Пример 2.11. Вычислить lim |
|
|
. |
|
|
||
x→−1 x3 + x2 − x −1 |
|||
Решение. Проверкой убеждаемся, что |
x = −1 является корнем обоих |
||
многочленов, и раскладываем числитель и знаменатель на множители. Сокращение общего множителя (x +1) сразу уничтожает неопределенность:
lim |
x3 |
+ x + 2 |
0 |
|
|
lim |
(x +1)(x2 − x + 2) |
= lim |
(x2 − x + 2) |
= |
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
||||
|
|
|
(x +1)2 (x −1) |
(x +1)(x −1) |
|||||||
x→−1 x3 + x2 − x −1 |
0 |
|
|
x→−1 |
x→−1 |
|
|||||
=4 = +∞.0
Число x = −1 является простым корнем числителя и корнем знаменателя кратности 2.
|
Пример 2.12. Вычислить |
lim |
x2 −6x +9 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x→3 x3 −9x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. Рассуждаем так же, как и в предыдущих задачах: |
|
|||||||||||||
|
x2 −6x +9 |
0 |
|
|
|
(x −3)2 |
|
|
|
(x −3) |
0 |
|
= 0 . |
||
lim |
|
= |
|
= lim |
|
|
|
= |
lim |
|
= |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→3 x3 −9x |
0 |
x→3 x(x −3)(x +3) |
|
x→3 x(x +3) |
18 |
|
|
||||||||
Число x =3 является корнем числителя кратности 2 и простым корнем
знаменателя.
Обобщим результаты, полученные в примерах 2.10 – 2.12: пусть число x0 является корнем многочлена P(x) кратности p и корнем многочлена
Q(x) кратности q , тогда
lim P(x)
x→x0 Q(x)
0 |
|
|
числу, о тличн о м у о т н уля, если p = q; |
|
= |
|
∞, åñëè p < q; |
||
= |
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, åñëè p > q. |
|
|
|
|
|
2.3.Предел функций, содержащих иррациональные выражения
Пример 2.13. Вычислить |
|
|
|
lim |
x2 + 4x +5 − x . |
||
|
x→±∞ |
|
|
Решение. Так как lim |
x2 + 4x +5 = +∞ |
(пример 2.5), то исходный |
|
x→±∞ |
|
|
|
предел будет зависеть от того, куда стремится переменная x . Пусть сначала x → −∞. Тогда по правилу +∞ +∞ = +∞ сразу находим:
18
|
|
x2 + |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
lim |
|
4x +5 − x |
|
= +∞− |
|
−∞ |
|
= +∞+∞ |
= +∞. |
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же |
x →+∞, то имеет место неопределенность +∞−(+∞). Умно- |
||||||||
жим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное к
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нему |
|
+ 4x +5 + x . Затем в числителе полученной дроби воспользуемся |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
формулой |
разности |
|
квадратов |
|
|
(a −b)(a +b)= a2 −b2 , полагая в ней |
|||||||||||||||||||||||||||
a = x2 + 4x +5, b = x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x |
+5 − x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 4x +5 − x = |
|
|
|
|
|
x2 + 4x +5 + x |
|||||||||||||||||||||
lim |
|
x2 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x +5 + x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
(x2 + 4x +5)− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
4x +5 |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
+ 4x + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→+∞ |
4x +5 + x |
|
|
5 + x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Числитель и знаменатель последней дроби – бесконечно большие функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ции, таким образом, |
переходим от неопределенности +∞ −(+∞) к неопреде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ленности |
∞ , которая раскрывается вынесением из числителя и из знаменате- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ля переменной в наивысшей степени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 + 4 + |
5 |
|
+ x |
|
|||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
+ 4x +5 + x |
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→+∞ |
x |
1 + |
4 + |
5 |
+ x |
|
x→+∞ x |
1 + 4 + 5 |
+1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
4 + x |
|
|
|
= |
|
|
4 +0 |
|
|
|
= |
4 |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→+∞ |
|
4 |
+ |
5 |
+1 |
|
|
|
1 +0 +0 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19
Ответ: |
lim |
|
x2 |
|
+∞, x → −∞; |
|
|
+ 4x +5 − x |
= |
2, x → +∞. |
|||
|
x→±∞ |
|
|
|
||
Пример 2.14. Вычислить lim |
x2 +1 −1 |
. |
|
x2 |
|
||
x→0 |
+16 −4 |
|
|
Решение. В данном случае предел числителя и предел знаменателя равны нулю. Домножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+1 |
|
x2 |
|
|
|
x2 |
+16 |
+ 4 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
+1 −1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
+1 +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
= |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→0 |
|
x |
+16 −4 |
0 |
x→0 |
|
x |
+16 |
|
x |
+16 + 4 |
x |
+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 + |
1) |
− |
|
|
|
|
|
|
x2 +16 + |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +16 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||
(x |
2 |
|
|
+16)−16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
x2 +1 + |
|
|
|
x→0 x |
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= lim |
|
|
|
x2 +16 + 4 |
|
= |
|
16 + 4 |
|
= 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 +1 +1 |
|
|
1 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пример 2.15. Вычислить I = lim |
3 2x −1 − 3 3x −2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Прием умножения на сопряженное выражение не пригоден для вычисления этого предела. С целью уничтожения иррациональности в числи-
теле воспользуемся формулой (a −b)(a2 + ab +b2 )= a3 −b3 . Положим:
a = 3 2x −1 , b = 3 3x −2 . Чтобы получить в числителе разность кубов, надо его умножить на выражение 3 (2x −1)2 + 3 2x −1 3 3x −2 + 3 (3x −2)2 . Умножив числитель и знаменатель на эту величину, получим:
|
|
(3 2x |
−1 − 3 3x −2 ) 3 (2x −1)2 + 3 |
2x −1 3 |
3x − 2 |
+ 3 (3x −2)2 |
|
||
I = lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(x −1) 3 |
(2x −1)2 + 3 2x −1 3 3x −2 |
+ 3 (3x −2)2 |
||||||
x→1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
(2x −1) −(3x −2) |
|
|
|
= |
|
|
3 (2x −1)2 + 3 2x −1 3 3x −2 + 3 (3x − 2)2 |
|
|||||||
x→1 (x −1) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
= lim |
|
|
|
−x +1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→1 (x −1) 3 |
(2x −1)2 |
+ 3 2x −1 3 3x −2 + 3 (3x − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
−1 |
|
= |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
= −1 . |
||
|
|
2 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|||
→ |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|||||||
(2x −1) + 3 2x −1 3 3x −2 + 3 (3x −2) |
|
|
|
1 |
+ |
1 |
|
1 |
+ |
|
1 |
|||||||
x 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.4.Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции
При решении практических задач используются замечательные пределы
[1, с. 123, 124]:
|
|
|
|
|
|
lim sin x |
=1 – первый замечательный предел; |
(2.8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 + x)x = e – второй замечательный предел. |
(2.9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечательные пределы позволяют установить ряд полезных предель- |
|||||||||||||||
ных соотношений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
lim |
tg x |
=1; |
2) |
lim 1 −cos x = |
1 ; |
3) lim |
arcsin x =1; |
|||||||||
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
x→0 |
x2 |
|
|
2 |
x→0 |
x |
|
|
||
4) |
lim |
arc tg x |
=1; |
5) |
lim |
ln (1 + x) |
= 0 ; |
6) lim |
ex −1 |
=1 |
; |
||||||
x |
|
|
x |
|
x |
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|||||
7) |
lim |
ax −1 |
= ln a ; |
8) |
lim |
(1 + x)m −1 |
= m, m > 0 . |
|
|
|
|||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пример 2.16. Вычислить |
lim |
sin 2x . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
tg 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Сначала найдем предел |
|
lim |
sin 2x . Для решения предложен- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
2x |
|
|
|
|
ной задачи сделаем замену y = 2x . Новая переменная |
y →0 , |
когда x →0 . |
|||||||||||||||
Тогда в силу первого замечательного предела имеем: |
|
|
|
||||||||||||||
lim |
sin 2x = 0 =[y |
= 2x, y →0]= lim |
sin y |
=1. |
|
|
|
||||||||||
x→0 |
2x |
0 |
|
|
|
|
y→0 |
|
y |
|
|
|
|
||||
Рассуждая аналогичным образом, и учитывая, что lim tg x =1, находим:
x→0 x
21
lim |
tg 3x |
= 0 |
=[y =3x, y →0]= lim |
tg y |
=1. |
x→0 |
3x |
0 |
y→0 |
y |
|
В числителе исходной дроби выделим выражение sin2x2x , а в знаменате-
ле выражение tg33xx и применим формулы (2.3), (2.4). Тогда
|
sin 2x |
|
0 |
|
|
|
2 |
sin 2x |
|
2 lim |
sin 2x |
|
2 |
|
|
||
lim |
= |
= |
lim |
|
2x |
= |
|
x→0 |
2x |
= |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 tg 3x |
|
|
x→0 3 tg 3x |
|
3 lim |
tg 3x |
|
3 |
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
x→0 |
3x |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
y = f (x) |
и |
y = g(x) |
есть бесконечно малые |
функции при |
||||||||||
x → a, a |
|
, т. е. |
lim |
f (x) = 0 |
и |
lim g(x) = 0 . Функции f (x) |
и g(x) назы- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
ваются эквивалентными бесконечно малыми при x → a , если lim f (x) =1.
x→a g(x)
Обозначается это так: f (x) g(x) .
Используя формулу (2.8) и предельные соотношения 1 – 8, составим таблицу важнейших эквивалентных бесконечно малых функций при x →0 .
sin x x |
1 −cos x |
x2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
tg x x |
ln (1 + x) x |
||
arcsin x x |
ex −1 x, ax −1 xln a |
||
arctg x x |
(1 + x)m −1 mx |
||
Замечание. В качестве аргумента бесконечно малых функций в таблице эквивалентностей может выступать не только x →0 , но и любая величина
α(x) →0 при x →a .
Поясним сказанное на примерах.
Пример 2.17. Найти бесконечно малые, эквивалентные функциям: 1) ex2 −1 при x →0 ; 2) sin 1x при x →∞; 3) ln (2x2 − x)при x →1.
Решение:
1. Выражение α(x) = x2 →0 при x → 0 . Поэтому в роли бесконечно ма-
22
лого аргумента показательной функции из таблицы эквивалентностей высту-
пает величина x2 . Следовательно, (ex2 −1) x2 при x →0 .
2. Рассматриваемая функция действительно является бесконечно малой:
lim sin |
1 |
|
|
1 |
|
= 0 . Выражение α(x) |
= |
1 |
→0 |
при x →∞, сле- |
x |
=sin lim |
|
=sin 0 |
x |
||||||
x→∞ |
x→∞ x |
|
|
|
|
|
||||
довательно: sin 1 |
1 |
при x →∞. |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
3. Проверкой убеждаемся, что lim ln (2x2 − x)= ln1 = 0 . В аргументе ло- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→1 |
− x −1) |
|
||
гарифма |
выделим |
единицу: |
ln (2x2 − x)= ln (2x2 |
+1 . Выражение |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) = (2x2 − x −1) →0 при x →1. Тогда по таблице эквивалентностей име-
ем: ln (2x2 − x) 2x2 − x −1 при x →1.
Пример 2.18. Вычислить lim |
ln (2x2 − x) |
. |
|
||
x→1 ln (2x − x2 ) |
|
|
Решение. Подстановкой убеждаемся, что имеет место неопределенность
00 , для раскрытия которой применим следующее утверждение.
Теорема 2.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
И числитель, и знаменатель дроби – бесконечно малые. В примере 2.17 определена бесконечно малая, эквивалентная числителю:
ln (2x2 − x) 2x2 − x −1 при x →1. Рассуждая аналогичным образом, получа-
ем: |
ln(2x − x2 ) = ln (2x − x2 |
−1) +1 |
2x − x2 |
−1 |
при x →1. После замены |
|
|
|
|
|
|
числителя и знаменателя найденными эквивалентными бесконечно малыми, придем к пределу отношения двух многочленов:
|
ln (2x2 − x) |
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
− x −1 |
0 |
|
|
2(x −1) x + |
2 |
|
|||
lim |
|
= |
|
= lim |
|
|
= |
|
= lim |
|
|
= |
|
|
|
|
−(x −1)2 |
|
|
||||||||
x→1 ln (2x − x2 ) |
0 |
|
x→1 2x − x2 −1 |
0 |
|
x→1 |
|
|
|
||||
23
= lim |
(2x +1) |
= |
|
3 |
|
= ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−(x −1) |
0 |
|
|
|||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
||
Замечание. |
Предел lim |
sin 2x |
(пример 2.16) можно вычислить значи- |
|||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
tg 3x |
|
тельно быстрее, если заменить числитель и знаменатель эквивалентными им
бесконечно |
малыми. |
Так как sin 2x 2x , а tg 3x 3x при x →0 , то |
|||
lim |
sin 2x |
= lim |
2x = |
2 . |
|
x→0 |
tg 3x |
|
x→0 |
3x |
3 |
Согласно теореме 2.1, замена по таблице эквивалентностей разрешена в частном и произведении бесконечно малых функций, а вот в сумме или разности бесконечно малых функций она не законна. Однако некоторые пределы, содержащие сумму или разность бесконечно малых, можно вычислить, если перед тем, как осуществлять замену эквивалентными, воспользоваться теоремой о пределе суммы.
Пример 2.19. Вычислить lim |
ex2 |
−cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, сле- |
|||||||||||||||||
дующим образом: |
ex2 −cos x |
= |
ex2 − |
1 +1 −cos x |
= |
ex2 |
−1 |
+ |
1 −cos x |
. По таб- |
|||||||
x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|
x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
лице эквивалентностей: (e |
x2 |
−1) x |
2 |
и (1 −cos x) |
1 |
x |
2 |
при |
x →0 . Тогда, |
||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применив теорему о пределе суммы и заменив бесконечно малые эквивалентными уже в отношениях, получим:
lim e |
x2 |
−cos x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
−1 + lim |
1 −cos x = |
|||||||
|
|
|
0 |
|
= lim e |
|
−1 +1 −cos x = lim |
e |
|
||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
x→0 |
|
x2 |
x→0 |
x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
x→0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= lim |
x2 |
+ lim |
2 x |
|
|
=1 + 1 |
= |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→0 x2 |
|
x→0 x2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Но даже предварительное применение теоремы о пределе суммы или |
||||||||||||||||||||||||||
разности не гарантирует уничтожения неопределенности. Например, |
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
tg x −sin x |
= |
|
0 |
|
= lim |
tg x |
− |
sin x |
lim |
tg x |
− |
lim |
sin x |
= |
|
|||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
0 |
|
|
x3 |
= |
|
|
|
||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x3 |
x→0 x3 |
|
x→0 x3 |
|
|
||||||||||
24