Функции / Дифференциалы / Экономическое истолкование дифференциала

Экономическое истолкование дифференциала.

Предположим, что функция y = f(x) характеризует изменение некоторого экономического показателя у от другого х. например, изменение себестоимости продукции от объема производства. Тогда дифференциал функции характеризует приращение данного экономического показателя у (себестоимость продукции) при изменении другого х (объема производства) на Δх, в предположении, что скорость изменения себестоимости на интервале Δх останется постоянной.

Относительная погрешность вычисления функции при достаточно малых Δх может быть вычислена по формуле:

В правой части равенства первый сомножитель является эластичностью функции E_x(y), а второй сомножитель равен относительной погрешности измерения аргумента :

.

Относительная погрешность вычисления значения функции равна произведению эластичности функции на относительную погрешность измерения аргумента.

Пример 1. Производитель реализует свою продукцию по цене р. Издержки производства при этом задаются зависимостью:

S(x) = ax + λx² + C (a > p; λ > 0),

где С – постоянные издержки не зависящие от объема выпущенной продукции х.

ax + λx² – переменные издержки.

Найти оптимальный для производителя объем выпускаемой продукции.

Решение. Для производителя объем выпускаемой продукции х будет оптимальным, когда получаемая прибыль П(х) будет максимальна. Прибыль П(х) определяется разностью между доходом от реализации продукции D(x) = p · x и издержками производства:

П(х) = D(x) – S(x)= px – ax – λx² – C.

Для нахождения оптимального объема производства приравняем нулю производную от прибыли:

П'(x) = p – a – 3λx² = 0

.

Из полученной формулы видно, что оптимальный объем выпускаемой продукции не зависит от постоянных издержек С, а определяется только ценой продукции р и переменными издержками производства (параметры а и λ).

Пример 2. Зависимость себестоимости единицы продукции С(х) от объема выпускаемой продукции х выражается функцией:

С(х) = 80 – х.

Найти эластичность себестоимости E_x(C) при выпуске продукции х = 50 единиц.

Решение. Эластичность себестоимости будет равна:

.

При х = 50 получим . Это означает, что при объеме выпускаемой продукции х = 50 увеличение объема выпускаемой продукции на 1% приведет к снижению себестоимости на 1²/₃ процента.

Пример 3. Определить на сколько процентов изменится значение степени 2^3,1 при изменении основания степени на 5%.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой для относительного приращения функции, определяющейся эластичностью функции. В условии задачи задано относительное приращение аргумента , являющегося основанием степени. Таким образом, исходной функцией является степенная функция у = х^3,1 при х₀ = 2 и δ_х = 0,05.

Определяем эластичность Е_х(у):

Определяем относительное приращение аргумента:

В процентах значение степени 2^3,1 при изменении основания на 5% изменится на 15,5%.