Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

§ 7.3. ФИКСАЦИЯ КАЛИБРОВКИ

Покажем, что в предыдущем действии калибровка может быть фиксирована таким образом, что при этом получится или действие (7.2.11), или действие в калибровке светового конуса (6.3.33). Ддя фиксации калибровки иногда полезно разложить оператор Q в соответствии с его нулевыми модами:

а /-структурные константы алгебры Вирасоро. Так как оператор Q нильпотентен, эти операторы должны удовлетворять большому числу простых тождеств:

Процесс сведения этого действия к обычному начинается с определения

Этот оператор подсчитывает число с-мод за вычетом числа &-мод. М11 можем использовать его для нумерации собственных состояний. Поскольку и Ь-, и с-духи имеют нулевые моды, вакуум духового пол*

Фаддеева-Попова совершенно отличается от обычного единственного вакуума для afm Духовый вакуум (как мы видели в гл. 4) на самом ДР

вырожден и может иметь духовые числа, равные или 1/2, или — " ' Определим два вакуума:

В общем случае написанные выше выражения допускают представление в компонентах. Всегда можно разложить полевой функционал по

духовым модам: 00

Здесь индексы антисимметричны друг другу благодаря антикоммутационным соотношениям между духами. Это позволяет написать

М-антисимметризованных полей с и Ь. Это значит, что можно ввести «формы», определенные на антикоммутирующих переменных, тем же самым способом, каким дифференциальные формы вводятся через антикоммутирующие dxц [10].

Теперь мы имеем аппарат, необходимый для выполнения фиксации

Уничтожает половину полей в | Ч*), что соответствует ф = 0 в (7.3.6). •Чалее вычисляем детерминант Фаддеева-Попова, возникающий из

? <Л|- 2-форма. Странная особенность этого духового действия ^^очается в том, что оно в свою очередь обладает своей собственной ^^ибровочной инвариантностью:

Следовательно, духовое действие требует еще одного детерминанта Фаддеева-Попова (иначе функциональное интегрирование по духовым полям неограниченно). Следующий духовый член, обусловленный детерминантом Фаддеева-Попова для духового поля, есть

Но это действие опять имеет свою собственную калибровочную симметрию, которая вновь требует своего собственного калибровочного члена Фаддеева-Попова, и т.д. Ясно, что получается бесконечная башня «духов духов» [10, 12]. Это неизбежная ситуация, потому что каждый детерминант Фаддеева-Попова необходим для уничтожения расходимостей, производимых предшествующим рядом духовых полей.

К счастью, этот ряд возможно просуммировать. Если начать с действия (7.2.13), имеющего единственное духовое число — 1/2, и затем добавить к нему эту бесконечную башню духовых действий, то мы просто восстанавливаем действие (7.2.11), которое представляет сумму по всем возможным духовым числам. Следовательно, (7.2.11)-это вариант (7.2.13) с фиксированной калибровкой. Другими словами, струнный функционал с духовым числом — 1/2 добавлением духов духов был преобразован в струнный функционал произвольного духового числа.

Подобным образом калибровочные степени свободы в (7.2.13) можно использовать для вывода теории в калибровке светового конуса [25]. Здесь, однако, имеется проблема, состоящая в необходимости явно обращаться к уравнениям движения определенных полей для уничтожения других.

Таким образом, только «массовая поверхность» позволяет перейти

врамках формализма BRST к теории в калибровке светового конуса.

Вэтом состоит его ограниченность. Однако в геометрическом формализме мы имеем достаточную калибровочную симметрию для того, чтобы получить теорию в калибровке светового конуса вне массовой поверхности, устраняя лишние продольные моды в действии.

Чтобы перейти к калибровке светового конуса, заметим, что нежелательные состояния, которые должны быть устранены при фиксации калибровки, можно представить как произведение всех состояний вида

Номер уровня такого состояния дается суммой номеров уровней каждой

Можно убедиться, что эти нежелательные состояния у с т р а н я ю т с я пс£ средством множества механизмов. Например, для наинизших с о с т о я н и и п+ = и_ = 0 , 1 находим:

I.з

Рис. 7.2. Конформная поверхность струнной полевой теории BRST. Эту конформную поверхность можно представить, либо выбирая шесть зарядов и размещая их на диаграмме так, чтобы смоделировать поверхность с тремя зарядами, либо проводя на поверхности римановский разрез.

где

Как в (6.5.2), для того чтобы построить вершину в осцилляторной форме, мы должны найти конформное преобразование, которое переводит верхнюю полуплоскость в изучаемую струнную конфигурацию [26-32]. К сожалению, конформного преобразования трех зарядов в верхнюю полуплоскость (без разрезов) для BRST-вершины не существует, потому что сумма зарядов обычно берется равной нулю, в то время как здесь сумма трех зарядов для симметричной конфигурации должна равняться 3. Решение заключается в построении электростатики шести зарядов, сумма которых равна нулю, и определении границ для того, чтобы смоделировать присутствие трех зарядов. Это требует

разрезания и сшивания нескольких областей комплексной плоскости. Отображение имеет вид (см. рис. 7.2)

—л/*/2.

X'nsm=rn(Nrnsm-N'n£ + 3).

Окончательная вершина представляет собой произведение этих двух вершин, определяемых в двух совершенно различных пространствах:

\V123) = \V123yx\V123\h.

Посредством длительных вычислений можно показать, что эта вершина удовлетворяет условию BRST-инвариантности [29]:

Имеется несколько различных способов представления этой вершины. Во-первых, из комформной полевой теории нам известно, что систему антикоммутирующих духов Ь и с можно бозонизировать посредством скалярного поля, которое мы обозначим через ф. Тогда новая духовая вершина запишется как

(Несколько удивляет в этой бозонизированной вершине присутствие вставки в средней точке. Такой член не портит локальность по а, поскольку он появляется только в точке я/2. Более того, он обеспечивает для символа умножения * правильное духовое число + 3/2. Так как духовое число калибровочного параметра Л равно — 3/2, то символ * должен иметь духовое число 3/2, чтобы произведение двух калибровочных параметров А12 давало третий калибровочный параметр Л3 с тем же духовым числом.)

Существует еще один способ вычисления симметричной вершины, который основан на использовании конформных отображений с римано-

выми разрезами (вместо сращивания различных областей комплексной плоскости). Рассмотрим конформное отображение

Отображение имеет обычные сингулярности в точках z = 0, 1 0 (соответствующие трем входящим и выходящим струнам на ± Однако новым моментом является наличие у этого отображения явН риманова разреза, создающего многолистную р-плоскость. Этот ра ™

Рис. 7.3.

в точности то, что нужно для построения в р-плоскости поверхности,

описывающей симметричное столкновение трех струн. Он располагается вертикально от 1/2 — /х /з/2 в нижней полуплоскости до 1/2 + iy/l/2 в верхней полуплоскости. Структуру многолистной плоскости р можно

понять, проследив движение вдоль вещественной оси на рис. 7.3.

Если начать с точки z = + оо на положительной вещественной оси г и двигаться влево, то константу к можно выбрать так, что мы при этом

пройдем аналогичный путь, пролегающий вдоль вещественной оси Р в отрицательную бесконечность. Дойдя до точки z = 1 (точка В), мы

Достигаем отрицательной бесконечности на вещественной оси. При

Плоскости z соответствует горизонтальное движение вправо от С к D до тех пор, пока мы не достигнем оси у в точке р = /тс. Теперь, двигаясь

(на следующем римановском листе). Перепрыгивая через z = О, сдвигаемся вертикально вверх на in в отрицательной вещественной ^онечности. Наконец, движение O T Z = 0 K Z = — ОО означает движе-

сР = /тс — оо к р = in + оо (от Я к /).

фУнкции Неймана можно также вывести непосредственно из отоб- *№ия (7.4.17). Этот альтернативный подход к вершинной функции вставлен в [30-32].

^7*7

§ 7.5. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА

Если середина параметризационного отрезка струны выбирается как выделенная точка, то становится возможным определить замкнутую алгебру струнных полевых функционалов. Струна, представленная может быть соединена со струной | В ) так, что их средние параметриза' ционные точки точно совпадают. Производя спаривания осцилляторных состояний этих двух струн, мы получаем еще одну струну той же длины Тем самым определена операция, подобная умножению. Например абстрактное обозначение

и получили струну, определенную по третьим гармоническим осцилляторам. Так как все струны имеют одинаковые параметризационные длины, правило умножения приводит к замкнутой алгебре, если средняя точка параметризационного отрезка выбирается как выделенная точка, т. е. произведение двух струн длины единица равно другой струне единичной длины. Это в свою очередь позволяет нам определить калибровочное преобразование полевого функционала следующим образом:

Следовательно, если мы можем определить операцию, называемую «интегрированием», которая сохраняет

(где для грассмановых нечетных форм используется знак а н т и к о м м у т а - ции), то сразу находим два инварианта-поверхностный член и самодействие:

f f * F = поверхностный член,