RYaD_Furye_met

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

428.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Ряд 3

	.	. S2(x)
	.	9
	.
	.
	.
	.	4
..	.	4
..		..
.	.	.
.	.	.

. .	. •		. .	.		x
•.	. •		•.	.		x
............ ..
−16 .−10	.−4	0	4 . 10	.	16
. .				.
. .			.	.
.		−4 .		.
.		−4 .
. ...			. ..

.		.
		.
.		.
		.
.	−9	.
		.

	Рис. 2.11

4. Для того чтобы оценить точность приближения функции f(x) рядом Фурье, вычислим квадрат нормы разности функции f(x) и ее n-й частичной суммы ряда Фурье. Согласно равенству Парсеваля квадрат нормы в L2 разности функции f(x) и ее n-й частичной суммы ряда Фурье равен разности квадрата нормы функции f(x) и квадрата нормы n-й частичной

суммы ряда Фурье:

kf − Snk2 = kfk2 − kSnk2.

В данном типовом расчете вычисляется квадрат нормы функции f(x) и ее четвертой частичной суммы ряда Фурье, используя равенство Парсеваля.Вычислим квадрат нормы в L2 функций f(x), f1(x) и f2(x) и нормы S4(x) в каждом случае.

Для 1-го ряда вычислим квадрат нормы функции f(x) в L2([0; 10]):

	10						4								10
kfk2 = Z0			f2(x) dx = Z0							42 dx + Z4									5		2		2
																				x +				dx =
																			6	x +		3		dx =
						4	2			5					2		3		10
				= 16x 0 +								x +						4			=
				= 16x 0 +				5			6	x +				3		4			=
2 50 2					3									3							2 27			3	2
2 50 2						2 20 2															2 27				2		3
= 64 +		+								+					= 64 +											(4)		=

	6			3 − 5			6														5 3			−
5	6			3 − 5			6			3											5 3			−	5
					= 64 + 291, 6 − 25, 6 = 330.
Вычислим квадрат нормы 4-й частичной суммы ряда Фурье:
		kS4k2 = 2 2								+ (ak + bk)! =
									a02				4
						10			a02			Xk			2				2
												Xk
													=1

								10						112				+ 0, 7642 + (−1, 840)2 + 0, 0732 + .
						=							(
						=			2				(		2
+(−0, 695)2 + 0, 0322 + (−0, 575)2 + 0, 0482 + (−0, 382)2) = 327, 188.
	Приближение ряда Фурье к функции f(x) оценим с помощью
										kf − S4k2 = 330 − 327, 188 = 2, 812.
	Для 2-го ряда вычислим квадрат нормы функции f1(x) в L2[−10; 10]:
																												10
																			kf1k2 = Z											f2(x) dx =
																											−10
					−4				5								2				2							4						10		5				2			2
			= Z −									x +										dx + Z 42 dx + Z															x +						dx =
			= Z −							6		x +					3					dx + Z 42 dx + Z														6	x +			3			dx =
				−10					3					−4									4				−4							4	10
	2		5			2			3					−4									4					2 5						2	10
= −		−		x +											10	+ 16x									4	+						x +			4	= 266 + 128 + 266 = 660
= −	5	−	6	x +			3								10	+ 16x									4	+		5			6	x +		3	4	= 266 + 128 + 266 = 660
											−											−

	Вычислим квадрат																нормы								4-й частичной суммы													ряда Фурье:
															kS4k2 = 2 2													" 2					+ ak2# =
																										10			112				4
																																	Xk
																																	=1
					112
	= 10							+ 2, 2112 + 0, 7642 + 0, 0362 + 0, 0732																															= 659, 788.
	= 10					2		+ 2, 2112 + 0, 7642 + 0, 0362 + 0, 0732																															= 659, 788.
	Приближение ряда Фурье к функции f1(x) оценим с помощью
										kf1 − S4k2 = 660 − 659, 788 = 0, 212.
	Для 3-го ряда вычислим квадрат нормы функции f2(x) в L2([−10; 10]):
	10														−4				5							2			2				4			10				5			2		2
kf2k2 = Z				f2(x) dx =											Z							x		−						dx+Z				16 dx+Z								x +			dx = 660
kf2k2 = Z				f2(x) dx =											Z					6		x		−			3			dx+Z				16 dx+Z							6	x +		3	dx = 660
		−10													−10																		−4			4
	Вычислим квадрат нормы 4-й частичной суммы ряда Фурье:
						4
					Xk			bk2 = 10(6, 6702 + 1, 8402 + 2, 8692 + 0, 6952) = 565, 887
kS4k2 = 10						=1		bk2 = 10(6, 6702 + 1, 8402 + 2, 8692 + 0, 6952) = 565, 887
						=1

Приближение ряда Фурье к функции f2(x) оценим с помощью kf2 − S4k2 = 660 − 565, 887 = 94, 113

В данном типовом расчете было рассмотрено приближение функции четвертыми частичными суммами ряда Фурье и получено, что для 1-го ряда kf − S4k = 2, 812, для 2-го ряда kf1 − S4k = 0, 212, для 3-го ряда kf2 − S4k = 94, 113.

Такая разница в результатах объясняется свойствами функций, полученных в результате четного и нечетного продолжения исходной функции на вещественную прямую. В случае продолжения функции f(x) четным образом получим наименьшее значение квадрата нормы kf1 − S4k2, что естественно, так как продолженная функция, непрерывная на всей оси, обладает “наилучшими” свойствами. Функция f2(x) имеет больше всех точек разрыва 1-го рода, и поэтому квадрат нормы kf2 − S4k2 максимален.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Белопольский А. Л., Доценко М. Л., Трегуб В. Л. Элементы теории функций комплексного переменного: Учеб.пособие. СПб.:Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2001.

2.Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1985.

3.Боревич Е. З., Фролова Е. В., Челкак С. И. Ряды Фурье: Учеб.пособие. СПб.:Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2010.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1. Понятие функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.Некоторые элементарные функции комплексного переменного . 5

1.3.Предел и непрерывность функции комплексного переменного . . 7

1.4.Дифференцируемость функции комплексного переменного.

Условия Коши–Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Интеграл от функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Теоремы Коши. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Степенные комплексные ряды. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9. Изолированные особые точки аналитической функции . . . . . . . . 23 1.10. Вычеты аналитической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 1.11. Вычисление определенных интегралов с помощью

теории вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.12. Типовой расчет “Вычисление интегралов с помощью

вычетов” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 2. РЯДЫ ФУРЬЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1. Основные сведения из теории рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Тригонометрический ряд Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 2.3. Разложение четной и нечетной функций в ряд Фурье . . . . . . . . . 45 2.4. Комплексная форма ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5. Типовой расчет “Разложение функции в тригонометрический

ряд Фурье” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

	Редактор Э. К. Долгатов
Подписано в печать	Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Гарнитура “Times”. Печ. л. 4,0. Тираж 144 экз. Заказ

Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ” 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20251.08 Mб0RTema_VIII.docx
#
11.09.2019849.41 Кб2RULES.DOC
#
09.02.201533.33 Кб5russish.docx
#
09.02.201519.52 Кб12russky_kontrolnaya (1).docx
#
09.02.2015435.06 Кб86Ryady_Furye.pdf
#
09.02.2015428.53 Кб79RYaD_Furye_met.pdf
#
22.03.20169.12 Mб19Ryan Walter. Hockey Plays and Strategies.pdf
#
24.08.2019279.4 Кб4RТема VI.docx
#
01.05.2025279.05 Кб0RТема_VI.docx
#
01.05.2025229.5 Кб0RТема_VII_к.docx
#
19.09.2019203.64 Кб3Sankt (1).docx