Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RYaD_Furye_met

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

428.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

2.3.S(x) = cos x;

2.4.S(x) = sin 3x;

1	+∞	4k
	Xk
2.5. S(x) = 3	Xk	4k2	−	9 cos(2kx).
2.5. S(x) = 3	+	4k2		9 cos(2kx).
	=1

В теории и в приложениях рядов Фурье весьма важным является вопрос о скорости убывания коэффициентов Фурье при k → ∞. Для системы функций (2.3) равенство Парсеваля имеет вид

l			a0	2	∞
	"	\|	\|		+ (\|ak\|2 + \|bk\|2 )# = kfk2,
2	"		2		+ (\|ak\|2 + \|bk\|2 )# = kfk2,
					Xk
					=1

поэтому |ak|2 + |bk|2 → 0 при k → ∞ (как общий член сходящегося ряда)

и lim ak = lim bk = 0 для любой f L2[a, b]. Более точная характеристи-

k→∞ k→∞

ка последовательностей {ak} и {bk} связана с гладкостью функции f(x). Именно: а) если f(x) кусочно-непрерывна на [a, b], то |ak|+|bk| ≤ Ck , k N; б) если существует непрерывная на [a, b] производная f(k)(x), f(l)(a + 0) =

= f(l)(b −0), а f(l+1)(x) – кусочно-непрерывна на [a, b], то |ak|+ |bk| ≤

kl+2

k N.

Пример 2.5. Запишем равенство Парсеваля для функции из приме-

ра 2.1:

+∞ 4

x3 π

2π3

! = x2 dx =

−π =

k=1

+∞

−

π2

Получим равенство

Пример 2.6. Запишем равенство Парсеваля для функции из приме-

ра 2.2:

+∞

= x2 dx =

4π2k2

k=1

+∞

π2k2

Пример 2.7. Запишем равенство Парсеваля для функции из приме-

ра 2.4:

+∞

2π

2 3x

+ k=1

= Z

sin

dx = π.

9π2

−

∞

π2

Отсюда получаем

− k2

−

Упражнения. Написать равенство Парсеваля для функций из упраж-

нений 2.1–2.5.

Ответы:

= π

9 +

+∞

2.1.

32π5

8π4

16 16π2

k=1

2.2.

e4 − 1

+∞

(l2 − 1)2

;

2e2

l2(π2k2 + 1)

2.3.π = π · 1;

2.4.2π = 2π · 1;

2.5.	π		π	1	+∞	16k2	!.
		=			+
	2	=	2	18	+	(4k2 9)2
					=1	−
					Xk	−

К тригонометрическим рядам Фурье относятся также и ряды Фурье на промежутке [a, b], связанные со следующими двумя системами функций:


l, cos		π(x − a)		, ..., cos		πk(x − a)		, ...	, l = b − a,	(2.7)
		l				l
sin	π(x − a)		, ..., sin		πk(x − a)		, ... ,		l = b − a.	(2.8)
	l				l

Эти системы, как и система функций (2.3), ортогональны и полны в L2[a, b]. Отметим, что ни одна из систем (2.7) и (2.8) не является подсисте-

мой системы (2.3). Соответствующие ряды Фурье имеют вид:
	a	∞		πk x	a	)
	0	+ k=1 ak cos		( −		)	(2.9)
	2	+ k=1 ak cos		l			(2.9)
– для системы (2.7) и	e	Xe	πk(xl− a)
		∞					(2.10)
		k=1 bk sin					(2.10)
		Xe

– для системы (2.8). Здесь коэффициенты Фурье eak и ebk вычисляются по формулам:

ak = l

( l−

) dx,

k = 0, 1, ...,

Z f(x) cos

πk x

(2.11)

( l−

) dx,

bk = l

Z f(x) sin

k = 1, 2, . . . .

πk x

Ряды Фурье (2.9) и (2.10) иногда называют “неполными рядами Фурье”. Этот термин имеет историческое происхождение. Ни в коем случае не следует думать, что он отражает какую-либо “неполноту” систем (2.7) и (2.8).

Пример 2.8. Разложить функцию f(x) = x в “неполный ряд Фурье” на промежутке [0; π].

В соответствии с формулами (2.11) найдем коэффициенты ряда Фурье (l = π − 0):

ak = π Z

x cos(kx) dx = π x

sin(kx)

2 cos(kx)

(−1)k − 1

, k

≥

π k2

x sin(kx) dx = −π x

+ π

= π Z

cos(kx)

2 sin(kx)

=−2 π(−1)k = 2 (−1)k+1.

πk k

Таким образом, “неполные ряды Фурье” имеют вид:

+∞

Sнеч(x) = X k2(−1)k+1 sin(kx),

k=1

Sчет(x) =	π	+	+∞		2	(−1)k − 1	cos(kx).
			Xk
2						k2
			=1	π

Пример 2.9. Разложить функцию f(x) = x в “неполный ряд Фурье” на промежутке [−1; 1].

Найдем коэффициенты ряда Фурье:

πk(x + 1)

sin

πk(x + 1)

cos

πk(x + 1)

ak =

x cos

dx = x

πk

−

−1

−

sin(πk) +

sin 0 +

cos(πk) −

cos 0 =

πk

π2k2

1(−1)k − 1 ,1

k ≥ 1,

π2k2

a0 = Z

x dx =

1 = 0;

−

πk(x + 1)

cos

πk(x + 1)

sin

πk(x + 1)

x sin

dx =

−

πk

−

−1

−

cos(πk)

−

cos 0 +

sin(πk) −

sin 0 = −

(−1)

+ 1 .

πk

π2k2

πk

−Таким образом, “неполные ряды Фурье” имеют вид:

(x) =

+∞

−2

(

1)k + 1

sin πk(x + 1),

неч

−

πk

+∞

πk(x + 1)

Sчет(x) =

π2k2

(−1)k − 1

cos

Пример 2.10. Разложить функцию f(x) =

sin x в “неполный ряд

Фурье” на промежутке [0; π].

Найдем коэффициенты ряда Фурье:

ak =

sin x cos(kx) dx =

Z (sin((k + 1)x) + sin((1 − k)x)) dx =

= − π

k + 1

−k

cos((k + 1)x)

cos((1

k)x)

−

−π

k + 1

1 − k

− k + 1

−

1 − k

cos((k + 1)π)

cos((1

k)π)

1 − (−1)k+1

1 − (−1)1−k

1 + (−1)k

−

1 + (−1)k

π k + 1

−

π k + 1

π k

−

1 + (−1)k

−2

, k = 1,

k2 −

a1 =

sin 2x dx = 0.

Очевидно, b1 = 1, bk = 0, k ≥ 2. Таким образом, “неполные ряды

Фурье” имеют вид

Sнеч(x) = sin x,

Sчет =

+ +∞

−2(1 + (−1)k)

cos(kx).

π(k2

−

Пример 2.11. Разложить функцию f(x) = 1 в “неполный ряд Фурье”

на промежутке [2; 4].

Очевидно, что a0 = 2, ak = 0, k ≥ 1;

πk

bk = Z

πk(e

(

2 =

1 sin

−

dx = −

cos

−

πk

= −

(−1)

− (−1) ),

πk

следовательно, “неполные ряды Фурье” имеют вид:

+∞ 2(1 − (−1)k)

Sнеч(x) = sin(kx), πk

k=1

Sчет(x) = 1.

Упражнения.

Разложить функцию в “неполный ряд Фурье”:

2.6.f(x) = x2 на промежутке [0; π];

2.7.f(x) = ex на промежутке [−1; 1];

2.8.f(x) = cos x на промежутке [0; π].

Ответы:

+∞ 2

k+1π2

1)k

−

2.6. Sнеч(x) = k=1 π

(−1)k

2((− k3

sin(kx),

Sчет(x) =

π2

+∞

(−1)k − 4

cos(kx);

2.7.

неч

(x) =

+∞

2e(1 − (−1)k)

sin

πk(x + 1)

k=1

1 +

π24k2

Sчет(x) =

e2 − 1

+ +∞

e((−1)k − 1)

cos(

πk(x + 1)

);

1 +

+∞

π k

2.8. Sнеч(x) =

2k(1 − (−1)k)

sin(kx),

−

π(k2

Sчет(x) = cos x.

2.3. Разложение четной и нечетной функций в ряд Фурье

Напомним некоторые определения.

Определение 2.2. Пусть функция f(x) задана на всей оси 0X или же на некотором отрезке, симметричном относительно начала координат, например [−T ; T ]. Функция f(x) называется четной, если для каждого x

f(−x) = f(x).

Из этого определения следует, что график всякой четной функции сим-

T
метричен относительно оси 0Y . Если f(x) – четная функция, то Z	f(x) dx =
−T
T
Z

= 2 f(x) dx при любом T (нужно только, чтобы f(x) была определена и

интегрируема на отрезке [−T ; T ]).

Определение 2.3. Функция f(x), заданная на всей оси 0X или же на симметричном относительно начала координат отрезке, например [−T ; T ], называется нечетной, если для каждого x

f(−x) = −f(x).

Для нечетной функции f(−0) = −f(0) и, следовательно, f(0) = 0. График всякой нечетной функции симметричен относительно начала ко-

ординат. Для нечетных функций f(x) dx = 0, если f(x) определена и

−T

интегрируема на отрезке [−T ; T ].

Из определения четных и нечетных функций вытекает:

1) произведение двух четных или нечетных функций есть четная функ-

ция;

2) произведение четной и нечетной функций если нечетная функция. Замечание. Четность функций изменяется при их дифференцирова-

нии и интегрировании (можно доказать!).

Итак, пусть функция f(x) задана на отрезке [−T ; T ], удовлетворяет условиям Дирихле и является четной. Тогда произведение f(x) sin nπxT

при любом n = 1, 2, ... должно быть нечетной функцией по свойству 2 и

f(x) sin nπxT dx = 0. Следовательно, в разложении четной функции в

−T

ряд Фурье коэффициенты


bn = T	T	f(x) sin T		dx = 0, n = 1, 2, . . . .	(2.12)
	Z
1			nπx

−T

В то же время произведение f(x) cos nπxT является четной функцией, и


an = T	T	f(x) cos	T	dx = T	T	f(x) cos T		dx, n = 0, 1, 2, . . . .
	Z				Z0
1			nπx	2			nπx

−T

(2.13) Следовательно, для четной функции ряд Фурье содержит лишь косинусы,

∞

т. е. S(x) = a20 + X an cos nπxT , где an, a0 вычисляются по формуле (2.13).

n=1

Пусть теперь f(x) является нечетной функцией, заданной на отрезке

[−T ; T ] и удовлетворяющей условиям Дирихле. Тогда произведение f(x) cos nπxT есть нечетная функция по свойству 2, и f(x) sin nπxT явля-

ется четной функцией по свойству 1 при любом n = 1, 2, . . . . Тогда для коэффициентов Фурье нечетной функции f(x) получаем:

an = T	T	f(x) cos T		dx = 0		(n = 0, 1, 2, . . . ) ,
	Z
1			nπx
	−T				T			(2.14)
	T	f(x) sin T		dx = T				dx (n = 1, 2, . . . ) .
bn = T Z					Z0	f(x) sin T
1		nπx		2			nπx

−T

Таким образом, ряд Фурье нечетной функции содержит лишь синусы, т. е.

∞		nπx
X
S(x) =	bn sin	T	,
n=1

где bn вычисляются по формулам (2.14).

Пример 2.12. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на [−3; 3].

Эта функция задана на симметричном промежутке, f(x) – нечетная функция, поэтому коэффициенты a0 = an = 0;

dx =

f(x) sin

(n = 1, 2, ...).

bn = T Z f(x) sin T

nπx

ππx

−T

Для f(x) = x находим коэффициенты bn по формуле

x sin

dx =

= 3 Z0

nπx

(вычисляем данный интеграл интегрированием по частям)

= 3

−nπ x cos 3

+ nπ

Z cos

dx =

nπx

−nπ 3 cos nπ + 3 nπ nπ sin

cos nπ +

(sin nπ

sin 0) =

cos nπ.

−nπ

(nπ)2

−

−nπ

Заметим, что cos nπ принимает те же значения, что и (−1)n для n N,

поэтому можем записать bn =		6		(−1)n+1. Разложение функции f(x) = x

			nπ
в ряд Фурье на интервале [−3; 3] будет иметь вид (рис. 2.4):
x = 6			∞	(−1)n+1	sin nπx.
		X
	π n=1			n	3

При x = ±3 согласно теореме Дирихле ряд Фурье равен нулю.

f(x)

.. . ..

3 .

. .

......

.		.	x
.−3	0	. 3	x
.−3	0	. 3
.	−3 .
.		.
.		.

.. S(x).

.	.
. .. . . . .		.	.
.	.
.	.

.•. ..• . ..• ..• ..

.	.	x
−9 −6 .−3 0	. 3 6 9	x
−9 −6 .−3 0	. 3 6 9
.	.
Рис. 2.4

Пример 2.13. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = |x| − 5, заданную на [−2; 2].

Функция f(x) является четной, поэтому в разложении в ряд Фурье все коэффициенты bn = 0, коэффициенты an вычисляем по формулам:

			a0		T	f(x) dx,
			a0	= T Z0		f(x) dx,
				2
	2		2				x2	2
	2							2
	2		Z (x − 5) dx =					− 5x 0 = 2 − 10 = −8;
a0 =		Z (\|x\| − 5) dx =
a0 =	2	Z (\|x\| − 5) dx =					2
	0		0

				T

an = T

f(x) cos

dx,

nπx

an = 2

(|x| − 5) cos

(x − 5) cos

2 dx =

dx = Z0

nπx

(x − 5) sin

−

sin

dx =

cos

nπ

(заметим, что внеинтегральный

член равен 0)

(cos nπ

−

1) =

((−1)n − 1) .

nπ

−8

Легко видеть, что a2m = 0, a2m+1 = π2(2m + 1)2 . Разложение в ряд Фурье заданной функции f(x) будет иметь вид

8	∞ cos	(2m +	1)πx
		2
	X

|x| − 5 = −4 − π2 m=0 (2m + 1)2 .

Пример 2.14. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), заданную на

[−3; 3] графически (рис. 2.5).

>. 3

.p....p. ..

−3 0 3 x

−3

Рис. 2.5

(

x + 3, −3 ≤ x < 0,

Если записать функциюf(x) = то видно, что x − 3, 0 ≤ x ≤ 3,

функция f(x) на [−3; 3] является нечетной, так как f(−x) = −x + 3 = −(x−3) = −f(x) (x > 0), следовательно, разложение в ряд Фурье функции f(x) на [−3; 3] будет иметь вид:

											∞							nπx
						f(x) =						bn sin											,
						f(x) =				n=1		bn sin							T				,
где T = 3,										X
где T = 3,
									T
						bn =		2	Z0		f(x) sin						nπx					dx;

								T									3
								3
						bn =	2	Z0	(x − 3) sin								nπx					dx =

							3										3
	2				3						nπx			3			2		3			3			nπx
	2				3						nπx			3			2		3						nπx
=		−				(x − 3) cos							0		+									Z	cos			dx =
=	3	−		nπ		(x − 3) cos				3			0		+			3		nπ				Z	cos	3		dx =
																						0
		2														3					2				nπx	3		6
= −nπ			(0		· cos nπ		− (−3)) +					3		nπ									sin		3	0	= −nπ.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20251.08 Mб0RTema_VIII.docx
#
11.09.2019849.41 Кб2RULES.DOC
#
09.02.201533.33 Кб5russish.docx
#
09.02.201519.52 Кб12russky_kontrolnaya (1).docx
#
09.02.2015435.06 Кб86Ryady_Furye.pdf
#
09.02.2015428.53 Кб79RYaD_Furye_met.pdf
#
22.03.20169.12 Mб19Ryan Walter. Hockey Plays and Strategies.pdf
#
24.08.2019279.4 Кб4RТема VI.docx
#
01.05.2025279.05 Кб0RТема_VI.docx
#
01.05.2025229.5 Кб0RТема_VII_к.docx
#
19.09.2019203.64 Кб3Sankt (1).docx