Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

250 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

комбинациям. Гамильтонианы для секторов NS и R суть

ооJ

(Здесь 1/24 возникает из-за регуляризации дзета-функции; см. гл. Ц) Эти гамильтонианы принадлежат секторам NS и R в зависимости от их

периодичности по направлению а. Однако, когда мы вычисляем след по этим гамильтонианам, мы вставляем полный набор промежуточных состояний по направлению т. Континуальный интеграл по т выбирает лишь антипериодические граничные условия, поэтому он неполон. Необходимо видоизменить эту сумму, чтобы включить все возможные спиновые структуры, что достигается включением фактора (—1)F, где F-фермионное число. Окончательная амплитуда представляет собой сумму амплитуд А(±, ±), определенных для всех четырех следов

и умноженных на некоторые коэффициенты С:

В явном виде каждый из следов записывается следующим образом:

Заметим, что последний след обращается в нуль. (Все три первые тэта-функции ©2,з,4 четны по переменной z, тогда как ©j нечетна. Поэтому только четные спиновые структуры сохраняются в следе.)

Последствия этого таковы. В NS-сектор, например, мы включили как сектор ( —, +), так и сектор ( —, —), так что приходится включать их

вклады в след:

Но это как раз и есть GSO-проекция [26], которая проектирует в нуЛ* состояния, четные относительно (— 1)F! Итак, мы получили нову*0» физическую интерпретацию оператора GSO-проекции, который был введен в (3.6.12) для устранения несуперсимметричных секторов теорн** NS - R. Удивительно, что модулярная инвариантность,

и GSO-проекция столь тесно связаны.

Когда мы вычисляем вакуумную амплитуду, у которой нет внешних 00OS. (она входит в вычисления космологической постоянной), необходимо сложить все четыре вклада спиновых структур. Но у нас есть ^ечательный результат Якоби:

Это означает, что вакуумная энергия суперструны, т.е. однопетлевая поправка к космологической постоянной, в точности равна нулю!

Подводя итоги, мы доказали, что модулярная инвариантность и операция GSO-проектирования по существу совпадают для замкнутой суперструны. Модулярная инвариантность, перемешивающая граничные условия, требует, чтобы мы добавили к окончательной амплитуде вклады всех спиновых структур, что в свою очередь соответствует добавлению как раз отвечающих GSO вставок оператора (— 1)F в след. Первоначально GSO-проекция была наложена на суперструну NS - R сцелью получить суперсимметрию. Теперь мы знаем, что GSO-проекция также налагает условие модулярной инвариантности [27].

В качестве приза мы обнаружили, что однопетлевой вклад в космологический член в точности равен нулю. (Однако это не означает, что теория суперструн решает проблему обращения в нуль космологической постоянной. После нарушения суперсимметрии мы не можем больше ожидать, что вклад вакуума равен нулю, и следовательно, теория суперструн не объясняет, почему космологическая постоянная равна нулю после нарушения суперсимметрии.)

Эти утверждения укрепляют наше убеждение в том, что внутренняя самосогласованность теории суперструн весьма замечательна.

Теперь обобщим наши наблюдения для построения многопетлевых амплитуд с внешними линиями.

К счастью, математический аппарат, разработанный для римановых поверхностей, весьма просто переносится на случай суперструн, если воспользоваться формализмом модели NS-R.

Обобщая (5.7.2), корреляционные функции можно вычислить из [28]:

здесь будет интегрирование по двум антикоммутирующим ^игорным полям ц/ и х, а также суммирование по всем спиновым ^Уктурам.

1*анее в (3.4.5) было показано, что в формализме NS - R действие ^^риантно относительно преобразования

^Перь по аналогии с бозонной струной построим два оператора

252 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

В дополнение к интегрированию по модулям теперь нам придетс интегрировать по супермодулям, которые определяются как простран ство бесследовых %а, таких что их невозможно устранить локальным суперсимметричным калибровочным преобразованием. Поэтому они удовлетворяют уравнениям

Для поверхности рода N размерность пространства супермодулей равна

размерности пространства Р\/2:

4N — 4 при п ^ 2.

(Здесь «периодические дважды» означает граничные условия NS-R-no- ля.) Мы хотим построить якобиан для

Для фермионного поля этот якобиан вычисляется, как и прежде:

Здесь я, - супермодули, и они соответствуют параметрам Тейхмюллера, а интегрирование по фермионным параметрам X и £ представляет интегрирование по избыточности, вносимой суперсимметрией и суперпреобразованиями Вейля. Определим

Разделив на Da, Dva, DX и DC,, извлекаем бесконечную избыточность, вносимую суперсимметрией действия суперструны. На практике, однако, параметризация модулей, в особенности при числе петель выше трех» весьма трудна. Природа супермодулей, к сожалению, изучена еще ху#е- Это два главных препятствия для четкого понимания многопетлевЫ* амплитуд, т. е. для выбора координат на римановой поверхности рода в* совместимого с модулярной и супермодулярной инвариантностью.

§ 5.10. ДЕТЕРМИНАНТЫ И СИНГУЛЯРНОСТИ

Преимущество метода римановой поверхности состоит в том, что по тайней мере формально возможно получить результаты об общей |£руетуре сингулярностей N-петлевой амплитуды. Оказывается, что детерминант, содержащий эти сингулярности, есть дзета-функция Зель-

^Выше мы видели, что проективные преобразования естественным образом разбиваются на классы сопряженных элементов. Два проектив0УХ преобразования считаются относящимися к одному и тому же сопряженному классу, если у них один и тот же множитель. Так, любые д$а элемента одного сопряженного класса могут быть приведены проективным преобразованием к виду

Величину / иногда называют «длиной» замкнутой геодезической. Пусть i и г' суть две точки комплексной плоскости. Тогда мы определим «расстояние» между этими двумя точками формулой

Преимущество этого определения «расстояния» в том, что оно одинаково для всех элементов одного смежного класса.

Мы видели на примере однопетлевой амплитуды, что умножение на множитель w перемещает точку по &-циклу. Топологически это просто означает обход по замкнутой геодезической на римановой поверхности. Итак, / есть длина простой замкнутой геодезической на этой поверхности. Мы будем называть преобразование примитивным, если оно не является степенью (большей или равной 2) какого-либо другого элемента из множества проективных преобразований. Итак, нас интересует множество примитивных геодезических. Определим дзета-функцию Зельберга как в [23]:

I примитивное р = О

Здесь берутся произведения по длинам замкнутых примитивных геодезических у на поверхности, v (у) = 1 для бозонов и v (у) = ±1 для фермионов, в зависимости от спиновой структуры.

Примечательно, что мы можем выписать различные детерминанты, На®Денные ранее при вычислениях многопетлевых амплитуд, с помощью Дзета-функции Зельберга [28]:

зом- ЙОНные детерминанты также можно выразить следующим обра-

(detP{/2 Р1 / 2 )'/ 2 = e~c"2XiM)Zv(3/2),

254 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

гх№ / 1

Здесь х~число Эйлера (р есть число нулевых мод для yaDa). Числовая постоянная с определяется по формуле

Тем самым, исследуя структуру некой функции, мы получили структуру сингулярностей N-петлевой амплитуды!

Математикам известно, что дзета-функция Зельберга хорошо себя ведет, пока риманова поверхность не вырождается топологически. Например, мы обнаруживаем расходимость, при которой длина примитивной геодезической стремится к нулю. Это соответствует бесконечному растяжению «шейки» одной из ручек сферы. Тщательно исследуя поведение дзета-функции Зельберга при стремлении к нулю одной из длин примитивных геодезических, находим

т.е. полюс, соответствующий испусканию тахиона в вакуум. Возможность выделить сингулярности многопетлевой амплитуды

с помощью известной математической функции, а именно дзета-функции Зельберга, это крупный шаг вперед в разрешении главной проблемы, стоящей перед струнной теорией возмущений,-строгим доказательством конечности этой теории во всех порядках. Формально можно показать, что расходимости многопетлевой амплитуды могут возникнуть в том случае, когда интегрирование по пространству модулей меняет топологию римановой поверхности, скажем, когда два отверстия отделяются и образуют длинную «гусиную шею». Однако имеется много тонкостей, связанных с сокращением этих расходимостей и не вполне пока решенных. Хотя предварительные результаты обнадеживают, строгое доказательство сокращения расходимостей остается нерешенной проблемой.

§ 5.11. ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ И ГРАССМАНИАНЫ

Хотя в прояснении математической структуры многопетлевых аМ1*" литуд был достигнут огромный прогрес, в некотором смысле ощутимые результаты разочаровывают. Уже в 1970 г. было известно, что рас*0* димости многопетлевой амплитуды, как показывают прямые вычясле* ния, соответствуют деформациям топологии некой римановой поверх' ности [4, 5]. Сложные математические методы, введенные нами, по* что не дали ответов на ключевые вопросы: можно ли строго показать»

0-0 теория остается конечной во всех порядках теории возмущений? ggflfl да, то как суммировать соответствующие ряды? Как вычленить из 0ОЙ теории непертурбативную информацию? Знание того, что расходимости теории могут быть выражены через дзета-функцию Зельберга [23, 29-32],-это хотя и важный результат, но он все же не решает указанных загадок- В итоге прогресс достигнут скорее в области математики, а не

Начиная с этого места, можно продвигаться в одном из двух ^сходящихся направлений. Можно оставить в покое ряды теории возмущений и непосредственно приступить к построению полевой теории струн, в рамках которой можно было бы получить непертурбативную информацию. Этот традиционный подход, принятый в обычной теории точечных частиц, будет развит в нескольких последующих главах. Другой путь-попробовать найти некоторую симметрию, вроде модулярной инвариантности, которая могла бы позволить оперировать всей суммой по всем римановым поверхностям произвольного рода.

В случае обычных фейнмановских диаграмм для точечных частиц вторая из этих стратегий, по-видимому, невозможна. Симметрий здесь слишком мало, и к тому же фейнмановские диаграммы - это графы, а не многообразия. В случае же теории струн фейнмановские ряды суммируются по многообразиям, а именно по римановым поверхностям, для которых модулярная инвариантность играет ключевую роль. Поэтому допустимо предполагать, что весь ряд теории возмущений может оказаться математически постижимым объектом. Этот подход защищают Фридэн и Шенкер [33], которые предложили изучать свойства «универсального пространства модулей» всех римановых поверхностей, включая поверхности бесконечного рода.

Вплоть до недавнего времени эта программа была слишком амбициозной и сложной, чтобы дать значимые результаты. Однако два Достижения последних лет придали ей дополнительный импульс:

0)Во-первых, Белявин и Книжник [34] недавно показали, что мера многопетлевой бозонной амплитуды-это просто абсолютное значение некоторой (Зд — 3)-формы. Это называется «голоморфной факторизацией». В принципе, она может позволить выписать многопетлевую меру простым рассмотрением полученного выражения! На практике, однако, существуют определенные трудности в задании параметризации матрицы периодов при числе петель свыше трех. Это называется проблемой Шоттки. Голоморфная факторизация сделала вычисления меры для двух- и трехпетлевых амплитуд почти тривиальным, но проблема Шоттки затрудняет выписывание многопетлевой меры.

Во-вторых, в 1984 г. математики наконец решили проблему Шоттки. Гем самым главное препятствие для применения голоморфной Факторизации, по-видимому, устранено. Кроме того, решение проблемы Шоттки дает нам даже еще более мощный инструмент. Оно Позволяет описать некое бесконечномерное пространство, названное

256 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

грассма-нианом Gr, в котором все римановы поверхности р0л g рассматриваются как отдельные точки [35-37]. Тем самым изуи? ние свойств точек грассманиана может позволить манипулировать набором всех диаграмм теории возмущений как одним объектом

(Хотя грассманиан, наконец, обеспечивает концептуальную схему д^

трактовки всего ряда теории возмущений как единого целого, мы по-прежнему не знаем, как суммировать этот ряд. Например, фазовое пространство сводит множество всех возможных положений и импуль-

сов частицы к набору точек. Так, фазовое пространство, в принципе содержит все возможные движения всех возможных частиц во Все^ ленной. Однако это говорит все и не говорит ничего. Нам по-прежнему приходится налагать уравнения движения и граничные условия для извлечения любой значимой информации из фазового пространства. То же самое относится и к грассманиану.)

Для выполнения этой грандиозной программы необходимо в полной мере использовать модулярные преобразования римановых поверхностей рода д. Особенно важна группа классов отображений MCG, сводящаяся к модулярной группе SL(2, Z) для тора. Нам нужен способ изучения группы классов отображений для поверхностей произвольного рода. Ключем к нему послужит построение тэта-функций, определенных на римановых поверхностях произвольного рода. Этот подход отличается от метода Шоттки, который рассматривался в разд. 5.6: там модулярная инвариантность не была столь очевидна.

На рис. 5.12 были показаны а- и &-циклы для произвольной замкнутой римановой поверхности, которые мы назвали каноническим гомологическим базисом. Пусть антисимметрический символ (а, Ь) обозначает, пересекаются ли эти циклы или нет. Он равен 0, если они не пересекаются, и равен ± 1 в противном случае. Рассмотрим к примеру тор, у которого есть только один я-цикл и один 6-цикл. Заметим, что (а, Ь) равен 1, поскольку эти циклы пересекаются, но (а, а) равен 0. Итак, четыре возможных комбинации для тора образуют следующую матри-

Элементы группы классов отображений не изменяют эту матрицу пересечений. Однако нам известно, что группа, относительно действия которой эта матрица инвариантна, есть Sp(2, Z). (См. Приложение.) Дл* описания элементов группы Sp(2, Z) рассмотрим твист Дена Л» порожденный разрезом поверхности вдоль я-цикла, поворотом разреза на 2к и склеиванием поверхности заново. Под действием твиста Дена &-цикл превращается в сумму а- и &-цикла (см. рис. 5.13). Итак,

Da(a) = a; Da(b) = а + b.

Представим теперь это на матричном языке. Пусть твист Дена действуй* на вектор-столбец [а, Ь]. Тогда твист Дена можно символически пр6^

0*»*ГЪ КаК

диалогично мы можем описать группу классов отображений для лухпетлевой поверхности, взяв твисты Дена вдоль циклов al,a2,bl,b2, JtfcKaee вдоль цикла a f 1 а2 , являющегося окружностью, окружающей 06а отверстия. С помощью тех же рассуждений можно показать, что ядасты Дена, действующие на вектор-столбец [al,b1,a2,b2'] могут быть дредставлены в следующем виде [38]:

Теперь рассмотрим замкнутую риманову поверхность произволь- ного рода. Ее матрица пересечений может быть представлена в виде

Это не что иное, как блочно-диагональная матрица, каждый блок второй имеет вид (5.1.11). Группа, сохраняющая эту матрицу неизмен- ной, есть Sp (2g, Z). Поэтому можно было бы подумать, что группа

классов отображений совпадает с группой Sp(2g, Z). Это не совсем так. Существуют также твисты Дена Dc вокруг циклов, которые гомологитривиальны и не преобразуют ни а-, ни ^-циклов. Поэтому они Ч^Дставляются в используемом нами базисе единичной матрицей. Тем Менее эти твисты Дена являются законными глобальными диффеоРфизмами, которые должны быть включены в группу классов отобра- j^0 0 - Эта подгруппа называется группой Торелли Т, и, следовательно,

Получаем окончательно желаемый результат:

17.787

258 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

(К счастью, действие группы Торелли на спиновые структуры TDft виально, так что мы опускаем дальнейшее обсуждение этой темы.)

Далее мы намерены описать матрицу периодов для римановой поверхности и ее преобразования под действием Sp(2g, Z). В дополнение к 2д циклам, которые мы можем найти для римановой поверхности, щ можем выписать для нее 2д независимых гармонических 1-форм о>. и ^ (см. Приложение). Поскольку число циклов совпадает с числом 1-фор^ (в силу теоремы Ходжа-де Рама), то мы всегда можем нормировать интегрирование по я-циклам таким образом, чтобы

В общем случае интегрирование по ^-циклам даст квадратную матрицу размера

называемую матрицей периодов и обобщающую переменную т, введенную для однопетлевой амплитуды в (5.5.2); она совпадает с матрицей периодов, введенной в (5.6.31) для многопетлевой амплитуды. Весьма просто показывается, что матрица периодов симметрична и имеет положительно определенную мнимую часть. В общем случае (1/2)0(0 + + 1) элементов симметричной (д х 0)-матрицы (с положительно опреде-

ленной мнимой частью) порождают пространство, называемое верхней полуплоскостью Зигеля.

Преимущество введения матрицы периодов состоит в том, что две неэквивалентные римановы поверхности могут иметь одну и ту же Qy; это называется теоремой Торелли. Поэтому с точностью до преобразований группы Sp(20, Z) матрица периодов дает удобный способ охарактеризовать различные римановы поверхности. Под действием преобразований группы Sp (20, Z) матрица периодов преобразуется как

где А, В, С, D суть симплектические (д х 0)-матрицы. Итак, две разные

матрицы периодов могут описывать одну и ту же риманову поверхность, если они связаны преобразованием из группы Sp(20, Z).

Теперь, когда мы располагаем математическим описанием групль1 классов отображений через группу Sp (20, Z), определенную на твистах Дена, наша следующая задача-выписать функции, определенные Я* римановой поверхности с д ручками. Выше мы показали, что однопет* левая амплитуда описывается через квазидваждыпериодическую тэта функцию ©. Теперь мы намерены выписать обобщенные тэта-функИ®** обладающие определенными свойствами периодичности и заданные поверхности с д ручками. ^

Если взять однопетлевую тэта-функцию и потребовать, чтобы обладала этими свойствами периодичности на римановой с 0 ручками, мы естественным образом добавляем д о п о л н и т е л ь н а

набор бесконечных членов к суммированию. В конечном счете эта су"

Рис. 5.14. Канонические гомологические циклы римановой поверхности рода 2. Чтобы получить эту фигуру, нужно нарисовать на сфере с двумя ручками или даумя дырками гомологические циклы а и Ь, сделать разрезы по линиям, образующим циклы, а затем развернуть поверхность на плоскость. Преимущество такого базиса состоит в том, что гомологические циклы поверхности про-

извольного рода можно представить в виде многоугольника.

где суммирование по вектору п производится на ^-мерной решетке. Тэтафункция определяется не на плоскости комплексной переменной z, а на векторах z, определенных выражением

г

(5.11.11)

Ро