Функции / Дифференциалы / Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Приращение функции Δу при приращении аргумента на Δх отличается от дифференциала функции dy на бесконечно малую величину. Бесконечно малой величиной можно пренебречь и записать:

Можно утверждать, что при малых приращениях аргумента приращение функции равно:

или значение функции в точке х+Δх можно определить по формуле:

(3.28)

Чем меньше Δх тем точнее оказывается результат вычисления значения функции в точке х₀ + Δх. Формула (3.28) находит широкое применение на практике при приближенных вычислениях значений функций.

Таблица 3.2

Формулы приближенного вычисления значений

элементарных функций

Элементарная функция	Формула приближенного вычисления

Пример 1. Вычислить приближенно значения

Решение. Представим число 83 в виде х₀ + Δх, где х₀ ближайшее к 83 число, для которого известен . Таким числом является х₀ = 81 (х₀ + Δх = 81 + 2). Воспользуемся формулой приближенного вычисления степенной функции при :

Пример 2. Вычислить приближенное значение функции

Решение. Обозначим х₀ = е; Δх = 0,272. В соответствии с формулой для дифференциала логарифмической функции получим:

3. Найти приближенное значение приращения дифференциала функции y = sin²x при и .

Решение. Для вычисления приращения дифференциала функции Δ(dy) найдем сначала дифференциал функции:

Приращение дифференциала будет равно:

Пример 3. Вычислить приближенно значения lg 9,8.

Решение. Для нахождения приближенного значения lg 9,8 представим число 9,8 в виде х₀ + Δх = 10 – 0,2. Используя формулу для приближенного вычисления значений логарифмической функции (табл. 3.2) получим:

При заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента х с помощью дифференциала может быть найдена абсолютная и относительная погрешность нахождения значения функции у = f(x).

Предположим, что значение аргумента х измерено с некоторой погрешностью

x₀ – Δx < x < x₀ + Δx, где Δx = |x – x₀|. Необходимо по данному значению аргумента вычислить значение функции у = f(x) и определить погрешность вычисленного значения функции. если вместо истинного значения аргумента х₀ мы возьмем значение х, то при вычислении значения функции погрешность вычисления составит:

Относительная погрешность вычисления функции при достаточно малых Δх может быть вычислена по формуле:

В правой части равенства первый сомножитель является эластичностью функции E_x(y), а второй сомножитель равен относительной погрешности измерения аргумента :

.

Таким образом, относительная погрешность вычисления значения функции равна произведению эластичности функции на относительную погрешность измерения аргумента.

Пример 4. Определить на сколько процентов изменится значение степени 2^3,1 при изменении основания степени на 5%.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой для относительного приращения функции, определяющейся эластичностью функции. В условии задачи задано относительное приращение аргумента , являющегося основанием степени. Таким образом, исходной функцией является степенная функция у = х^3,1 при х₀ = 2 и δ_х = 0,05.

Определяем эластичность Е_х(у):

Определяем относительное приращение аргумента:

В процентах значение степени 2^3,1 при изменении основания на 5% изменится на 15,5%.