Функции / Дифференциалы / Экономическое истолкование дифференциала
.docЭкономическое истолкование дифференциала.
Предположим, что функция y = f(x) характеризует изменение некоторого экономического показателя у от другого х. например, изменение себестоимости продукции от объема производства. Тогда дифференциал функции характеризует приращение данного экономического показателя у (себестоимость продукции) при изменении другого х (объема производства) на Δх, в предположении, что скорость изменения себестоимости на интервале Δх останется постоянной.
Относительная погрешность вычисления функции при достаточно малых Δх может быть вычислена по формуле:
В правой части равенства первый сомножитель является эластичностью функции Ex(y), а второй сомножитель равен относительной погрешности измерения аргумента :
.
Относительная погрешность вычисления значения функции равна произведению эластичности функции на относительную погрешность измерения аргумента.
Пример 1. Производитель реализует свою продукцию по цене р. Издержки производства при этом задаются зависимостью:
S(x) = ax + λx2 + C (a > p; λ > 0),
где С – постоянные издержки не зависящие от объема выпущенной продукции х.
ax + λx2 – переменные издержки.
Найти оптимальный для производителя объем выпускаемой продукции.
Решение. Для производителя объем выпускаемой продукции х будет оптимальным, когда получаемая прибыль П(х) будет максимальна. Прибыль П(х) определяется разностью между доходом от реализации продукции D(x) = p · x и издержками производства:
П(х) = D(x) – S(x)= px – ax – λx2 – C.
Для нахождения оптимального объема производства приравняем нулю производную от прибыли:
П'(x) = p – a – 3λx2 = 0
.
Из полученной формулы видно, что оптимальный объем выпускаемой продукции не зависит от постоянных издержек С, а определяется только ценой продукции р и переменными издержками производства (параметры а и λ).
Пример 2. Зависимость себестоимости единицы продукции С(х) от объема выпускаемой продукции х выражается функцией:
С(х) = 80 – х.
Найти эластичность себестоимости Ex(C) при выпуске продукции х = 50 единиц.
Решение. Эластичность себестоимости будет равна:
.
При х = 50 получим . Это означает, что при объеме выпускаемой продукции х = 50 увеличение объема выпускаемой продукции на 1% приведет к снижению себестоимости на 12/3 процента.
Пример 3. Определить на сколько процентов изменится значение степени 23,1 при изменении основания степени на 5%.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой для относительного приращения функции, определяющейся эластичностью функции. В условии задачи задано относительное приращение аргумента , являющегося основанием степени. Таким образом, исходной функцией является степенная функция у = х3,1 при х0 = 2 и δх = 0,05.
Определяем эластичность Ех(у):
Определяем относительное приращение аргумента:
В процентах значение степени 23,1 при изменении основания на 5% изменится на 15,5%.