Вопросы к экзамену по АиГ 1 сем
.docxВопросы к экзамену по курсу «АиГ»
-
Матрицы и действия над ними.
-
Определители 2-го, 3-го и n-го порядка
-
Свойства определителей
-
Разложение определителя по строке и столбцу
-
Определитель произведения матриц
-
Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
-
Обратная матрица и её вычисление
-
Свойства обратной матрицы и новый вывод формул Крамера
-
Определение n-мерных арифметических векторов и действий над ними
-
Линейная зависимость и независимость арифметических векторов
-
Максимальная линейно независимая подсистема векторов
-
Определение ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы
-
Теорема о равенстве числа векторов в двух максимальных линейно независимых подсистемах векторов
-
Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров
-
Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований
-
Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем на основе теоремы Кронекера-Капелли
-
Однородная система линейных уравнений. Свойства её решений
-
Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и теорема о числе решений в её составе
-
Связь решений линейной неоднородной и соответствующей ей однородной систем
-
Метод Гаусса решения линейных уравнений
-
Основное соотношение между величинами направленных отрезков на числовой оси. Координаты на прямой, плоскости и в пространстве. Формула для вычисления величины направленного отрезка на прямой через координаты его начала и конца
-
Полярные координаты на плоскости и их связь с декартовыми прямоугольными координатами
-
Понятие свободного вектора. Теорема о проекции вектора на ось.
-
Координаты вектора и их вычисление по координатам его начала и конца
-
Длина вектора и формула для вычисления расстояния между двумя точками пространства
-
Линейные операции над векторами
-
Основные теоремы о проекциях векторов
-
Разложение векторов на компоненты
-
Скалярное произведение векторов и его свойства
-
Векторное произведение векторов и его свойства
-
Смешанное произведение векторов и его свойства
-
Общее уравнение прямой на плоскости
-
Уравнение прямой в отрезках
-
Нормальное уравнение прямой. Вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости.
-
Общее уравнение плоскости
-
Уравнение плоскости в отрезках
-
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
-
Канонические уравнения прямой
-
Эллипс: уравнение, общий вид и свойства кривой
-
Гипербола: уравнение, общий вид и свойства кривой
-
Парабола: уравнение, общий вид и свойства кривой
-
Приведение уравнений линий второго порядка к каноническому виду
-
Эллипсоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности
-
Однополостный гиперболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности
-
Двуполостный гиперболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности
-
Конус второго порядка: уравнение, общий вид и свойства поверхности
-
Эллиптический параболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности
-
Гиперболический параболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности
-
Цилиндрические поверхности второго порядка
-
Определение и примеры линейного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность линейного пространства.
-
Базис линейного пространства и теорема о разложении вектора по векторам базиса
-
Преобразование координат при переходе к новому базису
-
Евклидово пространство. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского
-
Ортогональный и ортонормированный базис евклидова пространства. Процесс ортогонализации
-
Ортогональные (унитарные) матрицы
-
Определение и примеры линейного оператора
-
Матрица линейного оператора, её преобразование при переходе к новому базису
-
Действия с линейными операторами
-
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора
-
Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов
-
Понятие сопряжённого и самосопряжённого оператора. Собственные числа самосопряжённого оператора
-
Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортогональном и нормированном базисе.