Криволинейные интегралы - теория

Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

( ) ∆ ( )∙∆ = 0,

Следовательно, имеем:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2021

Размер:

744.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

		̆		̆		̆	(рис. 2.12),
	= 1		2 …				(рис. 2.12),
где	̆	- дуга			(	),	= 1 ÷ .
где		- дуга			(	),	= 1 ÷ .
					−1
2. Выбор промежуточных точек:
			̆		, = 1 ÷ .
					, = 1 ÷ .

3. Вычисление скалярных произведений векторов:

						,	= 1 ÷ ,
			(		) ∙ ∆	,	= 1 ÷ ,

где				– вектор, соединяющий
где	∆	=	−1	– вектор, соединяющий
			−1

начало и конец дуги (−1 ), и вычисление интегральной суммы:

= ∑=1 ( )∙∆ .

Пусть λ =
	\|∆ \| - ранг разбиения.
1≤ ≤

−2 −1

Рис. 2.12. Разбиение кривой

Определение 2.3.

Число называется пределом интегральных сумм при λ → 0, если для > 0> 0 такое, что для любого разбиения кривой с рангом разбиения λ < и при любом выборе промежуточных точек { }=1 выполняется неравенство:

		\|	− \| < .

Запись: =	- означает, что при λ → 0 этот предел существует, он не
	λ → 0

зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, и равен числу .

Определение 2.4.

Конечный предел интегральных сумм при λ → 0 называется

криволинейным интегралом 2 рода (или криволинейным интегралом по координатам)

от вектор-функции ( ) вдоль кривой .

Обозначение: ∫		(	)	Следовательно, по определению имеем:
Обозначение: ∫			∙.	Следовательно, по определению имеем:
	∫					∑				.
	∫	( ) ∙ =				∑	=1	(	) ∙ ∆	.
					λ → 0		=1

Запишем криволинейный интеграл 2 рода в координатной форме.

В случае пространственной кривой вектор-функция ( ) задается тремя координатными функциями:


( ) = (, , )∙ + (, , )∙ + (, , )∙ .


Пусть = - радиус-вектор точки ( , , ) , тогда имеем:
∆

∆ = (∆ ) = ∆ ∙ + ∆ ∙ + ∆ ∙				и = ( ) = ∙ + ∙ + ∙ ,
∆

( )∙ = (, , ) + (, , ) + (, , ) .
В этом случае криволинейный интеграл 2 рода запишется в виде:
∫
∫	( ) ∙ = ∫ (, , ) + (, , ) + (, , ) .
В случае плоской кривой получим:
	( , )
( ) = (( , ))			= (, )∙ + (, )∙ ,		= ( ) = ∙ + ∙ ,

	( )∙ = (, ) + (, ) ,
	∫
	∫	( )∙ = ∫ (, ) + (, ) .

Таким образом, согласно определению имеем:

∫

( , , ) + ( , , ) + ( , , ) =

∑

{ ( , , )∆ + (

, ,

)∆

+ (

, ,

)∆ };

λ → 0

∫ ( , ) + ( , ) =

∑

{ ( , )∆ + ( ,

)∆

λ → 0

Вектор-функция ( ), для которой существует криволинейный интеграл 2 рода, называется интегрируемой вдоль кривой .

Пример 2.9.

∫				0 = 0	∫
∫	0∙ =	∑=1	0∙∆ =	0 = 0	∫	0∙ = 0,
		λ → 0		λ → 0
		λ → 0		λ → 0

т.е. криволинейный интеграл 2 рода от нулевой вектор-функции равен нулю. Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода.

Криволинейный интеграл 2 рода от вектор-функции ( ) вдоль кривой равен работе , совершаемой силой по перемещению материальной точки вдоль кривой :

( )∙ .= ∫

Пример 2.10.

		вдоль
Найти работу силы ( ) = (, )∙

плоской кривой , лежащей в плоскости (рис. 2.13).

Решение.

= ∫			∑
= ∫	( )∙ =		∑	=1	(	)∙∆ .
		λ → 0		=1

Здесь вектор силы ортогонален вектору перемещения:

( )

Рис. 2.13. К Примеру 2.10

Ответ: = 0.

Условия существования криволинейного интеграла 2 рода от вектор-функции (интегрируемости вектор-функции) сформулированы в следующем утверждении. Теорема 2.5 (достаточное условие интегрируемости).

Пусть - простая гладкая кривая, а вектор-функция ( ) - непрерывна на кривой

(непрерывны все ее координатные функции). Тогда ( ) интегрируема вдоль кривой .

Доказательство этой теоремы есть в работе [1].

2.4.3. Свойства криволинейного интеграла 2 рода

Пусть вектор-функции

( ) и ( ) - интегрируемы вдоль кривой . Тогда

справедливы следующие свойства.

1. Антисимметричность.

При изменении направления кривой криволинейный интеграл 2 рода

меняет знак:

∫̆

(

)

(

)

∙ = − ∫̆

∙ .

2. Линейность.

а) постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла 2 рода:

∫

(

)

(

)

( ∙

)∙ = ∙∫

∙ , = ;

б) криволинейный интеграл 2 рода от суммы вектор-функций равен сумме криволинейных интегралов 2 рода от этих вектор-функций:

(		)	(	)		(	)	(	)
∫ (			+		)∙ = ∫		∙ + ∫		∙ .

Свойство линейности можно записать в следующем виде:

∫	(		)	(	)		(	)	(	)	1, 2 = .
∫	(1 ∙			+ 2 ∙		)∙ = 1∙∫		∙ + 2∙∫		∙	1, 2 = .

3. Аддитивность.

Если кривая разбита на две дуги, то криволинейный интеграл 2 рода по всей кривой равен сумме криволинейных интегралов 2 рода по каждой из этих дуг:

∫

(

)

(

)

(

)

∙ =

∫ 1

∙ + ∫ 2

∙ ,

где = 1 2

∩ 2 = .

Доказательство.

∫

( )∙ = ∑

(

)∙

−1

λ → 0

∫

;

так как

, = 1 ÷ , то

( )∙ = ∑

(

)∙

= −

−1

λ → 0

получаем:

∫̆ ( )∙ = − ∫̆

( )∙ .

∫

(

∑

(

) +

∙ ( ) +

∙ ( ))∙ =

∙ (

∙ ( ))∙∆ =

λ → 0

= ∑

(

)

∙ (

) ∙ ∆

∙ (

∙ ∆ ) =

λ → 0

= (∑

∑

∙ ( )

∙ ∆

∙ ( )

∙ ∆ ) =

λ → 0

∑

+ ∑

∙ (

)∙∆

∙ (

)∙∆

λ → 0

= ∙

∑

+ ∙ ∑

(

)∙∆

(

)∙∆

1 λ → 0

λ → 0

= 1∙∫

( )∙ + 2∙∫

( )∙ .

на частичные дуги, чтобы

Рассмотрим такое разбиение кривой =

…

точка пересечения

оказалась бы одной из точек разбиения .

Введем

обозначения интегральных сумм:

( ) = ∑

- по кривой ;

( )∙∆

(1)

(

)

= ∑

- по дуге ;

(

)∙∆

(2)

(

)

= ∑

- по дуге .

= +1

(

)∙∆

Тогда имеем: ( ) = (1)( )

+ (2)(

Переходя к пределу в этом равенстве при λ → 0, получим:

∫

(

)

(

)

(

)

∙ = ∫ 1

∙ + ∫ 2

∙ .

2.4.4. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода, как и криволинейного интеграла 1 рода, сводится к вычислению определенного интеграла.

Теорема 2.6.

Пусть простая гладкая кривая = ̆ - задана параметрическими уравнениями:

= ( )

{ = ( ), [ ; ], где ( ), ( ), ( ) - непрерывно-дифференцируемые функции на

= ( )

отрезке [ ; ], причем ( ( ), ( ), ( )), ( ( ), ( ), ( )).

		14
Пусть вектор-функция		- непрерывна
	( ) = ( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙

на кривой , т.е. непрерывны функции ( , , ), ( , , ) и ( , , ) при ( , , ) .

Тогда справедливо равенство:

∫ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) = . = ∫ { ( ( ), ( ), ( )) ∙ ′( ) + ( ( ), ( ), ( )) ∙ ′( ) + ( ( ), ( ), ( )) ∙ ′( )}

Доказательство этой теоремы также можно найти в работе [1].

Вслучае плоской кривой = ̆ : { = ( ), [ ; ] – получаем формулу:

= ( )

∫ ( , ) + ( , ) = ∫ { ( ( ), ( )) ∙ ′( ) + ( ( ), ( )) ∙ ′( )} .

Если плоская кривая = ̆ - задана явным уравнением: = ( ), [ ; ], или= ( ), [ ; ] - то формула принимает вид:

∫ ( , ) + ( , ) = ∫ { ( , ( )) + ( , ( )) ∙ ′( )} , или

∫ ( , ) + ( , ) = ∫ { ( ( ), ) ∙ ′( ) + ( ( ), )} .

Пример 2.11.

Вычислить криволинейный интеграл 2 рода:

= 3

= ∫ ( + ) + 2 + , где : { = 2, [0; 1].=

Решение.

= ∫ ( + ) + 2 + = ∫1{( 3 + 2) ∙ 3 2 + 2 ∙ 2 + 5 ∙ } =
														0
= ∫1(4 5		+ 3 4 + 4 2) = (						2 6				+	3 5	+	4 3			) \|10 = 2				3		.
= ∫1(4 5		+ 3 4 + 4 2) = (										+	5	+				) \|10 = 2						.
	0						3						5	3							5
Ответ: = 2			3	.
Ответ: = 2		5		.
		5
Пример 2.12.

	Вычислить криволинейный интеграл 2 рода:
= ∫	2 −				2	- вдоль различных кривых,																								1
= ∫	2 −					- вдоль различных кривых,																								1
соединяющих точки (0; 0) и (2; 1):																																							2
	а) прямая [ ],																																						2
	б) парабола с осью ,
	в) ломаная [ ], где (2; 0) (рис. 2.14).																								Рис. 2.14. К Примеру 2.12
																									Рис. 2.14. К Примеру 2.12
Решение.
	а) Отрезок прямой линии [ ] задается уравнением: =																														1		,			[0; 2].
	а) Отрезок прямой линии [ ] задается уравнением: =																													2			,			[0; 2].
																														2
Следовательно, имеем:
= ∫	(2 − 2 ) = ∫2						(2 ∙		1		− 2 ∙					1			) =		1		∙∫2 2					=							1		∙	3	\|02 = 1	1	.
= ∫	(2 − 2 ) = ∫2						(2 ∙				− 2 ∙								) =				∙∫2 2					=							2		∙		\|02 = 1		.
						0	2							2							2				0										2		3			3
	б) Дуга параболы с осью задается уравнением:																								=				1	2,							[0; 2].				Значит:
	б) Дуга параболы с осью задается уравнением:																								=			4		2,							[0; 2].				Значит:
																												4
= ∫	(2 − 2 ) = ∫02 (2 ∙								1	2 − 2 ∙							1			) = ∫02 (						1	3 −							1		3) = ∫02 0 = 0.
= ∫	(2 − 2 ) = ∫02 (2 ∙								4	2 − 2 ∙							2			) = ∫02 (						2	3 −							2		3) = ∫02 0 = 0.
	в) Ломаная линия [ ] разбивается на два отрезка:
= 1 2, где 1 = [ ]:							{0 ≤ ≤ 2,							2 = [ ]: {										= 2								. Следовательно:
							= 0														0 ≤ ≤ 1

=	+ ;		= ∫			(2 − 2) = ∫2(2 ∙ 0 − 2		∙ (0)) = ∫2 0 = 0;
1		2	1	1			0	0
				1			0	0
= ∫		(2 − 2				) = ∫1(4 (2) − 4 ) = ∫1(−4 ) = − 4 ∫1 = −4 \|1				= −4;
2	2					0	0	0	0
	2					0	0	0
= 1 + 2 = 0 − 4 = −4.
Ответ:		а)	= 1	1	;	б) = 0;	в) = −4.
Ответ:		а)	= 1	3	;	б) = 0;	в) = −4.
				3

Замечание 2.4.

Если линия - прямолинейный отрезок на плоскости , параллельный одной из осей координат, то вычисление криволинейного интеграла 2 рода упрощается.

Действительно, пусть = ∫	( , ) + ( , ) .	Тогда имеем:

Рис. 2.15.

= а) если , т.е. : { ≤ ≤

= ∫ ( , ) + ( , ) = ∫

= б) если , т.е. : { ≤ ≤

= ∫ ( , ) + ( , ) = ∫

Рис. 2.16.

(рис. 2.15), то = ( ) = 0 и

( , ) = ∫ ( , ) ;

(рис. 2.16), то = ( ) = 0 и

( , ) = ∫ ( , ) .

Аналогичное упрощение будет и в случае отрезка в пространстве, параллельного одной из осей координат: , или .

2.4.4. Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода

Сравним определения криволинейных интегралов 1 и 2 рода.

∫

( ) = ∑

(

)∙∆

- криволинейный интеграл 1 рода;

λ → 0

∫

∑

- криволинейный интеграл 2 рода.

( )∙ =

(

)∙∆

λ → 0

Здесь ∆

- длина частичной дуги, а

- вектор,

∆

соединяющий концы частичной дуги (рис. 2.17).

Очевидно, что

при λ → 0, т.е.

|∆

= 1.

|∆ | ~ ∆

∆

λ → 0

∆

стремится

Кроме того, при λ → 0 направление вектора ∆

Рис. 2.17. Связь

к направлению вектора касательной к кривой в точке :

между ∆

(

)∙∆

при λ → 0,

∆

где ( )

– единичный вектор касательной к кривой в точке ,

= 1 ÷ .

Следовательно, имеем:

∑

( )∙∆ =

λ → 0

∑

)∙

(

)∙∆

= ∑

(

)∙∆

, где

(

( ) = ( )∙ ( ).

λ → 0

Таким образом, криволинейные интегралы 1 и 2 рода связаны формулой:

∫

или в сокращенной записи:

( ) ∙ = ∫

(( ) ∙ 0( ))

∫

∙ =

∫ ( ∙ 0)

Влевой части этой формулы стоит криволинейный интеграл 2 рода, в правой части

–1 рода, а 0 – единичный вектор касательной к кривой .

Вкоординатной форме эта связь примет вид:

	∫ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) =
= ∫	{ ( , , ) ∙ + ( , , ) ∙ + ( , , ) ∙ } ,

где { , , } - направляющие косинусы единичного вектора касательной 0. В случае плоской кривой получим:

∫ ( , ) + ( , ) = ∫ { ( , ) ∙ + ( , ) ∙ } .

2.5. Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру

Рассмотрим криволинейный интеграл 2	рода ∫		по замкнутому контуру ,
		( )∙
т.е. вдоль простой кривой, у которой начало и	конец совпадают.		Для таких интегралов

принято следующее обозначение:

	(		)

				∙ .
При этом должно быть указано направление
движения по этому контуру.
Если направление на этой кривой выбрано, то

зафиксировав начальную точку, например, точку ,					0
имеем по определению (рис. 2.18):



( ) ∙ =		∫( ) ( ) ∙ .			Рис. 2.18. Замкнутый контур
Заметим, что значение интеграла не зависит

от выбора начальной точки. Действительно, если взять точку в качестве начальной точки, то получим:


( ) ∙ = ∫( )		( ) ∙ = ∫( )		( ) ∙

	= ∫( ) ( ) ∙ +		∫( ) ( ) ∙ = ∫( )


+ ∫( ) ( ) ∙ =

( ) ∙ =		( ) ∙ .

Направление движения по пространственной кривой случае приходится указывать особо.

В случае плоской кривой различают

положительное и отрицательное направления
положительное и отрицательное направления
обхода контура.
Положительным считается
такое направление, при котором
ближайшая часть области остается
слева от направления движения (рис. 2.19).
Обратное направление при этом
считается отрицательным.
В дальнейшем запись вида:

в каждом конкретном

	( , ) + ( , ) -	Рис. 2.19. Положительное
		направление обхода контура
	будет означать криволинейный интеграл 2 рода

	по замкнутому контуру на плоскости в положительном направлении.

2.5.1. Связь между криволинейным интегралом 2 рода и двойным интегралом

Рассмотрим криволинейный интеграл 2 рода:

	( , ) + ( , ) ,	Y	= 2( )

где - замкнутый контур на плоскости.

1. Предположим, что контур ограничивает на плоскости область , правильную в направлении оси (см. 1.3.1).

В этом случае контур состоит из отрезков [1 2], [1 2], параллельных оси и кривых:

̆	2	: = 1( ), [ ; ]},
1 1	= { ( , )	: = 1( ), [ ; ]},
̆	2	: = 2( ), [ ; ]}
2 2	= { ( , )	: = 2( ), [ ; ]}

(рис. 2.20).

Пусть функция ( , ) непрерывна

2	2

1
	= 1( )
		X

Рис. 2.20. Контур области, правильной в направлении оси

в области и пусть в этой области существует и непрерывна частная производная .

Установим связь между криволинейным интегралом 2 рода ( , ) и

двойным интегралом ( , ) .

Выразим двойной интеграл по правильной области через повторный интеграл:

( , ) = ∫ (∫ 2( ) ( , ) ) .

1( )

		2( )		( )
Учитывая, что	∫		( , ) = ( , )\|	2	= ( ,	2	( )) − ( , ( )), получим:
				1( )
	1( )						1

( , ) = ∫ { ( , 2( )) − ( , 1( ))} .

С другой стороны, по свойству аддитивности криволинейного интеграла имеем:

	( , ) = ∫̆ ( , ) + ∫			( , ) + ∫̆			( , ) + ∫		( , ) .
		1 1	[1 2]			2 2		[2 1]
	Так как отрезки [1 2] и [1 2] параллельны оси , то
		∫[1 2] ( , ) = ∫[2 1] ( , ) = 0 (см. Замечание 2.4).
Следовательно, имеем:
		( , ) = ∫	( , ) + ∫		( , ) = ∫ ( , ( )) +
		̆	̆					1
		1 1	2 2
	+ ∫ ( , 2( ))		= ∫ ( , 1( )) − ∫			( , 2( )) =

	= − ∫ { ( , 2( )) − ( , 1( ))} .

Сравнивая найденные выражения, получаем:

( , ) = − ( , ) .

Полученная формула верна и в случае, когда область , ограниченная контуром , не является правильной относительно оси , но ее можно разбить на конечное число

правильных областей прямыми, параллельными оси . Покажем это.

Пусть, например, область разбита на три области: = 1 2 3 прямой [ ]

	3
	1


	2

Рис. 2.21. Разбиение неправильной

области на правильные подобласти

(рис. 2.21).

Тогда для каждой из областей 1, 2, 3 верна формула:

( , ) = − ( , ) , = 1 ÷ 3.

При этом контур 1 состоит из части контура и отрезка прямой [ ]; контур 2 состоит из части контура и отрезка прямой [ ]; контур 3 состоит из части контура и отрезка прямой [ ].

Складывая эти формулы, получим в правой части равенства: − ( , ) ,

а в левой части: ∫ ′ ( , ) , где ′ = [ ] [ ] [ ].

Из свойств аддитивности и антисимметричности криволинейного интеграла 2 рода имеем:

∫ ′ ( , ) = ( , ) + ∫

( , ) + ∫

( , ) +

∫

( , ) =

[ ]

( , ) + ∫[ ] ( , ) + ∫[ ] ( , ) − ∫[ ] ( , ) − ∫[ ] ( , ) =

( , ) .

Откуда и получаем нужную формулу:

( , ) = −

( , ) .

2. Теперь предположим, что контур

ограничивает на плоскости область ,

правильную в направлении оси (см. 1.3.1).

В этом случае контур состоит

= 1( )

из отрезков [1 1], [2 2], параллельных

оси (рис. 2.22) и кривых:

= { ( , )

: = 1( ),

[ ; ]},

( )

2 1

= { ( , )

: = 2( ),

[ ; ]}.

1 2

Пусть функция ( , ) непрерывна

в области и пусть в этой области существует

и непрерывна частная производная

Рис. 2.22. Контур области,

правильной в направлении оси

Установим связь между криволинейным

интегралом 2 рода

( , ) и двойным интегралом

( , ) .

Выразим двойной интеграл по правильной области через повторный интеграл:

( , ) = ∫ (∫ 2( ) ( , ) ) .

1( )

		2( )					( )
Учитывая, что	∫			( , ) = ( , )\|	2				= (	2	( ), ) − ( ( ), ), получим:
					1( )
	1( )										1
			( , ) = ∫ { (					( ), ) − ( ( ), )} .
						2
											1

С другой стороны, по свойству аддитивности криволинейного интеграла имеем:

	( , ) = ∫̆			( , ) + ∫		( , ) + ∫̆	( , ) + ∫			( , ) .
		2 1		[1 1]		1 2		[2 2]
	Так как отрезки [1 1], [2 2] параллельны оси , то
	∫[1 1] ( , ) = ∫[2 2] ( , ) = 0 (см. Замечание 2.4).
Следовательно, имеем:
	( , ) = ∫	̆	( , ) + ∫		( , ) = ∫ ( ( ), ) + ∫				(		2	( ), )
		̆		̆			1				2
	2 1			1 2

= − ∫ (1( ), ) + ∫ (2( ), ) = ∫ { (2( ), ) − (1( ), )} .

Сравнивая найденные выражения, получаем равенство:

( , ) = ( , ) .

Полученная формула верна и в случае, когда область , ограниченная контуром , не является правильной относительно оси , но ее можно разбить на конечное число правильных областей прямыми, параллельными оси . Доказательство этого факта аналогично приведенному выше доказательству для случая 1.

Таким образом, для произвольной области , ограниченной контуром на плоскости, имеем формулы, связывающие криволинейный интеграл 2 рода по контуру с двойным интегралом по области :

( , ) =	( , )	и	( , ) = −	( , )	.
( , ) =	( , )	и	( , ) = −	( , )	.

2.5.2. Формула Грина

Выяснив связь между криволинейными интегралами 2 рода и двойными интегралами, докажем следующее утверждение.

Теорема 2.7.

Пусть область ограничена контуром . Пусть функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области и в этой области существуют и непрерывны частные

производные

Тогда справедлива формула Грина:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )}

Доказательство.

Имеем формулы:

( , ) =

( , ) ,

( , ) = −

( , ) .

Складывая левые и правые части этих равенств, получим:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )}

Теорема доказана.

Пример 2.13.

Вычислить

2 + 2 двумя способами:

а) непосредственно, б) по формуле Грина,

если – контур, образованный

линиями = и = 2.

Решение.

Контур, состоящий из отрезка прямой = и

дуги параболы = 2, ограничивает область,

изображенную на рисунке 2.23. Линии

пересекаются в точках (0, 0) и (1, 1).

= 2

а)

= 1 2, где

1: {0 ≤ ≤ 1,

2: {0 ≤ ≤ 1.

2 + 2 =

∫ 2 + 2 + ∫ 2 + 2 =

= ∫1(4 + 2 ∙ 2 ) + ∫0(2 + 2) =

Рис. 2.23. К Примеру 2.13

= ∫1(4 + 23) + ∫0

22 = (

) |10

|10 =

−

б)

( , ) = 2,

= 2,

= 2; : {

02≤ ≤ 1

;

≤ ≤

2 + 2 =

(2 − 2 ) = 2

( − ) = 2 ∫1(∫ 2( − ) ) =

= 2 ∫1(∫ 2 −

∫ 2 ) = 2 ∫1

( ∙ | 2

−

| 2) = 2 ∫1 (2

− 3 −

) =

= 2 ∫1 (

− 3 +

) = 2 (

−

) |10

= 2 (

−

) =

Ответ:

Из формулы Грина как следствие получаются формулы для вычисления площади

фигуры, ограниченной заданным контуром.

Пусть ( , ) = , ( , ) =

тогда имеем:

= 0,

= 1 и

= (0 − 1) = −

= − ( ) ( ) = − .

Пусть ( , ) = 0, ( , ) = ;

тогда имеем:

= 1,

= 0 и

= (1 − 0) =

= ( ) ( ) = .

Если сложить полученные равенства, то получим:

2∙( ) = ( − ).

Таким образом, имеем следующие формулы:

( ) =

( ) = −

( ) =

∙

( − )

Пример 2.14.

Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом:

2 + 2 = 1 (рис. 2.24).

Решение.

Контур эллипса можно задать

параметрическими уравнениями:

= ∙

[0; 2 ].

{ = ∙

Рис. 2.24. К Примеру 2.14

Тогда по формуле: ( ) =

∙

( − ) –

получим:

( ) =

∫2{ ∙ ∙ ( ∙ ) − ∙ ∙ ( ∙ )} =

∙

∫2(2 + 2) =

∙

∫2 =

∙

∙2 = .

Ответ:

элл. = .

2.5.3. Многосвязные области

До сих пор мы рассматривали связные области ,

ограниченные простым замкнутым контуром . Такие

области будем называть односвязными областями (рис. 2.25).

Если связная область ограничена двумя

простыми замкнутыми контурами, не пересекающимися

	друг с другом (один из них лежит внутри другого), то	Рис. 2.25.
	такая область называется двусвязной областью.
		Односвязная область
	Если связная область ограничена тремя простыми

замкнутыми контурами, не пересекающимися друг с другом (два из них лежит внутри третьего), то такая область называется трехсвязной областью (рис. 2.26) и (рис. 2.27) и т.д.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теория и задачи

#
22.04.2021249.9 Кб10Кратные интегралы задачи.pdf
#
22.04.2021795.01 Кб7Кратные интегралы теория.pdf
#
22.04.2021218.25 Кб8Криволинейные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021744.21 Кб8Криволинейные интегралы - теория.pdf
#
22.04.2021217.24 Кб7Поверхностные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021758.24 Кб9Поверхностные интегралы - теория.pdf