учебники / Короновский Н.В. «‎Общая геология‎» 3-ие издание

Математически подобные процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые отличаются от линейных,

вчастности, тем, что до определенных значений параметров, входящих

вуравнение, они имеют однозначное (единственное стационарное) решение. Однако в момент перехода, даже плавного, хотя бы одного параметра (его в таких случаях именуют управляющим) через некоторое критическое значение (точку бифуркации) решение становится многозначным (число стационарных решений возрастает). Это значит, что поведение системы скачкообразно и качественно перестраивается. Такова математическая картина.

Но как только мы от математических систем переходим к реальным, физическим, подобная чисто теоретическая многозначность лишается смысла: она означала бы, что на некотором удалении от начального момента данная реальная система оказывается в нескольких различных состояниях одновременно, а затем эволюционирует, также одновременно, по нескольким различным путям, что, разумеется, невозможно.

Проиллюстрируем это. В разделе 2.2 уже говорилось о существовании продольных сейсмических волн (см. рис. 2.2А, а). По ходу такой волны среда испытывает сжатие и уплотнение материала. Этому предшествуют разрежение и разуплотнение. Пусть имеется исходное волнообразное возмущение поля плотности (рис. 21.2А). Будем для простоты изображать только волну сжатия, где вершине отвечает точка пространства с максимальной плотностью материала. Обратим внимание на то, что в этот начальный момент любой точке пространства в пределах исходного возмущения отвечает одно, и только одно, значение плотности. Пусть возмущение перемещается по ходу продольной волны. Это может происходить по-разному.

Пусть в первом случае (рис. 21.2Б) каждая точка профиля перемещается с одной и той же, постоянной скоростью так, что форма профи-

ля не меняется. Это упрощенно описывается дифференциальным уравнением ∂ρ/∂t + v ∂ρ/∂ x = 0, смысл которого следующий: скорость изменения плотности в данный момент времени пропорциональна скорости изменения плотности в данной точке пространства, а коэффициент пропорциональности — параметр v, постоянная скорость перемещения волны. Поскольку производные — в первой степени, уравнение линейное, значит, хотя перемещается волна, сам процесс ее перемещения линеен. Мы видим здесь уже знакомые свойства линейности: пропорциональность, о чем только что говорилось, однозначность (в любой момент времени некоторой точке пространства отвечает только одно значение плотности) и суперпозицию промежуточных положений волны в окончательном прогнозе.

502 Часть IV. Земля и человек: достижения, проблемы, перспективы

Рис. 21.2. Динамическая линейность и нелинейность: А — единичное возмущение поля плотности (по оси x — расстояние, по оси P — плотность); Б, В — перемещение продольной волны: Б — линейное, В — нелинейное

(по С. П. Курдюмову, Г. Г. Малинецкому, с изменениями)

Пусть в другом случае (рис. 21.2В) вершина возмущения (точка с максимальной плотностью) перемещается, опережая основание волны. При этом профиль волны перекашивается, ее фронт становится все круче, в какой-то момент он оказывается вертикальным и при малейшем последующем продвижении («шевелении») S-образно искривляется так, что одной точке пространства отвечает уже не одно, как раньше, а три значения плотности одновременно, что физически нереально. Процесс описывается дифференциальным уравнением ∂ρ/∂ t+ +ρ ∂ρ/∂ x = 0, похожим на предыдущее, с той разницей, что роль пара-

метра v — скорости перемещения профиля плотности ρ (x, t) — играет теперь сама плотность ρ, точнее, не меняющаяся (во времени) амплитуда волны. Так как искомая функция перемножена с производной, уравнение нелинейное.

Сравним в приведенных уравнениях роль двух факторов. Во-первых, оценим роль параметров. В линейном случае скорость v существенной роли не играет: решение качественно не меняется, профиль волны сохраняет форму на любом удалении от начальной точки. В другом, нелинейном, случае, где плотность (а вместе с тем и скорость перемещения) возрастает к вершине, эволюция системы на некотором небольшом удалении от начального момента еще близка к линейной, в частности сохраняется однозначность графика плотности по оси x. Но для любого более позднего момента времени существует такое критическое значение параметра, при котором система перестраивает свое поведение принципиально: новые положение и конфигурация волны не могут быть получены ни суммированием, ни осреднением прежних, принцип суперпозиции не выполняется, появляется многозначность. Соответственно тем или иным заданным амплитудам плотности (скоростям перемещения) могли бы отвечать свои критические моменты времени. Таким образом, амплитуда плотности волны или время могут выступать как управляющие параметры, а их критические значения — как точки бифуркации.

Во-вторых, рассмотрим роль всегда возможных небольших неточностей в показе исходной волны. В линейном случае они не вызывают больших ошибок прогноза, малочувствительного к таким неточностям. В нелинейном же случае вблизи точки бифуркации даже незначительные изменения («слабые шевеления») начальной волны определяют: находится ли система в области еще однозначных или уже многозначных решений. Чрезвычайная чувствительность к малейшим изменениям начальных условий — характерная особенность поведения нелинейных систем.

Но поскольку, как уже говорилось, многозначность, одновременная разновариантность эволюции нелинейных систем физически нереализуемы, возникает вопрос: что же происходит на самом деле? Реальным системам здесь приходится неизбежно «выбирать» какой-то один вариант развития. Но как же происходит выбор и как его предсказать, если эти варианты теоретически (математически) совершенно равноправны? Чтобы разобраться в этом, рассмотрим в качестве примера модель реальной ситуации, часто анализируемой при исследованиях тектонического разрывообразования и напряженного состояния земной коры (рис. 21.3).

Пусть имеется массив равномерно-зернистой породы, например мрамора или песчаника. Вырежем из него кубический блок, достаточно

504 Часть IV. Земля и человек: достижения, проблемы, перспективы

Рис. 21.3. Нелинейный геодинамический процесс — разрушение нагруженного блока горной породы. Механизм разрушения: А — механическая модель (а — схема нагружения квазисплошного блока; б, в — теоретические схемы скалывания: а — перекрестного, б — параллельного). Б — модель разрушения реального блока (а — зарождение рассеянных «микротрещин», б — взаимодействие и группирование «микротрещин», зарождение «мезотрещин» на конкурирующих сечениях и направлениях, в — послебифуркационная подготовка сквозного разрыва на некотором определенном макросечении, г — макроскалывание)

крупный по сравнению с размерами зерен породы. При таком условии, как это принято в механике, он может считаться внутренне однородным и сплошным; то, что происходило бы в нем, например, при сжатии, описывает механика сплошной однородной среды. Начнем сдавливать блок так, чтобы две противолежащие его грани нагружались сильнее прочих (см. рис. 21.3А, а). Система при этом выводится из состояния исходного равновесия, а степень неравновесности возраста-

ет по мере роста давления. Под действием приложенной извне нагрузки внутри блока возникают напряжения — нормальные и касательные. При достижении последними некоторого критического уровня (предела прочности блока), т. е. при достижении системой критической степени неравновесности, должно произойти скалывание — разрушение, при котором образующиеся отдельности взаимосдвигаются параллельно плоскости сместителя. Можно ли предсказать место скола?

Согласно теоретическим положениям механики однородных сплошных сред, при указанных условиях наиболее благоприятным для предстоящего скалывания должно быть сечение блока, отклоняющееся от оси наибольшего сжатия на угол 45° (в реальности — несколько меньше). Казалось бы, прогноз возможен.

Но, во-первых, такое отклонение должно быть неоднозначным — по крайней мере по обе стороны от оси наибольшего сжатия — и теоретически они для скалывания совершенно равноблагоприятны (см. рис. 21.3А, б). Во-вторых, сечений каждой из подобных ориентаций в данном блоке бесконечно много и они теоретически также абсолютно равнопригодны для скалывания. В-третьих, сквозное (от одной внешней границы блока до другой) скалывание в любой данный момент физически возможно лишь по некоторому единственному сечению. Так, скалывание по одному из взаимно перекрещивающихся сечений блокировало бы скалывание по другому (см. рис. 21.3А, б), а при взаимной их параллельности скалывание по одному сечению сняло бы напряжения и сделало ненужным скалывание по любому другому (см. рис. 21.3А, в).

Ситуация кажется парадоксальной: скалывание физически осуществимо лишь по некоторому единичному (в данный момент) сечению из множества имеющихся, но его выбор системой при их абсолютной теоретической равноправности невозможен. Между тем в реальности блок все же раскалывается.

Это возвращает нас к вопросам: каким же образом «избирается» такое единственное сечение и можно ли предсказать выбор? Ответ неоднозначен. Прогноз возможен, если система испытывает — дополнительно к указанным условиям — некоторое воздействие, достаточно заметно для наблюдателя подталкивающее ее к определенному выбору. Это может быть анизотропия породного массива, например неравнопрочность по разным направлениям и сечениям, или особый — срезающий — способ приложения внешней нагрузки, создающий предпочтительность какой-то одной из теоретически равновозможных ориентаций и плоскостей скалывания. Именно в таких случаях прогнозирование бывает наиболее успешным.

Но не менее важны и иные, весьма частые ситуации, когда явно выраженного, определенным образом ориентированного дополнительного воздействия нет, а скалывание все же происходит. Выбор некоторого одного сечения в подобных случаях тоже осуществляется, но — под влиянием

506 Часть IV. Земля и человек: достижения, проблемы, перспективы

какой-то одной из множества всегда происходящих в реальной системе флуктуаций (слабых, случайных и локальных вариаций — опять «малые шевеления»!) структуры, прочности, напряжений. Такие незначительные флуктуации и играют решающую роль «последней капли», приводящей к выбору того или иного пути дальнейшего поведения системы.

Но о каких вариациях структуры, прочности, напряжений может идти речь, если, как было сказано, блок считается внутренне сплошным и однородным? Тут мы подходим к важному и интересному моменту концепции. Вернемся к модели нелинейного перемещения волны (см. рис. 21.2В). Как уже отмечалось, до подхода к точке бифуркации небольшие различия начальных условий в прогнозе неощутимы, система ведет себя почти как линейная. Но с удалением от исходного равновесия мы с нашим прогнозом можем случайно, из-за совсем незначительных начальных различий, оказаться по одну или по другую сторону точки бифуркации, т. е. В областях принципиально различных — однозначного или теоретически неоднозначного — состояний. В последнем случае те же малые начальные различия обусловят и выбор какого-то одного из математически равноправных решений.

Следовательно, можно говорить о пренебрежимости малыми вариациями начальных условий в слабо неравновесных нелинейных системах, но о возрастании их роли в состояниях сильной неравновесности. Именно такая чувствительность к тончайшим нюансам («слабым шевелениям») начальных условий и проявится при возрастании неравновесности сжимаемого блока.

Конечно, обнаружить и оценить подобные флуктуации в крупном породном массиве — задача чрезвычайно сложная. Это дополнительно осложняется тем, что никакой скол не возникает мгновенно и сразу. Любой из них образуется соединением ранее образовавшихся более мелких нарушений, а те, в свою очередь, — сочленением еще более мелких трещин, начиная от микроскопических (см. рис. 21.3Б, а–в). Все они в соответствующие моменты раскалывали разномасштабные объемы внутри сжимаемого блока, всякий раз проходя свои точки бифуркации.

Более того, подобные локальные (не сквозные) расколы и их сочленения происходят одновременно на множестве разных сечений и по разным направлениям, взаимно конкурируя на пути развития процесса разрушения к итоговому сквозному сколу. Это неизмеримо увеличивает как число проходимых точек бифуркации, так и непредсказуемость выбора местоположения и ориентации завершающего разрыва.

Но являются ли подобные трудности прогнозирования неустранимыми? Разве нереально, хотя бы в будущем, изучить детально, как под лупой, то, что происходит в сжимаемом блоке на подходах к бифуркациям, а затем предсказать итоговый выбор? Оказывается, это невозможно в принципе, и вот почему.

Процесс разрушения начинается не с появления микротрещин. Этому предшествуют дислокации на уровне кристаллической решетки, где бифуркационные смещения атомов из узлов решетки по тем или иным кристаллографическим плоскостям зависят от особенностей атомного строе-

ния вещества, от положений и скоростей элементарных частиц. Но тут мы попадаем в сферу действия законов квантовой механики, обосновавшей, как известно, принципиальную невозможность абсолютно точных измерений на данном уровне организации материи. Микроскопические и, казалось бы, пренебрежимо малые, но неустранимые ошибки в оценках начальных условий, неизбежно возникающие в самом начале зарождения разрушения, лавинообразно нарастают при прохождении многочисленных последующих точек бифуркации. К тому же в окрестностях любого разрыва любого ранга при его возникновении существенно непредсказуемо перестраиваются структурно-динамические условия, в которых будет преодолеваться следующая по времени точка бифуркации.

Здесь могут возникнуть новые сомнения: ведь атомный и субатомный уровни участвуют в разрушении лишь в самом начале процесса, который затем переходит на более крупные уровни — трещин, разломов, блоков, — где его можно было бы отслеживать и оценивать, получая более или менее достоверный прогноз. Но в действительности и такой возможности нет. Обратимся к поздней, условно предпоследней стадии разрушения, когда для образования итогового скола необходимо лишь соединение двух предшествующих разрывов (см. рис. 21.3Б, в). Это означает необходимость раскалывания разделяющей их целиковой перемычки. Но ее сквозной раскол может зародиться и разрастись (пусть и от концов заранее известных встречных разрывов) только вновь от субатомного уровня. То же должно происходить и во всех других случаях сочленений трещин и разрывов.

Таким образом, данный уровень участвует в процессе все время, порождая новые принципиально неизбежные неточности в оценках начальных и текущих условий. Свойственная нелинейным, сильно неравновесным системам чрезвычайная чувствительность к малейшим неточностям в оценке начальных условий делает итоговый прогноз положения крупного разрыва (см. рис. 21.3Б, г) принципиально невозможным. Предсказуемость выбора пути в точках бифуркации мыслима лишь в физически нереализуемых ситуациях: при бесконечно точном задании начальных условий.

Понятно, что в подобных обстоятельствах при любой реальной детальности исследования эволюция в целом неизбежно воспринимается как хаотическая, ибо перестают работать фундаментальные принципы эволюции «простых», линейных систем: пропорциональности, однозначности, сводимости к средним характеристикам, суммативности, малой чувствительности прогноза к вариациям начальных условий. При жесткой детерминированности (предопределенности) начальных условий и вместе с тем при чрезвычайной чувствительности к их малейшим вариациям прогноз выбора одного из теоретически равновероятных вариантов места скалывания, предсказание какого-то одного пути развития системы оказываются принципиально невозможными.

510 Часть IV. Земля и человек: достижения, проблемы, перспективы

Рис. 21.6. То же, что и на рис. 21.5, — в численном эксперименте Д. Дрибе: начально очень близкие траектории в точке бифуркации начинают быстро расходиться (сплошная и штриховая линии), становясь совершенно различными

(по И. Пригожину, И. Стенгерс)

Нелинейность, неравновесность, хаотичность и… все-таки прогноз?

Насколько характерна нелинейность для геологических процессов? Нелинейным является любой неравномерный процесс, а в любом природном процессе всегда можно обнаружить какую-то неравномерность. Это вызывает вопрос: если в поведении любой реальной системы можно обнаружить нелинейность, не являются ли любые попытки прогнозирования их поведения заведомо бесперспективными? Нет, из всего сказанного это не вытекает, и вот почему.

Во-первых, нелинейность геодинамических систем — необходимое, но не достаточное условие хаотического поведения. В условиях небольшой удаленности системы от состояния равновесия, т. е. В диапазоне докритических значений управляющего параметра, далеких от точки предстоящей бифуркации, его влияние описывается зависимостями, близкими к линейным (рис. 21.2В, левая часть). Подобная эволюция в принципе статистически предсказуема. Правда, необходимо еще точно знать, как далеко до бифуркации, за которой наш прогноз станет невозможным. Но как раз это заранее обычно неизвестно.

Во-вторых, смысл хаотичности как разупорядоченности, непредсказуемости далеко не однозначен. Хаотичным называют, например, теп-