Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RYaD_Furye_met

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

428.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Разложение данной функции в ряд Фурье на [−3; 0) (0; 3] будет иметь вид

∞

f(x) = −π6 X n1 sin nπx3 .

n=1

При x = 0 ряд Фурье согласно теореме Дирихле равен нулю.

Упражнения.

2.9. Построить график и разложить в ряд Фурье четную периодическую (с периодом 2π) функцию, определенную на отрезке [0; π] равенством

πx, 0 ≤ x ≤ ,

ππ 2

2 , 2 ≤ x ≤ π.

2.10.Построить график и разложить в ряд Фурье четную периодическую (с периодом 2π) функцию, определенную на отрезке [0, π] равенством

f(x) = π2 − x, 0 ≤ x ≤ π.

2.11. Построить график и разложить в ряд Фурье функцию

	(1\| ,\|	2 x	1; 1 x 2
f(x) =	x	, −1 ≤ x ≤ 1,		≤ ≤
		− ≤ ≤ −		≤ ≤

по соответствующей ортогональной системе функций.

2.12. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = sin(ax), заданную на

интервале (−π; π) (a – не целое).

∞

cos

− 1 cos(nx);

3π

nπ

Ответы: 2.9. f(x) = 8

+ π n=1

2.10. f(x) =

∞

cos((2n − 1)x)

;

n=1

(2n

1)2

− nπ

− 1

∞ cos

nπx

2.11. f(x) =

cos

;

π2

n=1

2.12. f(x) =

2 sin(πa) ∞

(−1)n+1

n sin nx

(−π < x < π).

−

n=1

2.4.Комплексная форма ряда Фурье

Пусть ak и bk – коэффициенты Фурье функции f(x). На основании формул Эйлера

2πkx

+ e−i

2πkx

− e−i

2πkx

cos

+ b

sin

= a

+ b

= ckei

2πkx

l + c−ke−i

l ,

где (будем считать b0 = 0)

ak − ibk

−k

ak + ibk

k = 0, 1, 2, . . . .

Отсюда ck = l

dx, k = 0, ±1, ±2, . . . .

f(x)ei

2πkx

Важно заметить, что если f(x) – вещественная функция, то ak и bk

– вещественные, а числа ck и c−k – комплексные, но взаимно сопряжены: c−k = ck.

Очевидно, что n-я сумма ряда Фурье функции f может быть записана в виде

Sn(x) = 20	n	2	l	+ bk sin		2	l	n	l	,
Sn(x) = 20	+ k=1 ak cos	2	l	+ bk sin		2	l	= k= n ckei	l	,
a	X		πkx				πkx	X	2πkx
а сам ряд Фурье функции f – в виде ряда								−
а сам ряд Фурье функции f – в виде ряда
				+∞	2πkx
				X
	S(x) =			ckei	l	,				(2.15)

k=−∞

который называют комплексной формой ряда Фурье.

Ряд (2.15) имеет все свойства тригонометрического ряда Фурье: он сходится в L2[a, b], и для него справедлива теорема Дирихле. При этом при выполнении условий теоремы Дирихле наблюдается поточечная сходимость последовательности {Sn} симметричных частичных сумм ряда (2.15)

	n	2πkx
	X
Sn =		ckei l .
	k=−n

Для несимметричных частичных сумм теорема Дирихле может быть неверной.

Заметим, что комплексные функции

2πkx

, k = 0, ±1, ±2, ..., обра-

[a, b]

зуют ортогональную систему на отрезке

ei l

, ei2

= ei

l ei l

dx = ei

−l

dx = l e

= 0.

i2π(k−m)x

2πi k m

2πkx

πmx

2πkx

2πmx

2π(k

m)x

−

= Z ei

2 l

, ei

e−i

dx = l,

πkx

2πkx

√

поэтому нормы всех этих функций равны l.

Пример 2.15. Представить рядом Фурье в комплексной форме пери-

одическую функцию f(x) (с периодом 2π), определяемую при 0 ≤ x < 2π равенством f(x) = ex.

Так как l = 2π, то система функций имеет вид {einx}, следовательно,

+∞

cneinx, x 6= 2kπ. Коэффициенты cn находятся по формуле

f(x) =

n=−∞

2π

cn = 2π Z0

f(x)e−inx dx =

2π Z0

exe−inx dx = 2π 1 − in(e2π(1−in) − 1) =

e2π − 1

1 + in

n = 0,

2, . . . .

2π

1 + n2

Окончательно получаем

ex = e2π − 1

+∞

1 + in einx,

0 < x < 2π.

2π

n=−∞

1 + n2

Воспользовавшись полученным рядом Фурье в комплексной форме, запишем в действительной форме ряд Фурье этой функции. Действитель-

но,

e2π − 1

an = 2 Re cn =

n = 0, 1, 2, . . . ,

π 1 + n2

−

2 Im c

−

e2π − 1

n = 1, 2, . . . .

1 + n2

Следовательно,

# , x 6= 2πk, k Z.

e2π

∞

cos nx

sin nx

f(x) =

−

n=1

1 + n2

Упражнения.

2.13. Используя комплексную форму ряда Фурье, разложить в ряд Фурье функцию f(x) (с периодом 2π), определяемую следующим образом:

(

f(x) =

0, −π < x < 0, e−x, 0 < x < π.

2.14. Записать ряд Фурье в комплексной и в действительной формах для периодической функции f(x) (с периодом 2π), определяемой на интер-

вале [−π; π] равенством f(x) = cos x2 . 52

2.15.Используя комплексную форму ряда Фурье, разложить в ряд Фурье функцию f(x) = ch x на интервале [−π; π].

2.16.Используя комплексную форму ряда Фурье, разложить в ряд Фурье функцию f(x) = sh x на интервале (−π; π).

Ответы:

∞

(−1)n+1e−π + 1

2.13.

f(x) =

1 − e−π

(cos(nx) + n sin(nx))

x = πk

2π

π n=1

1 + n2

k Z;

∞

(−1)n+1

2.14. 1) f(x) =

einx;

π n=

−∞

∞

(−1)n+1

2) f(x) =

cos(nx);

4n2

−

n=1

2sh π

∞

(

1)n cos(nx)

2.15. ch x =

−

1 + n2

−π ≤ x ≤ π;

n=1

∞

2.16

sh x =

2sh π

(−1)n+1n sin(nx)

−

π < x < π

n=1

1 + n2

2.5.Типовой расчет “Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье”

Приведем пример выполнения типового расчета.

1. Кусочно-линейную на промежутке [0; 10] функцию f(x), проходящую через точки (0; 4), (4; 4), (10; 9), разложить на промежутке [0; 10] в тригонометрический ряд Фурье по системе функций

1	; cos	2πkx		; sin	2πkx	.
2			10		10

2.Продолжить f(x) через начало координат четным и нечетным образом и разложить на промежутке [−10; 10] продолженную функцию в ряд Фурье по соответствующей системе функций.

3.Построить графики трех рядов Фурье.

4.Для каждого ряда найти значения коэффициентов Фурье a0, a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4. Вычислить квадрат нормы разности в L2([0; 10]) между f(x) и четвертой частичной суммой ряда Фурье и квадрат нормы разности

вL2([−10; 10]) между продолженными четным и нечетным образом функциями и четвертыми частичными суммами соответствующих рядов Фурье.

График данной функции представлен на рис. 2.6.

y .
9	. . . . . . . . . . . . . . ..
8 -									.
8 -									.
									.
7 -									.
7 -									.
6 -									.
									.
5 -									.
5 -									.
4	-			.
	..								.
3 -				.					.
3 -				.					.
2 -				.					.
2 -				.					.
1 -				.					.
				.					.
	p p p p p					p p p p p
	...... .
	0 1	2	3	4	5	6	7	8	9 10	x

Рис. 2.6

Аналитически эта функция задается следующим образом:

4, x [0; 4],

f(x) = 56 x + 23, x [4; 10].

1.Разложение в ряд Фурье данной функции, заданной на [0; 10], по ор-

тогональной системе функций

; cos

2πkx

; sin

2πkx

, k = 1, 2, ...,

имеет вид

f(x) = 20

+ k=1 ak cos

+ bk sin

∞

πkx

где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

a0 = 10 Z0

f(x) dx,

= 10

f(x) cos

dx,

2πkx

= 10

f(x) sin

dx.

2πkx

В данном примере

6 x + 3 dx = 10 16 + 12 + 3 = 11,

a0 = 10

Z 4 dx + Z

420

	ak = 10 Z								4 cos							10					dx + Z										6 x +						3	cos						10			dx .
			2					4								2πkx										10					5						2						2πkx
							0																			4
Рассмотрим каждое слагаемое:
	4		4 cos											dx = 4 2πk sin																							4			= πk sin									.
		Z							10																						10						4									5
		Z							10																						10			0												5
	0							2πkx																10						2πkx									20							4πk

								10			5					2									2πkx
	Интеграл Z4												x +						cos										dx будем вычислять, интегрируя
	Интеграл Z4											6	x +				3		cos							10			dx будем вычислять, интегрируя
по частям. Напомним формулу интегрирования по частям:
						b																									b					b
						Z																									b		− Z
						Z		u(x)v0(x) dx = (u(x)v(x)) a																									− Z				u0(x)v(x) dx.
						a																													a

																						5				2															2πkx
В исходном интеграле u(x) =																								x +				, v0(x) = cos																	. В результате
В исходном интеграле u(x) =																							6	x +			3	, v0(x) = cos													10				. В результате
вычислений получим
10	6 x +		3		cos						10				dx = −πk sin																		5		+6π2k2							1 − cos								5	.
Z4	6 x +		3		cos						10				dx = −πk sin																		5		+6π2k2							1 − cos								5	.
	5		2								2πkx													20								4πk							125											4πk
Значит,															− πk sin														+ 6π2k2										1 − cos									=
	ak = πk sin										5				− πk sin											5			+ 6π2k2										1 − cos							5		=
				20					4πk							20										4πk							125												4πk

																				125
														=				6π2k2						1 − cos									5						.
	Найдем первые пять коэффициентов: a0 = 11; a1 = 0, 764; a2 = 0, 073;
a3 = 0, 032; a4 = 0, 048.
	Вычислим коэффициенты bk:																														6 x +						3	sin						10			dx.
	bk = 10 Z									4 sin						10						dx + Z									6 x +						3	sin						10			dx.
			2					4								2πkx										10					5						2						2πkx
								0																		4

Применяя аналогичные приемы, как при вычислении коэффициентов ak,

получим формулы для коэффициентов bk:			+ πk	+
bk = 10	−πk cos	5
2	20	4πk	20

4πk

125

4πk

+ −

cos

−

sin

πk

6π2k2

sin

4πk

= −

−

πk

6π2k2

Вычислим первые четыре коэффициента: b1 = 1, 840; b2 = −0, 695;

b3 = −0, 575; b4 = −0, 382.

Ряд Фурье будет записан следующим образом:

∞

125

4πk

2πkx

S(x) = 2 + k=1 6π2k2

1 − cos 5 cos 10 +

4πk

2πkx

+ −

−

sin

πk

6π2k2

Если f(x) продолжить периодически на всю вещественную ось, то значения ряда Фурье S(x) будут совпадать со значениями f(x) в точках непрерывности функции f, а в точках разрыва согласно теореме Дирихле

S(x0) =	f(x0 − 0) + f(x0 + 0)	(см. рис. 2.6).
2
2. Продолжим функцию f(x) четным образом на [−10; 0]. График про-
долженной таким образом функции изображен на рис. 2.7.
									y
									.
									9
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.											.
.											.
.											.
.											.
.									4		.
.									4		.
.		..									.
.		.								.	.
.		.								.	.
.		.								.	.
.		.								.	.
.		.								.	.
...........
	−10		−4						0	4	10 x
									Рис. 2.7
Задание функции имеет вид
	−	5				2
				x +				, x [−10;		−4],
			6	x +			3	, x [−10;		−4],
	f1(x) = 4, x				[	−			4; 4],
						−
	5				2

	6 x + 3, x [4; 10].


					56

Разложим эту четную функцию, заданную на [−10; 10], в ряд Фурье по

ортогональной системе функций	1	; cos	kπx	; sin	kπx	, k = 1, 2, . . . . Так

	2		10		10

как функция четная, то все ее коэффициенты Фурье bk = 0, k = 1, 2, . . . .

Вычислим a0 =

f1(x) dx =

f(x) dx = 11 (см. п. 1),

−10

ak = 10

dx =

Z f1(x) cos

πkx

= 10

4 cos

−10

6 x + 3

cos

dx =

dx + Z

πkx

πk sin

−

3πk·

sin

= 10

−

4πk

12 10

2πk

− 6πk −πk cos(πk) + πk cos

2πk

(заметим, что cos(πk)

и (−1)k

принимают

одинаковые значения при

k N)

50(

1)k

2πk

−

cos

3π2k2

При вычислении интегралов, как и в п. 1, пользуемся формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

На промежутке [−10; 10] ряд Фурье будет иметь вид
S1(x) = 2	+ k=1	3π2k2	(−1)k − cos	5	cos	10
11	∞	50		2πk		πkx
	X

и a0 = 11, a1 = −2, 211, a2 = 0, 764, a3 = −0, 036, a4 = 0, 073.

Значения ряда Фурье S1(x) совпадают со значениями периодически продолженной на всю вещественную прямую функции f1(x) (см. рис. 2.7).

Продолжим f(x) на промежуток [−10; 0] нечетным образом. График этой функции изображен на рис. 2.8.

. y

. . . . . . . . . .

	.
	.
.4	.
.4	.
.	.
.	.
.	.

. .

...........

.−10	. −4	0	4	10 x
.	.
.	.
.	.
.	.. −4

. . . . . . . . . . −9

Рис. 2.8

Задание этой функции имеет вид

x −

x [−10; −4],

(x) =

−4, x [−4; 0],

[0; 4],

x [4; 10].

6 x +

f (x) разложим в ряд Фурье по ортогональной системе функ-

Функцию

kπx

ций

; cos

; sin

, k = 1, 2, . . . . Так как f2(x) нечетная функция,

то ее коэффициенты Фурье a0 = 0, ak = 0, k = 1, 2, . . . .

kπx

Коэффициенты Фурье bk =

f(x) sin

dx =

= 10

4 sin

−10

6 x +

sin

dx .

dx + Z

kπx

πkx

Вычислим эти интегралы, применяя, как и в п. 1, интегрирование по частям

для вычисления второго интеграла. Получим				.
bk = −πk (−1)k +	πk	− 3π2k2 sin	5	.
18	8	50	2πk

На промежутке [−10; 10] ряд Фурье для функции f2(x) будет иметь вид

(x) =

∞

−

18(−1)k + 8

−

sin

2πk

sin

πkx

, x = 0,

k=1

πk

3π2k2

S2(0) = 0 и b1 = 6, 670; b2 = −1, 840; b3 = 2, 869; b4 = −0, 695.

Ряд Фурье S2(x) имеет те же значения, что и f(x), периодически продолженная на всю вещественную ось в точках непрерывности, а в точках разрыва имеет соответствующие значения согласно теореме Дирихле (см. рис. 2.8).

3. Построим графики трех рядов Фурье. Они изображены на рис. 2.9 –

2.11.

Ряд 1

	.
	.
	.
	•.
	.
..	....
.	. .
.	. .
.	. .

. S(x)

.	9	.		.
.		.		.
•6,5		•.		.
		.		.
	4	.		.
	4
..		....		.
	.	.	.	.
	.	.	.	.
	.	.	.	.

................

−16	−10 −6	0 4	10	14	x

Рис. 2.9

Ряд 2

	. S1(x)
.	9
.
.
.	4
	4

.. . ....

. . . .

.
.
.
.
.	...
.	.
.	.

. . . . . .

...............

−16	−10	−4	0 4	10	16	x

Рис. 2.10

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20251.08 Mб0RTema_VIII.docx
#
11.09.2019849.41 Кб4RULES.DOC
#
09.02.201533.33 Кб6russish.docx
#
09.02.201519.52 Кб13russky_kontrolnaya (1).docx
#
09.02.2015435.06 Кб93Ryady_Furye.pdf
#
09.02.2015428.53 Кб92RYaD_Furye_met.pdf
#
22.03.20169.12 Mб23Ryan Walter. Hockey Plays and Strategies.pdf
#
24.08.2019279.4 Кб6RТема VI.docx
#
01.05.2025229.5 Кб1RТема_VII_к.docx
#
01.07.2025151.71 Кб1SACPIC_CORE_19-OCT-14.docx
#
19.09.2019203.64 Кб5Sankt (1).docx