Лабораторная работа №1

Определения уравнения регрессии на основе использования EXCEL

Цель работы: Приобретение навыков определения уравнения регрессии на основе использования EXCEL.

1. Метод наименьших квадратов

При обработке результатов наблюдений встречаются со следующей задачей:

В итоге опыта получен ряд значений некоторого параметра y в зависимости от x

x	x1	x2	…	xn-1	xn
y	y1	y2	…	y n-1	yn

Однако, характер функциональной зависимости между ними неизвестен.

Требуется по полученным данным найти аналитическое выражение зависимости между x и y, т.е. задача сводится к нахождению функции y=f(x). Зависимость, полученная в результате решения подобного рода задач, называют эмпирической регрессионной.

Построение эмпирической регрессионной зависимости состоит из двух этапов:

• выяснение общего вида этой формулы

• определение наилучших параметров ее.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами у_i и х_i, то вид регрессионной зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью.

Во многих случаях можно ограничиться многочленом

Нередко употребляют другие элементарные функции. (Дробно-линейные, степенные, показательные, логарифмические и т.п.). Но путем простых преобразований они приводятся к виду многочлена.

Если вид регрессионной зависимости выбран, то возникает задача определения наилучших коэффициентов (параметров), входящих в эту формулу.

В общем виде эта задача ставится следующим образом: пусть дана совокупность пар значений (x _i, y _i) (i = 1, 2, ..., n), которая приближенно описывается формулой вида

у=f(х, а₁, a₂, ... , a _m ), (1)

где f - известная функция;

а₁, а₂, ... , a_m — неизвестные постоянные, число которых (т) обычно меньше числа пар значений, т. е. т < п. Требуется определить эти постоянные.

Если значения (x_i, y_i) связаны зависимостью (1), то параметры а₁, a₂, ... , a_m могут быть найдены из системы уравнений

(i=1,2,… n) (2)

На практике значения (x_i, y_i) содержат неизбежные ошибки и число уравнений системы (2) значительно больше числа неизвестных. Поэтому приходится отыскивать наилучшие значения а₁, a₂, ..., a_m приближенно удовлетворяющие системе (2), т. е. такие, что невязки (уклонения)

(j=1,2,… n) (3)

являются, возможно, малыми по абсолютной величине.

Наиболее распространенным методом определения параметров регрессионной зависимости является метод наименьших квадратов.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами а₁, a₂, ..., a_m считаются те, для которых сумма квадратов уклонений

(4)

будет минимальной. Рассматривая параметры а₁, a₂, ..., a_m как переменные и, приравнивая нулю частные производные, получим систему для определения коэффициентов a_i (i=1,2, …, m):

(5)

Если система (5) имеет единственное решение, то оно будет искомым.

Данный метод имеет один существенный недостаток – требует громоздких вычислений.

Гораздо менее трудоемко будет определение минимума функции S(а₁, а₂, ... , a_m) при помощи функции Microsoft Excel «Поиск решения»