Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Криволинейные интегралы - теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2021

Размер:

744.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

		21
1	1
1	1
		3
2
	2
	2


Рис. 2.26.	Рис. 2.27.
Рис. 2.26.

Двусвязная область	Трехсвязная область

Определение 2.5.

Связная область называется -связной ( ≥ 2) областью, если она ограничена простыми замкнутыми контурами, не пересекающимися друг с другом, причем ( − 1) контуров из них лежат внутри одного контура.

«Неодносвязность» области определяется наличием
«Неодносвязность» области определяется наличием
«дырок» внутри области ; причем эти «дырки» могут						1
«дырок» внутри области ; причем эти «дырки» могут
состоять даже из единственной точки. Например,						1
						1
круг с выколотым центром (рис. 2.28):
= {( , ) 2: 0 < 2 + 2 ≤ 1} - двусвязная область.
Односвязная область – это область «без дырок».
Формула Грина была получена для односвязных областей.						Рис. 2.28. Пример
Для многосвязных областей также справедлива формула						двусвязной области
Грина, но с некоторыми уточнениями.
Пусть - -связная область, ограниченная контурами , , …, . Введем
				1	2
обозначение: =			… . Рассмотрим интеграл:
	1	2
	( , ) + ( , ) = {… } + {… } + … +					{… }, где
			1	2
направление обхода по каждому контуру ,				= 1 ÷ – выбирается положительным, т.е.

таким, при котором ближайшая часть области остается слева от направления движения. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.8 (формула Грина для многосвязных областей).

Пусть - -связная область, ограниченная контурами 1, 2, …, .

Пусть функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области и в этой области существуют и

непрерывны частные производные

. Тогда справедлива формула Грина:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )}

, где

… .

Доказательство.

Докажем эту формулу для случая двусвязной области (рис. 2.29); в общем случае доказательство проводится аналогично. Выберем на внешнем контуре 1 точки 1, 2, а

на внутреннем контуре 2 - точки 1, 2. Соединим точки															1	и 1, 2 и 2 дугами		̆
на внутреннем контуре 2 - точки 1, 2. Соединим точки															1	и 1, 2 и 2 дугами		1 1
и	̆													= 1			2.
и	2 2. Область при этом разбивается на две области:													= 1			2.
	Область ограничена контуром ′									= ( ),							область ограничена
		1							1	2	1	1	1	2	2	2	2
контуром ′		= ( )							(рис. 2.29). Области						и - односвязные, значит к
	2	1	1	2	2	2	1	1						1		2

ним можно применить формулу Грина:

′1 ( + ) = 1 ( − ) ,′2 ( + ) = 2 ( − ) .

Применяя свойство аддитивности двойного и криволинейного интеграла, получим:

( − ) =

=1 ( − ) + 2 ( − ) =

=′1 ( + ) + ′2 ( + ) =

= ′1 ′2( + ).

Преобразуем контур ′1 ′2:

′1 ′2 = 1 2 ̆1 1 ̆2 2 ̆1 1 ̆2 2

	1
	1	1
		1
1
	2	1
	2	2
		2
1		2
2	2
2
1		2

Рис. 2.29. Иллюстрация к

доказательству теоремы 2.8

= ̆1 1 ̆1 1 ̆2 2 ̆2 2.

Далее используем свойства аддитивности и антисимметричности криволинейного

интеграла 2 рода. Интегралы по дугам	̆ ̆	̆ ̆	-
	1 1 и 1 1, а также	2 2 и 2 2

противоположны по значению, поэтому суммы интегралов по этим дугам равны нулю. В результате получим:

′ ′ ( + ) = ( + ) + ∫̆ ( + ) + ∫̆ ( + ) +
1 2					1 1		1 1
+ ∫̆	( + ) + ∫̆	( + ) = ( + ) + ∫̆						( + ) −
2 2	2 2						1 1
− ∫̆	( + ) + ∫̆	( + ) − ∫̆					( + ) =	+ .
1 1	2 2					2 2
	Окончательно имеем:		(	−		) = + .		Теорема доказана.
	Окончательно имеем:		(	−		) = + .		Теорема доказана.

2.6. Условия независимости криволинейного интеграла от пути

Важнейшим свойством криволинейного интеграла 2 рода является так называемое свойство «независимости» интеграла от пути интегрирования. Однако оно справедливо не для всех криволинейных интегралов. Выяснению условий, при которых это свойство выполняется, и посвящен этот параграф.

2.6.1. Понятие независимости интеграла от пути

Пусть даны функции ( , ) и ( , ), непрерывные в некоторой области 2. Область может быть ограниченной или неограниченной областью, в частности может и совпадать со всей плоскостью 2.

Для произвольных фиксированных точек , рассмотрим криволинейный интеграл 2 рода:

( ) = ∫ ( , ) + ( , )

вдоль простой кривой , соединяющей точки и (рис. 2.30).

Определение 2.6.

Если ( ) вдоль любой кривой , соединяющей точки и , принимает одно и то же значение, то говорят,

что криволинейный интеграл 2 рода не зависит

1

	2

Рис. 2.30. Иллюстрация к понятию

независимости интеграла от пути

от кривой, соединяющей точки и (а зависит только от самих точек и ):

		(1) = (2) 1, 2	,		̆	̆
					1 = ,	2 = (рис. 2.30).
		В этом случае криволинейный интеграл 2 рода может быть записан в виде:
∫	( , ) + ( , ) = ∫			( , ) + ( , ) = ∫ ( , ) + ( , ) .
		̆

		По форме записи это напоминает определенный интеграл, только вместо чисел
и		здесь стоят и - точки на плоскости.
Определение 2.7.
		Криволинейный интеграл 2 рода ( ) называется не зависящим от пути

интегрирования в области , если для любых точек , этот интеграл не зависит от кривой, соединяющей точки и .

	Наряду с интегралом ∫ ( , ) + ( , ) рассмотрим интеграл по
замкнутому контуру					( , ) + ( , ) .		Здесь - означает некоторую
переменную кривую, в первом случае - произвольную кривую, во втором случае -
замкнутую кривую.
Лемма 2.1.
	Пусть – произвольная область в 2. Тогда следующие утверждения
равносильны:
1)	Криволинейный интеграл 2 рода ∫					( , ) + ( , ) не зависит от пути
	интегрирования в области .
2)	Криволинейный интеграл 2 рода					( , ) + ( , ) по любому замкнутому
	контуру в области равен нулю.
Доказательство.
Доказательство.
1)	Пусть ∫ + не зависит от пути
интегрирования в области . Рассмотрим
интегрирования в области . Рассмотрим
произвольный контур = ( ) в области
(рис. 2.31). По свойствам аддитивности и
(рис. 2.31). По свойствам аддитивности и
антисимметричности имеем:

+ = ∫̆			+ + ∫̆ + =

= ∫̆ + −		∫̆ + .					Рис. 2.31. Иллюстрация к
							доказательству Леммы 2.1
	Так как интеграл не зависит от пути, то						доказательству Леммы 2.1
	Так как интеграл не зависит от пути, то
∫̆	+ = ∫̆				+

	+ = ∫̆			+ − ∫̆		+ = 0.

Значит, интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

2) Пусть	( , ) + ( , ) = 0	по любому замкнутому контуру в области .
Выбираем произвольные точки , и соединим их произвольными путями:
	̆	̆
	1 = , 2	= .

Надо доказать, что ∫ 1 + = ∫ 2 + .

Ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда кривые 1 и 2 не пересекаются, т.е. 1 ∩ 2 = . Тогда = ( ) - простой замкнутый контур и,

следовательно, имеем:		( , ) + ( , ) = 0. Вычислим разность интегралов:
∫	+ − ∫	+ = ∫̆	+ − ∫̆ + =
2	1
= ∫̆ + + ∫̆ + = ( , ) + ( , ) = 0. Получаем:

∫ 2 + − ∫ 1 + = 0, т.е. ∫ 1 + = ∫ 2 + для любых путей

1, 2, соединяющих точки , . Значит, интеграл не зависит от пути интегрирования. Лемма доказана.

2.6.2. Потенциальная вектор-функция

Введем следующее понятие.
Определение 2.8.
		( , )
Вектор-функция	( ) = (( , ))		называется потенциальной в области , если

существует такая функция ( , ), дифференцируемая в области , что ее полный дифференциал совпадает с подынтегральным выражением криволинейного интеграла:

( , ) = ( , ) + ( , )		( , ) .

При этом функция ( , ) называется «потенциалом» вектор-функции ( ) или
первообразной для выражения ( , ) + ( , ) .
Очевидно, что условие ( , ) = ( , ) + ( , )			( , ) -
равносильно системе дифференциальных уравнений в частных производных:
	= ( , )
{	= ( , )
{	( , ) .
	= ( , )
	= ( , )

Для выяснения условий независимости от пути криволинейного интеграла 2 рода ∫ ( , ) + ( , ) в области мы в дальнейшем будем предполагать, что:

-область - односвязная область;

-функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области и в этой области существуют и

непрерывны частные производные

( , ) и

( , ).

Замечание 2.5.

( , )

Если ( ) = (( , )) - потенциальная вектор-функция в области , то

выполняется равенство:

( , ) =

( , ) для всех точек ( , ) .

Действительно:

( , ) =

( ( , )) =

(

) =

(

) =

( ( , )) =

( , ).

Теорема 2.9.

Если криволинейный интеграл 2 рода: ∫

( , ) + ( , ) - не зависит от

( , )

пути интегрирования в области , то ( )

= (( , )) - потенциальная вектор-функция.

Доказательство.

Надо доказать существование функции ( , ), для которой выполняются условия:

		= ( , )
		= ( , )
{		( , ) .
		= ( , )
		= ( , )

Зафиксируем некоторую внутреннюю точку0(0, 0) . Для произвольной точки ( , )

и произвольной дуги ̆ , целиком лежащей в

области и соединяющей точки 0 и (рис. 2.32), составим криволинейный интеграл 2 рода:

∫̆ ( , ) + ( , ) .

Так как этот интеграл не зависит от пути, а зависит только от точки

(при фиксированной точке 0), то он является функцией точки ( , ), т.е. функцией двух переменных ( , ). Введем обозначение:

+ ∆

0
		+ ∆

Рис. 2.32. Иллюстрация к

доказательству Теоремы 2.9

( , ) = ∫

( , ) + ( , ) = ∫ ( , ) + ( , ) .

Докажем, что введенная таким образом функция ( , ) является искомой

функцией, т.е. для нее выполняются равенства:

= ( , ),

= ( , ).

Для удобства обозначим переменные интегрирования и новыми буквами и :

( , ) = ∫

( , ) + ( , ) =

∫ ( , ) + ( , ) .

По определению частных производных имеем:

∆

∆ → 0

∆

∆ → 0

∆

где ∆ , ∆ - частные приращения:

∆ = (1) − ( ) = ( + ∆ , ) − ( , ),

∆ = (2) − ( ) = ( , + ∆ ) − ( , ); здесь 1( + ∆ , ), 2( , + ∆ )

(рис. 2.32).

Преобразуем частное приращение ∆ :

∆ = (1) − ( ) = ∫ 1 ( , ) + ( , ) − ∫ ( , ) + ( , ) =

	0				0
= ∫ ( , ) + ( , ) + ∫ 1		( , ) + ( , ) − ∫ ( , ) + ( , ) =
0					0
= ∫ 1	( , ) + ( , ) .

	Так как интеграл ∫ 1{ ( , ) + ( , )} не зависит от пути, то в качестве дуги
			= =
̆			= =		}, параллельный оси ; тогда имеем:
1 можно взять отрезок [1] = {			+ ∆		}, параллельный оси ; тогда имеем:
			+ ∆
= 0 и ∆ = ∫ 1 ( , ) =		∫+∆ ( , ) .

	Преобразуем частное приращение ∆ :
∆ = (2) − ( ) = ∫ 2 ( , ) + ( , ) − ∫ ( , ) + ( , ) =
	0				0
= ∫ ( , ) + ( , ) + ∫ 2		( , ) + ( , ) − ∫ ( , ) + ( , ) =
0					0
= ∫ 2	( , ) + ( , ) .

	Так как интеграл ∫ 2 ( , ) + ( , )			не зависит от пути, то в качестве дуги

{

= =

}, параллельный оси ; тогда

2 можно взять отрезок [2] =

+ ∆

имеем: = 0 и ∆ = ∫ 2 ( , ) = ∫+∆ ( , ) .

Таким образом, частные приращения равны следующим значениям:

∆ = ∫+∆ ( , ) ,

∆ = ∫+∆

( , ).

По теореме о среднем для определенного интеграла имеем:

∫+∆ ( , ) = (

, )∙∆,

+ ∆;

ср.

∫+∆ ( , ) = ( ,

)∙∆,

+ ∆.

ср.

Из непрерывности функций ( , ) и ( , ) получаем:

∆

(

, ) = ( , ),

∆ → 0 ∆

∆ → 0

ср.

∆

( ,

) = ( , ).

∆ → 0

∆

∆ → 0

ср.

Доказано, что

= ( , ),

= ( , ). Следовательно, ( , ) - «потенциал», а

( ) - потенциальная вектор-функция в области .

Теорема доказана.

2.6.3. Условия независимости интеграла от пути

Предварительно докажем следующее утверждение.

Лемма 2.2.

Пусть выполнено равенство:

( , ) =

( , ) для ( , ) .

Тогда криволинейный интеграл 2 рода:

( , ) + ( , ) -

не зависит от пути интегрирования в области .

Доказательство.

Ввиду односвязности области любой

простой контур в ней ограничивает некоторую

Рис. 2.33. Иллюстрация

область , которая также является односвязной областью

к доказательству Леммы 2.2

(рис. 2.33).

По формуле Грина (для односвязной области) имеем:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )} = 0 = 0,

т.е. криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру в области равен нулю. Согласно Лемме 2.1 это означает, что криволинейный интеграл не зависит от пути

интегрирования в области . Лемма доказана.

Теперь можно перейти к основному утверждению данного параграфа. Теорема 2.10 (условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути).

Пусть - односвязная область, а функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области

и в этой области существуют и непрерывны частные производные

( , ) и ( , ).

Тогда следующие 4 утверждения равносильны:

( ): криволинейный интеграл 2 рода ∫ ( , ) + ( , ) не зависит от пути интегрирования в области .

( ): криволинейный интеграл 2 рода ( , ) + ( , ) по любому замкнутому контуру в области равен нулю.

(γ): ( ) = ( ( , )) - потенциальная вектор-функция в области .

( , )

( ):	( , ) =	( , )	для ( , ) .

Доказательство.

Выше были доказаны утверждения: ( ) ( ) - Лемма 2.1, ( ) (γ) - Теорема 2.9, (γ) ( ) - Замечание 2.6, ( ) ( ) - Лемма 2.2.

Имеем цепочку утверждений (импликаций): ( ) (γ) ( ) ( ), значит ( ) (γ) ( ). Следовательно, все эти 4 утверждения – действительно равносильны.

2.6.4. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница

Если криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути интегрирования, то его значение на кривой равно разности потенциалов в конечной и начальной точках кривой:

∫̆ ( , ) + ( , ) = ( ) − ( ),

где ( , ) - первообразная функция подынтегрального выражения (или потенциал вектор-функции).

					̆						= ( )
	Действительно, пусть				= - гладкая кривая:						{ = ( ), 1	≤ ≤ 2 и такая, что
(	) = ,	(	) = ,	(	) = ,	(	) = . Тогда имеем:
1		1		2		2
∫̆ ( , ) + ( , ) =					∫̆ ( , )		= ∫	2					=
∫̆ ( , ) + ( , ) =					∫̆ ( , )		= ∫			{ ( ( ), ( ))} = ( ( ), ( ))\| 2			=
							1					1
= ( ( ), ( )) − ( ( ), ( )) = ( ,									) − ( , ) = ( )			− ( ).
	2	2		1	1

Полученную формулу можно назвать обобщенной формулой Ньютона-Лейбница (по аналогии с известной формулой для определенного интеграла):

∫̆ ( , ) + ( , ) = ∫̆ ( , ) = ∫ ( , ) = ( , )| = ( ) − ( ) .

Алгоритм вычисления интеграла по обобщенной формуле Ньютона-Лейбница.

Чтобы вычислить криволинейный интеграл 2 рода: ∫̆ ( , ) + ( , ) - по обобщенной формуле Ньютона-Лейбница, необходимо выполнить следующие действия.

1. Убедиться в том, что криволинейный интеграл не зависит от пути, т.е. подынтегральная функция является полным дифференциалом. Для этого следует проверить равенство:

( , ) =	( , )	для ( , ) .

2. Найти первообразную функцию подынтегрального выражения (потенциал вектор-функции), т.е. составить и решить систему уравнений относительно ( , ):

{

= ( , )

3. Вычислить разность значений потенциала в конечной и начальной точках, т.е.

применить формулу: ∫̆ ( , ) + ( , ) = ( ) − ( ).

Пример 2.15.

Вычислить = ∫̆ (3 2 + 6 2) + (6 2 + 4 3) , где (1; 2), (−1, 1).

Решение.

1.Здесь ( , ) = 3 2 + 6 2, ( , ) = 6 2 + 4 3,

= (3 2 + 6 2)′ = 12 ,

= (6 2 + 4 3)′ = 12 ,

( , ) =

( , )

для ( , ) 2.

Следовательно, данный криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути.

= 3 2

+ 6 2

{

Составляем систему уравнений:

. Выберем одно из этих

= 6 2

+ 4 3

уравнений для его интегрирования, например, первое уравнение:
(	,	)	= ∫(3	2	+ 6	2)	=		3	+ 3	2	2	+	(	)
	,		= ∫(3		+ 6		=			+ 3			+		.
Подставим найденное значение ( , ) во второе уравнение:
( 3 + 3 2 2 + ( )) = 6 2 + ′								( ) = 6 2 + 4 3 ′ ( ) = 4 3								( ) = 4

( , ) = 3 + 3 2 2 + 4 - первообразная функция подынтегрального выражения.

3.= ( 3 + 3 2 2 + 4)| = (−1, 1) − (1; 2) = 3 − 29 = −26.

Ответ: = −26.

Понятие потенциальной вектор-функции легко обобщается на 3-хмерный случай. Рассмотрим криволинейный интеграл 2 рода вдоль пространственной кривой :

∫ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) .

Определение 2.9.

( , , )

Вектор-функция ( ) = ( ( , , )) - называется потенциальной в области( , , )

3, если существует дифференцируемая в области функция ( , , ) такая, что ее полный дифференциал равен подынтегральному выражению:

( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) ( , , ) .

При этом функция ( , , ) называется потенциалом вектор-функции ( ) или

первообразной для выражения ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) .

Очевидно, что условие: ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , )( , , ) - равносильно системе дифференциальных уравнений в частных

= ( , , )

производных: = ( , , ).

{ = ( , , )

Здесь также имеет место обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

∫̆ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) = ∫̆ ( , , ) = ∫ ( , , ) = = ( , , )| = ( ) − ( ) = ( , , ) − ( , , ).

Из этой формулы следует, что в случае потенциальной вектор-функции криволинейный интеграл 2 рода вдоль пространственной кривой также не зависит от пути, а зависит только от его начала и конца.

Общие условия независимости криволинейного интеграла 2 рода вдоль пространственной кривой будут обсуждаться далее в главе 4 «Элементы теории поля».

Пример 2.16.

Вычислить:

а)

= ∫

+ 32 − 23 , где

(2; 1; 0), (4; −1; 2);

б)

= ∫̆

+ + , где

(4; 1; 1), (1; 2; 3).

Решение.

а) = ∫̆ + 32 − 23 = ∫̆

(

) + (3) − (

) = ∫̆

(

+ 3 −

) =

= (

+ 3 −

) | = (8 − 1 − 8) − (2 + 1 − 0) = −4.

б) = ∫

+ + = ∫

( ) = ( )| = 1∙2∙3 − 4∙1∙1 = 6 − 4 = 2.

Ответ: а) = −4;

б) = 2.

Приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Площадь плоской фигуры: ( ) =

∙

( − ).

Работа силы

по перемещению материальной точки вдоль кривой :

= ∫

(, ) + (, ) - для плоской кривой;

( ) ∙ = ∫

= ∫

(, , ) + (, , ) + (, , ) - для

( ) ∙ = ∫

пространственной кривой.

Пример 2.17.

Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой:

{

= ∙ 3

(рис. 2.34).

= ∙ 3

Решение.

Вычислим площадь по формуле:

∙ ( − ).

При обходе фигуры вдоль кривой

Рис. 2.34. К Примеру 2.17

в положительном направлении параметр

изменяется от 0 до 2. Следовательно, имеем:

∙

( − ) =

∙∫2 {3 ∙ 32

∙ + 3 ∙ 32 ∙ } =

∙32

∫2 (4 ∙ 2 + 4 ∙ 2) =

∙32

∫2 2 ∙ 2 =

∙32

∫2

∙ 22 =

∙32

∫2

1− 4

∙32 ( −

4 ) |02

3 2

Ответ:

3 2

Пример 2.18.

Найти работу силы

∙ + ∙

вдоль кривой =

от точки (0; 0) до

= 4

точки (1; 1).

Решение.

Вычислим работу по формуле: = ∫

(, ) + (, ) .

( ) ∙ = ∫

В нашем случае получим:

= ∫ (46 ∙ + ∙ ) = ∫01(46 ∙ + ∙ 3 ∙ 32 ∙ ) = ∫01 76 = 7|10 = 1.

Ответ: = 1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Теория и задачи

#
22.04.2021249.9 Кб10Кратные интегралы задачи.pdf
#
22.04.2021795.01 Кб7Кратные интегралы теория.pdf
#
22.04.2021218.25 Кб8Криволинейные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021744.21 Кб8Криволинейные интегралы - теория.pdf
#
22.04.2021217.24 Кб7Поверхностные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021758.24 Кб9Поверхностные интегралы - теория.pdf