Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

Обобщение его на теорию взаимодействий можно выполнить, использу технику функций Неймана. Нам нужно конформное преобразование переводящее верхнюю полуплоскость в полностью симметричную кон^ фигурацию. Один из способов это сделать состоит в том, чтобы сщи^ отображения шести зарядов, чтобы получить трехструнную верщИНу.

z _ 2 = — z2 ; z _ 3 = — z3.

Это позволяет написать явную формулу для вершинной функции:

в котором все может быть сведено к основным предположениям данной теории. Оказывается, что с помощью пяти аксиом, которые просто постулируются, мы можем вывести всю теорию BRST:

представляющее собой члены Черны-Саймонса.

Наконец, можно убедиться, что трехструнная вершинная функция з^вивалентна на массовой поверхности обычной вершине Венециано:

Здесь имеется, однако, одно смущающее обстоятельство. Дело в том, что мы можем определить ковариантным образом вершину в формализме светового конуса и показать, что она также эквивалентна на массовой поверхности обычной вершине Венециано. Таким образом, мы сталкиваемся в рамках подхода BRST с двумя эквивалентными вершинными функциями, приводящими на массовой поверхности к одинаковым результатам.

Хотя открытые бозонные струны было относительно легко выразить на языке BRST, этот подход для суперструн и замкнутых струн оказался гораздо менее успешным. Проблема заключается в том, что наивная «духовая арифметика» суперструнных действий и действий для замкнутых струн дает неправильные результаты:

<Ф|(2|Ф> = о.

Для изменения суммирования духов было предложено несколько способов, состоящих в «транкировании» либо гильбертова пространства, либо оператора Q до получения нужных духовых чисел. Проблема, связанная с тем, что при этом нулевые моды трактуются отлично от Других мод, вероятно, приводит к нарушению локальности по ст и, следовательно, к невозможности обобщения этого подхода на случай взаимодействий.

Более обещающий подход заключается в том, чтобы ввести бозонизированные духовые операторы, имеющие недостающие духовые числа, и затем вставить их в средних точках, где мы не нарушаем локальность по ст. Такой подход, по-видимому, хорошо работает для врытых суперструн, но терпит неудачу для замкнутых струн, потому что выделение «средних точек» нарушает модулярную инвариантность.

Такая ситуация является лишь проявлением более глубокой проблеtobi. BRST-теория просто постулируется без всякого вывода, в ее основе отсутствуют какие бы то ни было физические и геометрические принципы. Таким образом, она не может быть окончательной теорией. Наличие двух эквивалентных вершинных функций показывает, что это,

сУти, теория в фиксированной калибровке. Теперь мы должны Тратиться к геометрическому варианту теории, в котором все можно ^ т и из фундаментальных принципов.

362 Г л. 7. Полевая теория BRST

ЛИТЕРАТУРА

[10]Banks Т., Peskin M. Nucl. Phys. B264, 513 (1986).

[11]Banks Т., Friedan D., Martinec E., Peskin M. E. and Preitschopf. Nucl. Phys

B274, 71 (1986).

[12]Siegel W., Zweibach B. Nucl. Phys. B263, 105 (1985).

[13]Zweibach В. CTP 1308, October 1985.

[14]Itoh K., Kugo Т., Kunitomo H. and Ooguri H. Prog. Theor. Phys. 75, 162 (1986).

[15]Pfeffer D., Ramond P. and Rogers V. Nucl. Phys. B274, 131 (1986).

[16]Witten E. Nucl. Phys. B268, 253 (1986).

[17]Witten E. Nucl. Phys. B276, 293 (1986).

[18]Neveu A., West P C . Phys. Lett. 165B, 63 (1985).

[19]Neveu A., Schwarz J.H. and West P.C. Phys. Lett. 164B, 51 (1985).

[20]Neveu A., West P.C. Nucl. Phys. B268, 125 (1986).

[21]Neveu A., Nicolai H. and West P.C. Nucl. Phys. B264, 173 (1986).

[22]Hata H., Itoh K., Kugo Т., Kunitomo H. and Ogawa K. Phys. Lett. 172B, 186 (1986); Phys. Lett. 172B, 195 (1986).

[23]Hata H., Itoh K., Kugo Т., Kunimoto H. and Ogawa K. Phys. Rev. D34, 2360 (1986); Phys. Rev. D35, 3082 (1987); RIFP - 674 (1986); RIFP-673 (1986).

[24]Hata H., Itoh K„ Kugo Т., Kunimoto H. and Ogawa K. Nucl. Phys. B283, 433 (1987); см. также Chang N. P, Guo H. Y., Qui Z. and Wu K. CCNY-HEP-86/5,

1986.

[25]Peskin M.E., Thorn C.B. Nucl. Phys. B269, 509 (1986).

[26]Giddings S. Nucl. Phys. B278, 242 (1986).

[27]Giddings S., Martinec E. Nucl. Phys. B278, 91 (1986).

[28]Giddings S., Martinec E. and Witten E. Phys. Lett. 176B, 362 (1986).

[29]Gross D.J., Jevicki A. Nucl. Phys. B282, 1 (1987); B287, 225 (1987).

[30]Samuel S. Phys. Lett. 181B, 249, 255 (1986); Ohta N. Phys. Rev. D34, 3785 (1986).

[31]Cremmer E., Thorn C.B. and Schwimmer A. Phys. Lett. 179B, 57 (1986).

[32]Cremmer E. Quantum Gravity-Integrable and Conformal Invariant Theories Conference, LPTENS 86/32, September 1986.

[33]Caneschi L., Schwimmer A. and Veneziano G. Phys. Lett. ЗОВ, 351 (1969).

[34]Sciuto S. Nouvo Chimento Lett. 2, 411 (1969).

[35]Bogojevic A.R., Jevicki A. Nucl Phys. B287, 381 (1987).

[37]Другой подход к длинам струн см. в Neveu A., West P. Nucl. Phys. В293, 2 (1987).

[38]Siegel W., Zwiebach В. Nucl. Phys. B282, 125 (1987).

[39]Lykken J., Raby S. Nucl. Phys. B278, 256 (1986).

[45]Aratyn H., Zimerman A. H. Nucl. Phys. B260, 349 (1986); Phys. Lett. 165B, 130 (1986); Phys. Lett. 166B, 130 (1986); Phys. Lett. 168B, 75 (1986).

[46]Ooguri H. Phys. Lett. 172B, 204 (1986).

[47]Awada M. Phys. Lett. 172B, 32 (1986); 180B, 45 (1986); Nucl. Phys. B282, 349 (1987).

[48]Ballestrero A., Maina E. Phys. Lett. 180B, 53 (1986).

[49]Tang J.F., Zhu C.J. Phys. Lett. 180B, 50 (1986).

[50]Suehiro K. Nucl. Phys. B296, 333 (1988).

[51]Itoh K., Ogawa K. and Suehiro K. KUNS-846 HE(TH) 86/06.

[52]Leclair A. Phys. Lett. 168B, 53 (1986).

[53]Leclair A., Distler J. Nucl. Phys. B273, 552 (1986).

[54]Friedan A. Enrico Fermi Institute Report No. 85-27, 1985; Yonea T. Proceedings

of the Seventh Workshop on Grand Unification /ICOBAN 86, Toyama, Japan;

E. Witten, unpublished.

[55]Hata H., Itoh K., Kugo Т., Kunitomo H. and Ogawa K. Phys. Lett. 175B, 138 (1986).

[56]Horowitz G. Т., Lykken J., Rohm R. and Strominger A. Phys. Rev. Lett. 57, 283 (1986); см. также Kikkawa К., Maeno M. and Sawada S. Phys. Lett. 197B, 524 (1987).

Глава 8 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СТРУН

§ 8.1. ЗАЧЕМ Н У Ж Н А Г Е О М Е Т Р И Я ?

Как мы видели, развитие теории струн в течение последних 20 лет происходило в направлении, прямо противоположном направлению развития общей теории относительности. Во многом это объясняет почему мы до настоящего времени заняты поисками фундаментальной геометрической формулировки теории струн.

Общая теория относительности была открыта Эйнштейном, который сначала попытался объяснить важнейший физический принцип - принцип эквивалентности, а затем постулировал геометрическую формулировку, объясняющую общую ковариантность. Следующий шаг состоял в построении единственного действия, удовлетворяющего этим принципам. Дальнейшие этапы в развитии общей теории относительности были связаны с созданием классической теории римановых многообразий. И наконец, были предприняты попытки проквантовать эту теорию. Таким образом, историческая схема развития общей теории относительности выглядит так:

Геометрия Действие Классическая теория -> Квантовая теория.

В сравнении с этой схемой теория струн развивалась в обратном направлении. Ее развитие начинается со случайного открытия члена Венециано-Борна, построения квантовых петель, приводящих к классической струне Намбу-Гото, затем к действию в калибровке светового конуса и, наконец, к попыткам геометрического вывода действия:

Квантовая теория -> Классическая теория Действие Геометрия.

Только недавно, с возрождением интереса к струнной теории, были предприняты попытки совместными усилиями завершить ее развитие. Как мы подчеркивали, это не только академический вопрос. В конечном счете успех или неудача теории струн определится на основании того,

сможет ли она выбрать подходящий квантовый вакуум среди десятков тысяч возможностей. Таким образом, только в рамках настоящей

теории поля можно будет разрешить насущную проблему теории струн» а именно непертурбативное нарушение симметрии, сводящее 10-мерный

вакуум к четырехмерному.

В сущности, имеются только два различных способа, которым0 можно было бы вывести полевую теорию струн.

(а)Во-первых, можно попытаться получить действие полевой теории» отталкиваясь от первично квантованного действия Намбу, таким

образом, каким Фейнман вывел уравнение Шрёдингера из класси ческой теории нерелятивистских частиц. Такая стратегия «сни У

вверх» включает в себя выдвижение разумных допущений на основании особенностей первично квантованной теории. Недостаток этого подхода кроется в том, что он обязательно нарушает калибровочную инвариантность теории (т. е. мы должны выбрать калибровку светового конуса или конформную калибровку BRST). Это значит, что необходимо произвольно предположить существование определенных полей (например, «духовых полей ФаддееваПопова»). Эти поля присутствуют в первично квантованном подходе с фиксированной калибровкой, однако их появление во вторично квантованной полевой теории является странным и неестественным. Поэтому в такой теории это действие выглядит вычурным. Другими словами, подход BRST сам по себе не является физическим принципом,

(б) Во-вторых, в рамках геометрического подхода можно вывести всю полевую теорию, выделив фундаментальные физические принципы. Это метод «сверху вниз», наследующий дух теории Янга-Миллса и общей теории относительности. Теперь мы начинаем с единственной локальной калибровочной группы, введение которой основано на простых физических принципах, и требуем, чтобы действие было инвариантным относительно преобразований из этой группы. Основная задача такого способа рассмотрения состоит в выделении калибровочной группы струнной теории, нахождении ее неприводимых представлений, кривизны и самого действия.

В этой главе мы рассмотрим наиболее перспективный вариант геометрической теории.

Мы будем придерживаться аналогии с общей теорией относительности и теорией Янга-Миллса, которую можно вывести из двух простых принципов геометрического происхождения - глобальной и локальной симметрий.

Глобальная симметрия. Теория должна описывать распространение

спиральностей, соответствующих чистым полям А£ со спином 1 и g с о спином 2, преобразующихся как неприводимые представления группы SU(JV) и группы Лоренца.

Локальная симметрия. Действие должно быть локально инвариантным

относительно действия группы SU(N) и общековариантным.

(Первый принцип является физическим. Он определяет фундамен- Тальные представления полей и утверждает, что они должны быть Истыми», т. е. не содержащими духов и высших производных. Мы не *°тим включать в теорию духов типа высших производных; мы прямо Исключаем из рассмотрения действия типа R2 или F 4 , содержащие вЧсщие производные. Это означает, что первый принцип не может быть бедствием второго, поскольку локальная инвариантность сама по себе ^вместима с теориями, содержащими высшие производные.)

Выделив эти два физических принципа, для отыскания действия мы УДем следовать следующей основной стратегии:

Иначе говоря, для того чтобы вывести действие, мы сначала начинаем с двух полей связности, по одному для каждой группы. Пусть ^ - поля связности для генераторов т1 группы SU(iV), а cojf-поля связности ддя генераторов о°ь группы Лоренца. Тогда с помощью этих полей можно

построить следующие ковариантные производные:

И наконец, мы видим, что тензорное исчисление для указанных групп столь ограничительно, что оно допускает существование только одного действия, которое основано на этих тензорах кривизны, содержащих две производные, и это действие обладает как общековариантностью, так и локальной SU (ЛГ)-инвариантностью:

Замечательно, что этих двух принципов, основанных на одной лишь теории групп, оказывается достаточно для определения единственного действия. Причина состоит в том, что тензорное исчисление (т.е. правила умножения неприводимых представлений и мера интегрирова- ния) устанавливается калибровочной группой. Его не нужно вводить «вручную». Таким образом, тензорное исчисление столь ограничитель-

но, что это приводит к выделению единственного действия. Подобным образом мы следуем этой основной стратегии (8.1Л),

свойственной обычной калибровочной теории точечной частицы и

общей теории относительности, для того чтобы отыскать действие полевой теории струн. Мы предположим существование совершенно новой локальной калибровочной группы для струны, называемой нами

объединенной струнной группой, и затем перейдем к построению ее

представлений. Согласно основной стратегии (8.1.1), мы сначала строй*4

ковариантные производные, затем кривизны и, наконец, само действие.

При этом выясняется, что причина, по которой полевая теория стрУн кажется столь отличной от общепринятой калибровочной теорни* заключается в более богатой и сложной структуре неприводимой представлений и тензорного исчисления для объединенной стрУнН группы по сравнению с группой Лоренца и SU(N).

Объединенная струнная группа в свою очередь может быть Д^

вожена на две меньшие локальные калибровочные группы, а именно репараметризационную и струнную группы.

Репараметризационная группа

репараметризационная группа-это группа преобразований параметризации струн:

0 а + б (а).

Ее обозначают Diff(S), где S относится либо к открытой струне [0, 1], либо к замкнутой Группа Diff(S)_ порождается только нечетными генераторами Вирасоро Ln — L, и она является подгруппой Diff(S) (которая изоморфна конформной группе и порождается Ln для всех п). Diff(5)_ отображают физические струны С в себя, т.е.

Diff(S) - :C - +C .

Важность репараметризационной группы станет для нас ясной, после того как мы полностью сформулируем теорию в пространстве петель, т.е. в пространстве физических, ^параметризованных пространственно-

временных струн {С}. До сих пор в этой книге рассматривались только параметризованные струны Хц(ог) и ни слова не было сказано о непараметризованных струнах С. Главный смысл объединенной струн- ной группы состоит в нахождении такой групповой структуры, пере-

водящей одни струны в другие, которая была бы полностью определена в пространстве петель. Реальные физические процессы, описываемые геометрической теорией, должны обязательно развиваться в физическом пространстве непараметризованных струн.

Каждая из бесконечного множества струнных конфигураций представляется как отдельная точка в пространстве петель. Это важно потому, что пространство петель определяет физическую динамику взаимодействующих струн, вполне очищенную от всяческих калибровочных артефактов (таких, как параметризационные средние точки, параметризационные длины, духи Фаддеева-Попова, духовые числа), которые лишь затемняют рассмотрение того, что происходит в физическом пространстве-времени.

Пусть Хр (а) - вектор, соединяющий начало системы координат с точкой, обозначенной от на струне С. Потребуем, чтобы наше действие зависело от конкретной параметрйзации {а}, т.е. для свободного

Действия 1(C) выполнялось:

^осительно всех возможных диффеоморфизмов струны. Поэтому

В подлинно ковариантном формализме следует иметь возможность по желанию изменять параметризационную длину струны. Конечно со струной С связывается также реальная физическая величина, пред ставляющая ее действительную физическую инвариантную длину:

Данное выражение инвариантно при изменении параметризации:

Различие между фиктивной параметризационной длиной / и физическим инвариантом L явится главным фактором геометрического формализма. (Все калибровочно-фиксированные струнные полевые теории, такие как теория в калибровке светового конуса и BRST, основываются на фиктивной параметризационной длине. Для теории в калибровке светового конуса она пропорциональна р+, для BRST равна к. Как мы увидим, геометрическая теория отталкивается от физической инвариантной длины L, измеряемой в сантиметрах.) Мы построим теорию на тензорах, инвариантных относительно вышеприведенного закона преобразования, что позволит изменять параметризационную длину в

любой момент.

Струнная группа

Далее в рамках объединенной струнной группы мы хотим обсудить вторую группу симметрии, образованную взаимодействующими струнами. Определим триплет как набор из трех ориентированных физических струн (с произвольными параметризационными длинами) С19 С2

и С3, которые можно расположить как на рис. 8.1. Скажем, что две струны сопряжены друг другу, если они входят в один триплет.

(Заметим, что струна имеет бесконечный ряд сопряженных. Сопряжение струны С будем обозначать С.) Тогда струнная группа есть совокуп-

ность преобразования С во все ее сопряжения, т. е. SG: С-> С.

Эти две группы, репараметризационная и струнная, в свою очереД6

могут быть объединены в один принцип.

Мы определяем универсальную струнную группу как группу, котор** отображает струну С в себя и во все ее сопряжения:

I с - > с .

При обобщении этой бозонной группы, связанном с включением