455
.pdf
\
!НС'11П'УТ |
|
ЗАh!зни.щоrо |
TP.AНCno.rrY |
|
\ |
|
Кафедрг вищоr \І&ТСJ4ат:п;и |
дІІТ |
/ |
|
|
|
.. |
|
|
/ |
|
! |
МЕТОДИ'іН1 |
ВКАЗ!.Вl{И |
|
KOHTPOJlЬH! |
ЗАВДАННЯ |
|
|
\ |
' |
|
|
|
|
|
|
|
Частина У |
|
|
,. |
|
|
|
|
|
~а.r.адачЇ: Ю.П.-Іибаmов |
|
|
|
D.Г.l>рсдіхік |
|
|
|
Н.Г.Наріус |
|
|
|
ДJrя студекті!І дpyroro |
i.;ypcy |
|
|
Зl}ОЧНОГО фaJQ'Іb're'!'Y |
|
\
І
• Дніrq~опетровськ |
1993 |
IZ.l"'r,J\MOB.\
Ііа протязl 'tpeтьorn семестр:~ сту.цен1· ПО9:tнен в11конат;1 коктро.nьнl
ро~оти ~ 5 тв 1; 6. Завдаt:1111 ;{о!ітро.11ьноl роботи 'lf. 5 мІстr.ться І! л•я
тІй частин!, а i<r111тродьноі роботи /і> б - R шостІР. част~w.І методичнюс
вяо3Івок.
ІІРОГРА/d.А. Ю'КУ "і:ІІЩ І~іАТ&'~!АТИКА"
( IlI семес-::р)
ІХ. ЧК:ЛОЗІ РfІДИ
4tl. 4.кс.11оеІ µя.цк. ЗСі!:кr~lст;. І CY'-\S. ';11\дУ· Нео6хlдна умова ~бlJІХостІ. дІІ над ря,ца.~.1и•
46. Ряди з до.цв:rнІvм ч.1ен.u1м. Ознак)( з6І:ІІНостl Іх.
4.'l. Знакоз~.tlкн! рядк. АбсоJІ!ІТtІа І умовка зб!JІХ!сть. З}Іакоnочережні
РЯд)(. Озн>і1~а .іІеІ\!'іr.!ц.'\. Ряд.и з к.:>мг.лекснv.мк ч::енами. Мето;.~ дос
л!ДJС~ння збі11:.Ностl rF.дle.
Х. ФУНЮ..UОіWІJ:.Ш Рf!ДИ
413.OбJІ')CTJt з6І11О1остl. ЛоііЯТТІІ рІвноwІркоІ з6ІzиостІ. Ознака в~~&р- штраr.са. ВпзстивостІ р!вко~Ірно з6І11..чоrо ряд.у.
Xl • СТF.!ШіЄВІ РЯдИ
4~. Теорема ЛбР.ля. Kpyr збlJtНост!. Rп.астивостІ степеневих ряцlв.
ЬІJ. ?;>зв.-.нення фумкцІV. у стеленеаl рмк. Ря.ц TeRJro~. Застосув8Юfя
стеnоневУ.л рядlв до иаближеккх обчислень.
Xll. РБдИ QУР•Є
51. Трнrоноwет;.~кчна 1:11стема Ф.vнкц[И. Ряд ~р·є. Ро:звиненкя функцІП в ряд ~:ур•є. Умови розвкнення в ря!: Іtур•є у випадку рІ1щоwІрноІ
збІжнос·r1. Розви~Р.ННА в ряд 4'у~•є-Бесселя.
ХІІІ. ЗоИЧ..\Я.НІ ~і!J'І1ЩІА..:1ЬНІ PlDНflliНЯ
52. дJ,;еренцluьнІ ;:-І11нлкня nepu1orc nоря.цку. Задача Koml. Теореь~а lс н\·&анн.я і едхнос'і'І розв• язк.v задач! Кош!. ПоняттR осоf,,1нвоrо р.;з в•я~ку .;1,И~е~ен~1а.пьних рlвнянь. Основи! ІtЛаси рІвнян~. що Інтег
~·rься в квадра7УJ'8Х.
5::S. ДКференцІа.11ьнl рlвняння вищкх лоря.цкІв. Задача Koml. llоняття кра
йСІР~Х зедач для диференціальмих pt ви.~nсь. ТеорЄJ.Іа ісН:Jван:ня і єдиt;:>сті
розв'.Р.зку задачf КоmЇ. Рівняння, д.1111 яккх wouиee зНЮІtЄКНЯ пормку.
: r1. Л1н!йнl днdІєренuls.1•нl р!вкянкя, о.цкорі.днІ 't'a нео.ц~1орі~КL. Понят
тя заrадьноrо розв'язку рівняння • Метод Лsrрl!ИМА варіаuіУ довіл~нкх
СТ!ЛИХ.
5t. ЛініС!иі диферt!'І'!uіальні ріаиянмR з с~апюrк коефіцієнтами. Рів~я~
ня. npnea частина яких мзе сnеuіальниА вигляд.
з
ХІУ. СОСТЕМИ ЗВИЧАйНИХ Д:WЕРЕfЩІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
56.Задача Кошl для ~истеми звичайних диференцlальних р!внян». Тео
рема Існупання І единостl ро~в·язку задач! КошІ. Метод виЮІючен
ня. Векторно-1.~'l·rричний запис cиc~'"t!Ltи. Структур.з загелJ.ного розь~
язку.
5?. Звичайнl системи лlнlйних днферн~т,Іа11:.них рівнянь зІ с·1·алими
коефlulентами. Розв'язок системи у випадку, коли харак';.'еристичнс рІвняння иаь прстl корен!,
МЕТОДWD-ІІ ВКАЗІВКИ ДО BИ!NlliHЯ Ю'РСУ "ВИЦА МА'І'Е:.fАТИКА" ::J.агальнl методичнl вказlвки мlстнться в частинІ І.
|
ТЕМА ХІІІ |
Етш~-~~Q~о~і_2тш- |
|
л1тература. [4 J , |
р. ХУ!, §І~. впр. 3-!8; §?,8, впр. 2!-29; §!8, |
24; [!І], р. 9, §9.І-9.?; [5], задач! 24ffi-2491J; [9J. |
|
Запитання для самостlйноl перевlрки засвоєння. |
|
І. Пер~т!ч!ть озваки |
з6ІжностІ І роз6ІжностІ рядlв. Доведlть з6Іж |
н!сть рядУ, який |
склада~т•сл Із членlв геометрично! прогресі!. |
2.Доведlть необхlдну ознаю1 з6!жностl ряду.
3.Доведlть, що в!дкидання обмеженої кlл•костІ членlв ряду не зм!нюь
його збlжнlст• (розбІЖ-чlстJ.). Покаж!ть, що сума ряду дор!внюе су1.1І його пеµпих л член!в, додє.нlй до суни ряду, що залишається після в!дкида;тя перших п.. членів заданого РІЩУ.
4.ДоведІ·1·ь теорему про пор!вняння ряд!в з додатн!ми членами. Наве
д!ть nрикл~1 застосування цієї ознаки.
5. Доведlть с~накv Д9.ламбера збlжностl знакозмlнних ряд!в. Наведlть . nрик..1dд застосування цієr. ознаки.
б. Довед!ть ознаку Koml про збІжнІст~ рядlв з додатн!ми членами. На
ведlп. приклад за1::тосування цlel ознаки.
'7. ДоведІ1'r. І~!'rегральну ознаку збlжностl ряду КошІ. Наведlть приклад застосуванНJІ цІеІ ознаки.
8.Дайте означення абсолютно з6Іжноr•о ряду. Доведl'l·ь, що з умови абсолотноl 36lжностl ряду !!илливз.є І його з6Іжнlс'l'Ь. Сформудюй·rе
властивостl абсолютно з6Іжних рядlв. Наведlт~ приклади абсолютно
І умовно 3 б}.;~их ряд!в.
9.До.ае,r;І•rь оз1шку Л~::Мнlц!і. пре :збlжrіlстJ. знакопочере.жного ~лду. На
ведlть пр1~к.;1а,ц застосуваю::н ц!єl ознаю1. :-Іокмlть, що при замlнl
СУJ.!!І ряд.v Лсабнlца на С~' ~JЄ[АІ!ИХ його чденІв бу),е допущ~на абсо-
4
лютна похv.61:а, яnа не персвищ1пь мод..vль п&р.:.ого вІдкинутсго члена. 2. Фу~-:кцІuна.rrьнІ рР.ди
ЛІтература. [4], р. XlY, §9-І2; [ІІ], р. 9, §9.8-9.ІО; [5}, зада
чІ 25ІО-2520.
З. Степеt1еві ря,r.:1
ЛІтература. [4], р. ХУІ, §ІЗ-15,25, впр. 30-33, 35-Зd; [П], р. 9,
§9.ІІ-9.І3; [5}, зад~чІ |
2530, |
2534, |
2535, 2539, 2564-2567 2576, 2579, |
|
2580, 2582; |
(4), р. ХУІ, |
§Іб,І7,І9,20, впр. 44-46, 50, 55, 64, 66, |
||
70, 71, 74, |
76, 78, 80; |
[4], |
р. ХІУ, |
§23. |
4.Застосуааннстепеневих рядІв до наближених обчислень.
ЛІтература. (4), р. ХУ!, §17,20-22,26,27 (примІтка 2), впр. 85, 8?,
89, 90, 97, !02, ІОЗ, ІОб, ІІЗ, ІІ6, ІІ7, ІІ9, І23, І25, 127, 129-132; [ІІ), р. 9, §9.!4.
Запитаннr ~ля самостІАноІ перевІрки засвоення
І. Дайте означення областІ збlжностl ф)1-1кцІонал•ного ряду. НаведІт~ приклади ряд!Р з рІзними областями збІжностІ.
2. Дай·1·е означення рlвномlрноl збІJІtНостІ посл!довност! функц!й. Який
ряд називаєт•ся рІвном!рно збlжним?
З. Сформулюйте ознаку Веерnтрасса абсоJІІJтноІ і р!вномlрно! зб!з;;ностl
ряд.v.
4. Сформулюйте основнl властивостl рlвном!рно зб!жних рядІв. . 5. ДоведІть теорему Абеля про зб!JІtНІст.• степеневих рядlв.
б. Вивед!ть фо~лу для обчислення радІуса круга збІжностІ степенево
|
го ряд.у. |
|
|
7. |
БиведІт• умови, за яких функцІю можна розвинути у ряд Тейло~. |
||
8. |
Розвинути функцІю · |
~ , :.iri х |
в степеневий ряд І довести за до- |
|
помогою залишкового члену збlжнlсть rn.oгo ряду до даноІ функцІІ. |
||
9. |
Розвинутv. функцІю |
у" ех |
в степеневий ряд І довести за до- |
помогою залишкового члену збІzнІсть rn.oгo ряду до даноІ функцІІ.
ІО. Розвинути функцІю J, (1+:r) |
в степеневий ряд І знайти Інтервал |
збlжностl rn.oгo ря~v.
ІІ. Сформулюйте теорему про Інтегрування степеневих рядІв І за допо-
могою ІІ в11конаnте роЗвинеННР. в ряд Ф'.1ющІr |
у о oze t9 .х . |
І2. Сформулюйте теорему про Інтегрування степеневих рядІв І за допо
~.югою ІІ ·виконайте розвинення в ряд функцІІ lj ~ (п (t+x).
ІЗ. Сформулюйте теорему про диференцІювання·степеневих рядlв І за до
помогою ІІ виконайте розвиненн~ в ряд ~~І ~ =~01 :х: .
14. Вивед!ть ФОмлу Ейлера |
e'J= i=o~~ + L~.tr'';f |
. |
, засто- |
совуючи при цьому роGвинення |
в ряд функцІІ |
e•V |
|
І5. НаведІть приклад оцІнювання ПохИбкИ обчислення суми знакопочер~ж-
5
ного ряду.
Іб. НаведІть приклад застосування залишкового члена ФОІJоІУли Тейлора
(у формІ ЛаграНжа) для оцІнюванчя ::юхи6ки обчислення за допомогою
степеневого ряд,у.
І7. ПерекажІть змІст.·· метод.У на:5лv.жениго обчислення визначених Інтег ра~Ів за допомогою рядІв.
ІВ. Перекаж!·7ь змІст метод.у наближеноГ'о Інтегрув.1f{НЯ дv.ференцlальних
рІвнянь за допомогою степеневих рядlв. Наведlть приклад.
ТЕМА
!:&"Ш-~УІ?.:~
ЛІтература. (4), р. ХУІІ, §І-7,ІО (можна без доведення), ІІ-Іб,
впр. І,4-14.
ЗапитаНІіR .цля самостІйноІ ~ерсвІрки 3асвоення
І. ВиведІт1> фор~ІУЛИ для визначення коефІцІентІв ряц.•.' Фур'є.
2. Сфоµ.~улюй?Р. r:,остатнІ У!>ІОВИ розвинення функцІІ в ряд Фур·~. НаведІть
приклади функцІй, для яких цІ умови виконуються та приклади функцІй,
для я;(их вrщи не виконуються.
З. ВиведІт~. формули для визначення коефlцІентІв ряд.У Фур·~ парних 1'а непарних функцІй.
'l'SМA
~~u~~B~I_.ц~~2~ul~~~~I-2I~~~~!:!!!
І. Дифере!:<;цІальнІ рІвняння пеµпого порядку.
ЛІтера·,'ура. [41, р. ХІІІ, §І-З, впр. І, 2, 4, зз.дачІ 27ІІ, 2715,
2730, 2733, 2736; [4), |
р. ХІІІ, §4, |
впр. |
9, |
П, 20-26, |
35, |
37; |
§5, |
|
впр. 4LJ-47. Ь5, ::ю; |
§б, |
1шр. 4d-c)0; |
§7, |
впр. |
58-бЗ; §d, |
впр. 56-69; |
||
§9, вар. 72-76, 80; |
§ІІ,І2,32,~. впр. 194; |
(5], р. Х, |
§5, |
п.2, |
3ада |
|||
чІ Зl?З, ЗІtЮ.
Зе.п11гання длл самос·l'lй'-'о! перевІрки засвоення
І. Дайте означення дифегенцІального рІвнr.1шл І-:'о норяд!!у та його зr1- "a.Jrь11u\.1 І ~.:~;;ст·инного розБ'язкІв (lнтегралlв). Сфо:я.~ущ1!1те задачу {ou:I для д::ферєнцl11лr.ноrа рlвняння І-го порядку та uкажІ1·ь ІІ геu
·!е~·ричн11й ;,~.йст.
2 ..~:1т!!: Г!'lJ'~етJ-Іичне тлv1.1ач~нш1 д1~фе1>ен~Іальнuго µJ вннння І-го г.оряд-
1сv, ьи,~снІ ть :'еuме1·ричний ~.мlст Й<JГО загаль;~ого І частинного рuз
Б' і!зкl в.
З. С·~'J~1~·.т;юr.те ~o::opew.v І снув~.юя І е;,инJстІ ро:~в •яз''~' ди·~еrл~нцІального pl БН>1'ІІ:я ;iep.·::iгo no rядку. 3н:;і:дlТЬ ;~аrальн11й µоз r 't'З01С рІ ВНЯННЯ
::,1
G
виконуютьсн.
4.Дай'Іе vзна••ення дифеr,енцІІlЯьного рІвняння з вІдокре:~.~шованими змІн ними. Перека.'!':Іт.r. з1t.Lc·r .І.!'етод._v знахuДІt{ення загат.ного розв'ЯЗ!{У його. НаведІтn прикладv..
5.,і.і.айте 'означе1!щ; однорідного диференцlал1очого рІвняння І-го порядку.
ПегекажІть змІс·r мc·1·0,ri_v зн~ходJrеЮІя його загального розв•яз1<у.
Нав<:дІть прикщ.ди.
б. Дайте означення лl::іІйного дифере~щІа,1.ьного рlвняння !-го порядку.
ПерекажІ·1·ь З\.llc·l 1<:етсд.у зааходження загального його розю•нзку.
Наведl·1·ь приклади.
7.Дайте означЕ:лИІ'І рІ1:1няння &рнул.дІ. ПерекажІт1о змlст метор;у з1:а ходження J.\ого загаr.~.ного розв•язку. Нз.ведlт• приклад.
8.Дайте означення диференцlа.~1ьн9го рІвняння в повних диференцlалах. ПерекажІть змlст мет•цу знаходження його загального розв•г.зку.
НаведІть прп:СJІад.
9.Який розв•язок диференцlального рlвнлння І-го порядку називається
особливим?
ІО. ПерекажІть. иrдст методу Ейлера чисельноrо Інтегруваннs1 диферен цІал.r.ного рlвняНЮІ пер!і!ого порядку.
ІІ. Перекажlть зм:Іст методу Рунге-КуТта чисел1оного Інтегрування ди ференцlал.r.ного рlвняння першого порядку.
2. Диференцlал.r.нl рlвняння вищих г.орядкІв.
ЛІтература. (4), р. ХІІІ, §Іб, впр•.ІІ7; §17, зпр. ІІ8, ІІ9; §І8,
впр. І20-І24; (51, задач! 2915, 2925, 2957, 2SJ67.
З. ЛІнІйнІ диференцlальнІ рlвняння.
Лlтература. (4J, р. ХІІІ, §20,21, впр. І29-І37; [5], задач! 2987, 2990; [4), р. ХІІІ, ~22, впр. 140-146; §ZЗ-25, впр. 149-158, 167-169.
Поняття про крайовІ задачІ для диференцlальних р!внянь можна знай
ти в посlб!-!ику: Краснов М.Л., Кисельов А.І., Макаренко Г.І. "ЗбІрнv.к
задач для звичайних диференцІальних рІвнянь". -М., Вища школа (р. П,
§ 17).
Запи'l•ання для самостlйноІ перевІрки засвоєння
І. Сфор~:улюй'rе теорему Існування І однозначностІ розв'язку диферен
цlального рlвняння другогn поРЯдку.
2. ПерекажІть змlст метод..v розв'•-зання ,циференЦімьного рівняння типу
9<•! _. f (х) |
• НаведІть приклад. |
З. Перекажlть змlст методу розв'язання диференцlального рІвняння типу |
|
~" =f (х:, І)') |
• НаведІть приклад. |
4. Перекажlть змІс•r методу розв•язs.ння дифер~енцІального рlвняння типу
?
у~~ ff!I• у') • Н.в.ве.цІть лриклад.
5. ДзV.те оз11з.•!снн1t .11ІнІйноrо дифєрехцlм1tного рІвняиня п-го nорядК)·
(однорІдноrо І нео}\Норlд.чого). Доведlт• ОС!іоnнІ ВJ!ЗстквостІ час
ТИНЮ1Х' rоз:з 'Jо!ЗУ.lв лІнІйноr1' O)UiO!)I,r,;~ora диференцlа.пькоrо рІІШІtНt!.!І. б. Да~те озна'((енюr пІнlЛно з8.ІІе::<НУ.Х' та лlнІАнt> r.e:)a.r;~иx фун1щ!!\,
навсдІ':'ь :1v1:клади таюtх фуикцІ~;t. Д'1ведІт!І>, що .JVIЯ .11І1-<!йно зе..:~е№и:::
функцl:. в11зіtаІ,ІНИJС Вронського .цорJ.ьню-s .сум:. ~орму.п~:Rте обеІ)нен.r
те.орс!ІІ)' щодо Jt!н!йно |
неза.nежютх |
роав'f!:оJКІв (Iн'l'erp,,.1!J.a) од.чорІдюrА |
~Ін!~них дУ.ферскцldJІЬН'ИХ рІвНJІнь. |
||
? • Довсдlть TP.opewy nµc |
З(lІ'МьнмR |
роза•я:::ок JІlнlйног~ одJ1орІдкоrо |
.ц51ф1'>ренцІа.•111омого ?Іе~-RНН.Я 2-го П:>;?лдку.
8. П.ерекажІт~ ::sмlст меtод.v ~nахоЩ!ения загального р;:~зв'.язку лlwІR:ног!:І однорІдч.ого дчфереJщlа.11с.н"rо рІ2;.;яиня nорлд!<У, .яюцо аlдому,:t
о,ц:1н час1·vн-tfи~ розв•.язок. НаgедJ~ь rrрмкJщц.
9.ВиJ\е,і:,.Ї:-ri. q.c,11.·<:YJtY з~га.r.ьно:-оСІ розв'.я:ж~· лlнІйноrо .r,иференц!&J1ьного рlsнnн:і.Я 2-го ПО~І,1\!(у зl C'J:'&JIIOo(И Іtо~ІцІеК'1'Р..аlК дr.·" 811П8дЮ'. КО)!И
коро11І Хt1ра.ктерис':.':tчного рlвняннн дІйснl І pl:1н.t. І!аведlт1t приклад.
ІО. Виве~Іть форму.лу з!іга.пь~о~о ро3в•11зку JІlнІАноІ"'о о,.,,норІдкого дкфР.
ре11цІз..1ьноrо ~lвн.<>ню; Z-rc. r.оря.цку зl с1·1.1JІШ«и r<oe4:lцlє>j.':°l1'И АJІЯ
виn:\дку, кuР.и коренІ xap<.i!М'epи-c'!';fЧ}!Qf'o рlвкякия СІ'!lеп;~дають. Ha- neдlта. пр1~кль,ц.
lI. Внеедl·.~:ь фо~лу 3ага.:1"кого розв'язку JІІнІR:но!'о однорІцкого дифf:
ренцlв..nьного рІзКFІЮіи 2-го nорядІ\у зІ сталJNИ коефlцlе.1таwи ДJІЯ
;щпад~tу, коr.11 кор1:1нІ хараt:термс·rичного рІвнлиня кс1jплекснl чис.11а.
Наве.цlть nрихл~.
!2. Дoeu.'\l'l'ь теоре:І'V npo ЗІіrальння розв•я:зок |
лlиІйкого кеодкорІ.ц;соrо |
||||||||||
.ЦііфаренцІа.nьІ"!ого р!вк111rн.я 2-ro порядку. |
|
~; • ' ру' ~q.y |
.., f, (:i:) |
||||||||
ІЗ. До11uдrт~., |
що сума. 11зстwюt•1х |
розr;•яз~<Ів рІвм~ |
|||||||||
і. |
Н" |
• t''il' |
, ~·J - |
{1.(:А.) |
|
е |
розв•11~ок 'Рlвк.яння |
|
|||
tJ" + f'tJ' |
І~ Іj |
·/,()І.) |
• fl. (Х) |
|
|
|
|
|
|||
14. Сфоµ&улn"7е r'.(111ви.по. за як11'оС зНІіХоДІfТ•ся |
ч&С'!:тіния. ~юзв•язок |
лІ |
|||||||||
Nl !.1ио!'о |
ц:·t~р.жцІЗJt1.!-!Оt"() рІІ'ИЯЮІІ' |
2-го nорядr.у |
::!l r:•L'aJJ/o\м11 |
14'оеф1- |
|||||||
цlє,..т:ц,щІ |
:1~8~ ЧІіСТІ\К!l ~kОГО J.18.C |
r.1п·ляд |
е"'~ |
Р" (А) |
• |
.Це |
|||||
Р., \).} |
- |
~"'І::о;•очлен с?епен11 |
n 7, •) |
• |
|
|
|
|
|||
І!). Cфo~~r1·.:in11r~ 1щавмло, :'<а |
яким :.111ах•'й.К'1'1"С.R част11tr.-1:1й розв'язок лI |
||
:tI!~ttoro дифе~нЦІ&11ь11оrо |
pl11t11Пiн1t |
2-ro 11ОР11Аку зІ "'l'SJ!J1)fИ кс.ефl |
|
цlеН1'~w111. щ;n11а час.-ина |
якм•с |
14ае |
зигл.яц f""' (А "б'І.1~:ІС ~ в5tnрх) , |
Іб. В чо:н~ ПMJtt'.:i·": суть крайuьс.1 |
3'1,11,8'•1 дл~t ди~ре;щ~а.1ького pl:e!iRHнP.? |
||
Т&!А
g:12!~!:!!!:!д~tІ.~~!і:.ш~-Л~Ф~2~!іц!.~;!~!і:.!~-·й~!:!!!!:!О-'.-~~~~!!!;:!_!~ОQП_2:;:1Е~оf!І
І. Системи зеичsйних диференц!альних рlвнянь.
ЛІтература. [ 4}, :J. І.ІІІ, §29, впр. ІВО; [ь], р. І.(, §15, задачІ
3078, ЗОdО, З0Ь'7.
2. Системи лІнІйних диференцІаль:шх рІвняш. зІ сталими коефІцІ
ен-гами.
ЛІтерз.тура. [4}, р. ХІІІ, §ЗО, впр. Iffi, І86, ІВВ; р. х;а, §17,
впр. І4.
Запитання для самостІйноІ перевІрки засвоєння
І. Яка. система диференцІз.'Іьних рІвнлнь І-го порядку називаєrься нор
мальною? Gформулrо~те задачу КошІ для цІє~ системи.
2.ПерекажІть :зміст методу знаходження загального розв• язку :юрмальноІ системи днференцІальнюс рlвняна І-го порядку шляхом зведення сис
теми до одного диференцІе.ланого рІвнянн.f! (метод ВИКJІJ)Ченн.Я) .JІяяе
дІта приклад.
З. ПерекажІть змІст метод:,' знахоД)Іtення загального розв•яз1су нормалr, ноІ системи двох лІнІйншс однорІдних диференцІальних рІ'91іЯНЬ зІ сталИ!>4И коефІцІє·1тами для випадку, кол.и коренІ Х!!.рактеристичного рІвняю-;я простІ. НаяедІть 11риклад.
4.ЗапИt:ІІта ~{ матрtічнНі формІ нормал~.ну систему І розв'язок но.рмаль
нсІ системи двох лІнІйних однорІдн~ диференцІальних рlвнянь зІ сталими коефІцІє;1тами. НаведІть прик.'Іад розв'язування такоІ систе
ми матричним способом.
ЗАГАЛЬНІ ЗАУВАЖ!:ННR
І. Рекомен.д.vемо повторити: означення послІдовностІ та ІІ границ!,
ознаки збІжностІ, r:ерша І друга важ.ливІ границІ. невластивІ Інтеграли.
2. При виnченІ рядІв слlд навчитися практично розв•язу~ати так!
задач!:
а) якщо задана достатня 1йлькІсть членІв його, знайти загальний
член рлду;
6)знаючи загальний ЧJІ'ен ря.цу, записати декІт.ка пеµпих його чле нlв (записати ряд).
З. Дослlдження рядІв з додатиІмц членами проводять вІдповІдно такІй схемІ:
4. Ознак~: noplsкmm." рядlв застосов:'JХ)rа. nеравUІНо у 1'ЗККХ виnад
ка~, коли ззга111онм~ сuек tтд.У має виr.11я.ц рщlонаn.ьноrо &бо Іррацlо н.а.11ьного дробу. або idc1'irrь трJІNІіС.~·ркч:нІ Ф:vн~ІІ І т.а. У цІfт.
випадках з~с-:;.>осов}'171'1t. РіІ.Ц Дlplx.n~ ~! |
~~ |
, якмА |
з11NnІІ1 д.r.я |
|||||
tf.. '>і. |
І |
г.о_збJ~сниА |
.ц..1я J. s. і. • aCS?. рл.ц |
Із |
ч.tre:!lв rеометрv.:щюІ |
npur- |
||
pe<::II |
[ |
а"1h |
• йКИй з6Іжхмt дпя: |
f <f/ <,1 |
І tюзбІжний для |
|||
ІqІ ~і |
"" |
|
|
|
|
|
|
|
5. Озн.аку Дмам1ера застосо1>,rм.1~ у то~, ВІНЩІ(".{, |
::оли заг8J!ь.КМ:і |
|||||||
член |
111Істит:. |
!ial<'l'opl~І або ПOi(l'\3Ht'!Kv9I <::ПlІ.'!МкnжкиаJ( |
а.ІХ |
• В цих: |
||||
ви~ках 3ac·J·1:>co8yvrь фор11:упу C-:-Ipnlнra |
|
|
|
|||||
|
|
|
п!~ V27;;;' (~( |
|
|
|
|
|
яка зв•язу~ |
п! І |
rt111 • |
|
|
|
|
||
б. Якщі:> зе доnомоrою озх:1ки ДаJ;&Мбе~ нeitOVІitBO досл!дмти рпц І дооести збІ:~m-І,:'1'1' -:n-1 р:>зб!Жtї!с·~·ь Jіо.го, то иеобхlднс.; зас·rосуеати бІ::ЬІU ефеК'rивн:: щ;:ш.:<у збl12tН1:>С·1·І або розоІжкостІ. ':'аку як Ін·,·егрмьнs. оз
нака KvmJ.
7. Досл!.~:,.;еню~ зб!;tf.oc·rІ зне1<t111очере;!(Нюt рмl:1 r.оч1:наrйь ~ дос1й.ц.'І:енttя: зCiJ:JІU1oc•:-I ряд.v. я•:и~! ск..1.аД?..ЄТ•~.я з a.6coJ;ю'l'IOS7. ве.шч~ш чт.енlв рлду. fuщo У'і'ЗОрєИ11Г; [--lд :;6I:<tnJ:?., 1'0 l за,ц•·:Ю•А рл~ 'l'~W:. nrw~ot.tv аб СОЛІD'l'НО збІіlНнй, ЯІ>::{D .У1'ВОреІнtІt ря,ц розбlжниz, 1'0 ЗUC'rOC09YJDTI:> ОЗіі!іку
ЛейбнІца (NбN доСJІ!д;..(V.;'І'Ь ~а,цан~r,« РІ'д на умовку зб!жнlсть).
8. fi!c.nn -::-ог1;1. пх 6уде визначt:~іfий Іктгрвал. зf;І....нос-:-І функцJщ:а.1ь
ного :;я.цу, нео<Sхі~о 0Gов•язков1.1 Аос.rrlдитк ~бІ.нІста йОГQ ма мЕ"КІ
~б11.а.стr (,цн:~. tюзв•я3з.ння типових задdч).
9. СJ!Ід зі'~tЖУ'»И y~ary м~ np;wl-.LК.:V i.; §?• р. ХУІ. носІ~киха (4),
.це nок3з~Q, вк оцlни·rи n1.1хибку. як" буде допущена• .!fщо заNіни·.rи C:p!ff
знакоnочер№-tоrо pirд.v час.11ИН()І)Сvмою Іого. Це зауеuения ~астосову ть в §І? І §2!.
ІО. ПpJJ еикошuтІ зав.даННІі контрольно! tюб<frit r.o розвиненню фуик
"111 в ряц ~р•є Т40Ф0J"'.ttонкі l!or::i треба звернуrи оr:облив~т _y111ary на
'<'al"lnитІ'.ниr.:
а) фу:нкщ.я розвшrєиа JІ cвllt ря,ц Ф~ІР·в (.Акщu вона nерІоци11на І за
.~r.к1:1 111:1. nzIA цислоsІR t.>~I};
б) р.І!,:І. Фyt:i•e ви1t~иуr. перІu.д:tчне n;x>дonel&НJf функцІJ. на всю чнс
JtNі:І' elci. (яiqo функt.Jл за~ка на вІдрl~к,v);
вІ .Р.'~ ~--:.·оор.1'1'М І'іОІ"!v .румкщ", яка моzе буrи ро31шиена в pi:tд Ф)~•е