Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

190 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца - Муди

Хотя теперь наша цель достигнута, мы еще не выбрались из чащц Мы упоминали выше в предыдущем параграфе, что существует одц^ трудность с бесконечным бозонным морем. Оказывается, что есл# подставить эту фермионную вершинную функцию в матричный элемент бозонной матрицы рассеяния, то мы получим 0:

Что нам нужно-это, конечно, вершинная функция с духовым зарядов + 1/2, который мог бы сократиться с зарядом —1/2, происходящим изфермионной вершинной функции. Эта новая вершинная функция Vl{l должна антикоммутировать с BRST-зарядом с точностью до членов обращающихся в нуль на массовой поверхности. Легко показать, что любая вершинная функция

при произвольном Ф дает обращающееся в нуль антикоммутационное соотношение с BRST-зарядом, поскольку Q нильпотентен. Однако все такие функции шпурионные. Эти состояния нулевые и не взаимодействуют с физическими состояниями | R ), которые удовлетворяют соотношениям

так что их нельзя использовать как вершинные функции. Они просто дают нулевые матричные элементы с физическим сектором теории. Однако есть одна вершинная функция, для которой это рассуждение неприменимо:

В нормальной ситуации следовало бы ожидать, что такая вершинная функция также является шпурионной и не взаимодействует с физическими состояниями системы. Однако £ К1/2, как мы указывали ранее, не является частью неприводимого фоковского пространства теории, и поэтому мы не можем просто сказать, что коммутатор обращается в нуль при сокращении с физическими состояниями. Эта вершинная функция необязательно обращается в нуль, поскольку

Именно такой оказывается правильная фермионная вершинная функЦй*'

проблемой. Теперь у нас оказывается слишком много возможны* вершинных функций! Например, мы могли бы также написать

фактически существует бесконечно много таких вершинных функций, каждая из которых связана со своим, неэквивалентным другим, бозонgjiM морем вакуума. Конечно, такое изобилие вызывает смущение. Однако можно показать, что нам достаточно использовать лишь ¥ц2 0 У-1/2» а в с е Другие вершинные функции не дадут каких-либо новых ^Тричных элементов. Мы хотим показать, что справедливо следующее тождество:

Доказательство того, что мы можем просто заменять произвольным образом духовые индексы —1/2 на +1/2 или наоборот у вершинных функций, включает довольно тонкие рассуждения, позволяющие переходить от неприводимого малого фоковского пространства (которое не включает нулевой моды поля £) к приводимому большому фоковскому пространству (которое эту моду включает) и обратно.

Начнем с того, что перепишем вершинную функцию Vi/2 в эквивалентной форме:

Заметим, что теперь эта функция записана в большом фоковском пространстве, так что необходимо подставить другую £(z), чтобы переопределить вакуум и получить ненулевой матричный элемент. Однако поскольку положение £(z) несущественно (так как нам нужна лишь ее нулевая мода), то можно переписать матричный элемент в виде

Пока что ничего существенного не сделано. Мы просто перешли от Малого фоковского пространства, в котором нулевая мода поля s отсутствует, к большому фоковскому пространству, в котором она есть> но матричный элемент остался в точности тем же.

Сделаем теперь следующее наблюдение. Интеграл по контуру, ЛРУЖающему z2, можно менять произвольно, так что деформируем ^^"янем) этот контур так, что он обойдет сзади риманову поверхность и окружит точку z1. Конечно, при растяжении контура он будет ^^екать другие бозонные вершины, но заметим, что yBRST коммуРУет со всеми этими вершинами на массовой поверхности, так что мы

192 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца - Муди

можем передвигать и контур, и ток 7Brst произвольным образом, noj^ они не окружат zv

Заметим, что контур интегрирования теперь окружает точку £ V_1/2 которую можно записать как К+1/2. Итак, мы полностью обратили положение контура интегрирования, и теперь мы можем устранить все £ и вернуться к малому фоковскому пространству. Символически эти шаги можно изобразить так:

Цель этого упражнения-показать, что можно успешно поменять местами 4-1/2 и —1/2 в выражении для матричного элемента. Это означает, что хотя фермионных вершинных функций бесконечно много, все они дают один и тот же матричный элемент на массовой поверхности.

§ 4.6. СПИНОРЫ И ДЕРЕВЬЯ

Чтобы вычислить древесные амплитуды, необходимо построить явное представление спиновых полей через (NS- ^-операторы. Хотя эти поля в формализме Грина-Шварца были сильно взаимодействующими операторами, в конформной теории поля (и это большое ее преимущество) взаимодействующее спиновое поле действительно может быть выражено через свободные поля, что позволяет вычислять корреляционные функции в явном виде.

Мы построим спиновое поле из генераторов 80(10)-алгебры, которые в свою очередь составлены из v|/(z). 80(10)-алгебра- это алгебра Ли ранга 5 (см. Приложение). Это значит, что из 10(10-1)/2 = 45 генераторов 80(10)-алгебры 5 взаимно коммутируют, образуя подалгебру Картана. Коммутационные соотношения между этими пятью коммутирующими генераторами и 40 некоммутирующими элементами суть

Последнее тождество справедливо, если £ а + р есть повышающий илй понижающий оператор. Каждое а - это корневой вектор группы so(io). Компоненты s суть структурные константы группы, подчиняющиеся различным условиям симметрии и ассоциативности.

Теперь введем пять взаимно коммутирующих полей фj и выразДО* через них 45 генераторов 80(10)-алгебры. Можно представить пять взаимно коммутирующих элементов 80(10)-алгебры в виде

да вычисления, как и другие, включающие N-точечные амплитуды оаСсеяния фермионов, не столь трудны в рамках конформной теории доля [9, 10], но были бы чрезвычайно трудны в прежних ковариантных

формализмах N S - R и GS.

§ 4.7. АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ

Хотя конформная теория поля дает мощные результаты, начинающему различные правила и соглашения могут показаться слишком произвольными и случайными. На первый взгляд создается впечатление, до конформная теория поля основана на хитроумных трюках и совпадениях, а не на чем-то фундаментальном.

На самом деле последовательность и элегантность конформной теории поля связана с новыми бесконечномерными алгебрами Ли,

называемыми алгебрами Каца-Муди [11-22], которые являются мощ- ными обобщениями обычных конечномерных алгебр Ли. Они были открыты математиками В. Г. Кацем и Р. В. Муди в 1967 г., хотя одна

разновидность таких алгебр была уже известна физикам в середине 60-х годов под названием алгебр токов. Вместе с суперконформной дву- мерной группой 80(10)-алгебра Каца-Муди обеспечивает математи- ческую основу конформной теории поля. Фактически многие матричные элементы в конформной теории поля можно рассматривать как коэф- фициенты Клебша-Гордона в алгебрах Каца-Муди.

Определим алгебру Каца-Муди как обобщение обычной алгебры Ли,

Эта алгебра очень похожа на обычную алгебру Ли, за исключением бесконечного целочисленного индекса т у каждого генератора и константы к, называемой уровнем. Нулевая компонента генераторов Г есть не что иное, как алгебра конечной алгебры Ли. Часто будет

Удобно переписать генераторы алгебры Каца-Муди как фурье-ком- ионенты одной функции, определенной на окружности:

Затем введем базисные векторы решетки нашей алгебры Ли, такие, что

gf(0) = :е|ф'(0): ct.

Здесь с,-уже знакомые коциклы, введенные в (4.6.5) с целью получить коммутационные соотношения с правильными знаками. Для них возможны многочисленные представления, одно из которых

Поскольку элементы с индексами / и j коммутируют, то Н суть обобщения подалгебры Картана, т.е. набор взаимно коммутирующих элементов алгебры Ли.

Вычислим теперь коммутатор этих генераторов. Весьма похожим на то, что мы делали выше, способом находим, что произведение двух

Теперь у нас есть все тождества, необходимые для вычисления коММУ* татора для всех генераторов. Прямым вычислением находим

Заметим, что Н взаимно коммутируют, как и в обычной алгебре JТГй

что а* СУТЬ собственные значения для Н. Остальные коммутаторы для

л4 есть решетка корней.) Итак, мы видим, что коммутаторы алгебры Када-Муди очень похожи на обычные коммутаторы алгебры Ли, с тем единственным отличием, что генераторы «размазаны» по окружности.

Очень важно также заметить, что возможно полупрямое произведение алгебры Вирасоро и алгебры Каца-Муди. Коммутаторы суть

В зависимости от того, какое представление этой алгебры мы выберем, можно получить связь между уровнем к алгебры Каца-Муди и

центральным элементом с алгебры Вирасоро. Одно из замечательных свойств алгебры Каца-Муди-то, что можно построить представление алгебры Вирасоро, целиком выраженное через формализм алгебры Каца-Муди. Запишем генераторы алгебры Вирасоро, размазанные по окружности:

Такая запись называется формой Сугавары.

У нас есть все необходимые тождества для вычисления коммутатора ™их выражений, и мы находим

СЦе), ц е')] = 2яй'(е - e')(L(0) + W ) )

где

Я » .

(4.7.17)

r = - d

'воследних формулах (/-размерность группы, a c2(G)~ значение квад-

198 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца - Муди

ратичного оператора Казимира для присоединенного представления Последний коммутатор дает полупрямое произведение алгебр

расоро и Каца-Муди:

Приведем вычисленные значения центрального заряда для некоторые групп:

сГруппа

п+ \ SO(2 п + 1)

пSO(2«)

пЕп

п(2п + 1)

На основе подхода алгебр КацаМуди заново рассмотрим конформную теорию поля, интерпретируя результаты этой теории с теоретико-груп- повой точки зрения. Мы видим, что спиновые поля, определенные формулой (4.6.13), преобразуются под действием алгебры Каца-Муди как 32-компонентный спинор. Аналогично, антикоммутирующие векторные поля NS-модели, определенные формулой (4.6.10), преобразуются под действием 80(10)-алгебры Каца-Муди как 10-компонентные векторы. Можно также рассматривать тензор энергии-импульса (4.3.5) как форму Сугавары представления алгебры Вирасоро посредством 80(10)-алгебры Каца-Муди. Кроме того, духи Ъ, с, (3, у конформной теории поля можно считать представлениями суперконформной группы с разными значениями центрального элемента, приведенными в таблице (4.4.43). Наконец, мы можем также рассматривать корреляционные функции, служащие ядром конформной теории поля, как коэффициенты Клебша-Гордона, найденные при разных тензорных произведениях разных представлений 80(10)-алгебры Каца-Муди, связанной с суперконформной группой.

§ 4.8. СУПЕРСИММЕТРИЯ

Теперь, наконец, можно построить оператор суперсимметрии этой теории, позволяющий переходить от бозонного к фермионному сектору и обратно. Поскольку конформный вес V±l/2 равен 1, то интеграл от этой вершинной функции инвариантен относительно конформной грУп' пы преобразований. Поэтому если взять к = 0, то получится оператор

суперсимметрии

доя знаки « + » или « —» для фермионной вершинной функции, находим

jjg операторы действительно обладают свойством превращать фер- деояный сектор в бозонный и наоборот:

[Qa, к, z)] = Ff (и* = ik^ (yja, к, Z).

Снова, однако, мы сталкиваемся с проблемой наличия бесконечного дауи таких операторов суперсимметрии, связывающих друг с другом различные неэквивалентные бозонные моря. Однако, согласно приведенным выше соображениям, нам не нужно об этом беспокоиться. Хотя существует бесконечно много неэквивалентных бозонных вакуумов, матричные элементы для этих состояний совпадают.

§ 4.9. РЕЗЮМЕ

Крупное преимущество суперконформной теории поля состоит в том, что она сочетает лучшие черты моделей NS-R и GS. Она явно

ковариантна, целиком построена на свободных полях, обладает ковариантным суперсимметричным генератором, имеет спиновые поля свесом 5/8, фермионные вершинные функции с весом 1, и с ней легко работать.

У конформной теории поля есть, однако, два недостатка. Во-первых, нам приходится тщательно следить за многочисленными бозонизированными духами. К счастью, эти духи являются свободными полями и Действуют в других гильбертовых пространствах. Во-вторых, у нас имеется бесконечно много «картин». К счастью, итоговая S-матрица не зависит от выбора «картины».

Сущность конформной теории поля состоит в том, что мы можем вычислить корреляционные функции различных полей, зная лишь их доведение на коротких расстояниях и то, как они преобразуются. Например, корреляционная функция

(eikXIW)E-IKX{Z)Y^{w_zrk2

Иоэкет быть вычислена, есди мы знаем поведение двух струнных полей. Одно из достижений конформной теории поля-построение фер- ^онной вершинной функции с конформным весом 1. Эта функция *ависит от спинового поля Sa, которое должно преобразовываться как

стоящий спинор под действием лоренцевой группы SO (10):