Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

работы отводится на построение представлений групп и тензорного исчисления. После того как это сделано, выписывание самого действия занимает всего несколько строк. То же самое относится и к геометрической струнной полевой теории. В следующих шести разделах м^ будем следовать основной стратегии (8.1.1) и терпеливо выведем для USG все представления, связности и кривизны. После этого на вывод самого действия в разд. 8.7 понадобится только одна страница.

§ 8.2. СТРУННАЯ ГРУППА

Следуя основной стратегии (8.1.1), начнем обсуждение струнной группы с введения совокупности всех непараметризованных физических пространственно-временных струн:

Очень важно отметить, что эти струны определяются независимо от любой конкретной параметризации или любой фоновой классической гравитационной метрики. При этом каждая струна в данном триплете имеет определенное направление или ориентацию, поэтому в целом триплетная конфигурация является циклической (антициклической). Теперь определим

Эти константы просто равны 1, — 1 и 0 в зависимости от того, образуют ли струны 1, 2 и 3 триплет, антитриплет (с обратным порядком) или ни то ни другое.

Пусть С представляет струну с обратной ориентацией по отношению к струне С. Тогда окончательная форма структурных констант такова:

Эти структурные константы являются антисимметричными по струнам

1и 2. Далее мы вводим абстрактный групповой генератор Lc, связанный

сфизической струной С. Алгебра струнной группы определяется следу*0- щим образом [1, 2]:

S G : [ L C i , L C 2 ] = / £ , C 2 L C 3 . ( S 2 A )

(Мы будем всегда суммировать по повторяющимся индексам.) Решающая проверка, конечно, состоит в том, удовлетворяет лй

алгебра тождеству Якоби. Образуем коммутатор трех таких ген V

372 Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн

где С представляет все возможные пространственно-временные стру^ ные конфигурации, совершенно не зависящие от любой параметризаций струны, фс играет точно такую же роль, что и xt. Как и в случае 0(щ выполним над этим вектором преобразование с помощью матриц'

где С обозначает струну С с измененной ориентацией. Обратим внимание на то, что струнные индексы С преобразуются под действием струнной группы ковариантным образом (Л - параметр преобразования),

в то время как индексы элементов для струн с обратной ориентацией

Подставляя (8.2.13) и (8.2.14) в (8.2.11), можно показать, что комбинация ф с ф с действительно инвариантна.

В этом представлении явный вид генераторов таков:

Подобно примеру О (N) с метрикой 50 , здесь мы видим, что метрика есть

Используя (8.2.16), легко проверить, что под действием струнной ГРУП^ дельта-функция преобразуется как истинный тензор со смешанны компонентами:

Выразим элементы нашей группы через экспоненцирование элемеНта

гдСДс-параметры группы. Такое определение групповых элементов как операторов позволяет написать

Действие группы на состояниях определим следующим образом:

(8.2.21)

Подставляя (8.2.21) в (8.2.20), мы можем снова получить инфинитезимальное преобразование:

Отметим, что эти преобразования действительно образуют группу, так

как

Этот групповой закон можно проверить для инфинитезимальных преобразований. В этом случае мы просто заново выводим тождество Якоби.

В отличие от ортогональной группы, для которой векторы х{ и групповые генераторы Xtj преобразовывались различным образом, мы ваходим, что вектор фс преобразуется по присоединенному представле- нию нашей группы. Пусть, к примеру, базисные состояния струнной

группы представляются базисными векторами

l S | e c ' > = - / £ C t ЛсМес'>

С°*^НЯК)Т э т о т инвариант.

Имея набор таких контравариантных базисных векторов, мы можем

определить действие генераторов в их пространстве: | ( е с | е с > = 5с ; < e c | i l | e c ) = Ос ,

Рис. 8.4. Инвариантность кубического взаимодействия. Мы можем показать, что кубическое взаимодействие является инвариантным относительно действия струнной группы.

фоновой гравитационной метрики:

§ 8.3. ОБЪЕДИНЕННАЯ СТРУННАЯ ГРУППА

Определив порознь струнную группу SG и Diff(S), объединим их теперь и обсудим универсальную струнную группу для бозонных струн и ее суперсимметричное обобщение-объединенную струнную группу.

Чтобы выписать генераторы универсальной струнной группы, нам 4>идется ввести параметризованные генераторы струнной группы. Пусть ^Уна С параметризуется параметром А^(сг):

^струна С параметризуется теперь точками, обозначенными сг15 сг2, 3,'"> 9 и N можно выбирать сколь угодно большим.

^Введя конкретную параметризацию, мы получаем бесконечное число

^метризованных струн X, которые соответствуют одной и той же ческой струне С. Это означает, что с каждой физической струной

В каждом классе эквивалентности лежит бесконечное число параметра* зованных струн, описывающих одну и ту же физическую струну q Таким образом, имеет место следующее разложение:

т.е. универсальная струнная группа представляет собой полупрямое произведение струнной группы и диффеоморфизмов струны. Вообще говоря, параметризованные струны X и У принадлежат одному классу эквивалентности, если они описывают одну и ту же пространственновременную струну, т.е.

и отличаются на бесконечно малую величину.

Теперь, необходимо переопределить структурные константы группы

Эти определения удовлетворяют тождеству Якоби. Однако в результате суммирования по всем струнным состояниям, принадлежащим одному классу эквивалентности, здесь появляется бесконечная константа. Иными словами, необходимо определить меру интегрирования по этим состояниям.

Для определения меры введем векторное поле СЧ^Х п о з в о л я ю щ е е вычислять разность двух элементов внутри одного и того же класса эквивалентности. Если одна струна параметризуется посредством {<*/' а другая внутри того же класса посредством {а}, то

где а определяется согласно (8.3.8). Антисимметричные структуря*6

ложем сделать калибровочное преобразование на струнах, которое 03Менит также поле (^(Х). (Эта свобода выражается в том, что мера интегрирования дается струнной плотностью Jdet|e^|DAT, которую мы обсудим более детально в разд. 8.6. Струнная плотность обладает явной репараметризационной инвариантностью.)

Выпишем алгебру универсальной струнной группы [1-5]:

причем да- можно разложить в ряд Фурье по Ln — L_„.

Первая строка в (8.3.10) соответствует алгебре Diff(S)_, в то время как последняя-струнной группе. Средняя строка показывает, что универсальная струнная группа есть полупрямое произведение пара-

Это объясняет происхождение полевого функционала Ф(ЛГ) из уравнения (6-3.3), которое было выписано нами в главе, посвященной теории и калибровке светового конуса. В действительности мультилокальный Ч№кционал ф[АТ]-не скаляр, а вектор, преобразующийся по при- ^Диненному представлению универсальной струнной группы USG.

§ 8.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ USG

_^яснив структуру калибровочной группы, мы можем сделать сле- ^°Щий шаг, придерживаясь основной стратегии (8.1.1), и выписать ^^ связности, что, конечно, подразумевает знание неприводимых РСДставлений группы и ее постоянных тензоров (коэффициентов

Гордона).

378 Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн

Известны три неприводимых представления USG. Первое из них^ неприводимое представление струнной группы |ес >, уже обсуждение нами. Второе называется модулем Верма V. Оно впервые встретилось нам в (4.1.42) и в дальнейшем будет отмечаться греческими индексам^ а и р . Третье представление, которое содержит присоединенное пред. ставление А группы Diff(S), мы назовем струнным представлением S и будем отмечать непрерывными индексами от, р, 0, изменяющимися от нуля до параметризационной длины /, а его фурье-компонентьь латинскими буквами т и п (см. [6-9]).

Ключевой шаг был сделан в (7.1.27), где мы отождествили вспомогательные поля с совокупностью компонент модуля Верма.

V-представленне

Пространство представления для модуля Верма V строится из генераторов L„ группы Diff(S) путем образования универсальной обертывающей алгебры. Определим контравариантный вектор |еа) формулой

Индекс а обозначает бесконечный ряд элементов с числом состояний р(п) на каждом уровне п, где р(п)~ число делителей целого п, а каждое

п = - 00

По непрерывному струнному параметру от подразумевается интегриро- вание, если он встречается дважды. Поэтому sCTLCT = J Jas(a)L(a).

Определим действие групповых генераторов Ln на элементе модуля V так:

Отметим, что L„, действуя на элемент модуля Верма в (8.4.1), всегда создает другой элемент того же модуля. На самом деле к о н с т а н т ы /JJp являются коэффициентами Клебша-Гордона для тензорного пр°* изведения модуля Верма V с присоединенным представлением А (которое включает генераторы L„), т.е.

В свою очередь это позволяет определить ковариантное поле сра> таК()б

6 Ф « = - £ " " / Последние выражения можно компактно представить в следующем виде:

8|Ф> = О,

Для этого представления V также можно определить оператор, поднимающий и опускающий индексы. Пусть

обозначает присоединенный кет-вектор. Тогда имеем контравариантную форму

и в случае, когда он отличен от нуля, представление оказывается неприводимым, а матрица обратимой. Таким образом, операция

превращает ковариантный вектор в контравариантный и наоборот.

Поэтому легко показать, что и ее обратная матрица являются операторами, поднимающими и опускающими индексы представления V.

S-представленне

В дополнение к V-представлению существует также второе представление группы Diff(S), называемое нами струнным представлением 8 и являющееся конформным представлением, введенным в (4.1.28) (за ®р*лючением того, что его элементы есть функции только а, а не а и т). ^кдое неприводимое представление определяется весом п, а каждый Цемент фст внутри представления веса п отмечается непрерывным ^Рунным параметром от или своими фурье-компонентами ф" (см. W-U4)):