 = -Fz3.
При z3 = 0 Q3 = F, Мизг3 = 0; При z3 = а Q3 = F, Мизг3 = -Fa.
Строим эпюры.
3