ФГБОУ ВО Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра вычислительной математики и кибернетики

РГР

по дисциплине “Методы вычисления”

на тему

«Численное интегрирование методом левых прямоугольников и оценка погрешности и уточнение результата методом численной фильтрации»

Направление			Фамилия, И., О.	Подпись	Дата	Оценка
	МО
Выполнил			Шакиров А.Р., студент МО-317
Принял			Шерыхалина Н. М., профессор кафедры ВМиК

Уфа-2020

Оглавление

Введение. Описание метода 3

Реализация программного средства в среде Node.js на языке JavaScript 4

Фильтрация результатов численного решения задачи 6

Заключение 8

Цель работы:

Разработать программное средство для численного интегрирования функции на отрезке [0;1] методом левых прямоугольников, использовать метод численной фильтрации для уточнения результата и оценки погрешности.

Введение. Описание метода

Пусть необходимо вычислить интеграл

.

Разобьем отрезок интегрирования на n частей. Введем в рассмотрение последовательность узловых точек x_i[a, b]: x_i=ih+a, i=0,...,n. Величина называется шагом разбиения.

Все основные способы численного интегрирования сводятся к интерполяции функции по ее значениям в узловых точках f(x_i) и интегрированию интерполяционного многочлена. При этом значение интеграла получается приближенно равным сумме

.

Квадратурная формула Ньютона-Котеса

№	Название метода	Квадратурная формула (J)	Порядок точности (К)
1	Левых прямоугольников		1

Оценка по правилу Рунге основана на предположении, что искомую величину J можно представить в виде

,

где J – точное значение,

J_h - приближенный результат, полученный при шаге дискретизации равном h,

c – коэффициент, который предполагается независящим от h,

k – порядок точности метода,

(h) - составляющая погрешности, которая считается пренебрежимо малой по сравнению с ch^k. В этом случае, уменьшив шаг дискретизации в два раза и отбросив (h), нетрудно найти c и оценку погрешности

,

где J - точное, а J_h, J_h/2 - приближенные значения интегралов, полученные, соответственно, с шагом h и h/2, k - порядок точности метода.

Тогда при заданной точности  величина h должна выбираться так, чтобы выполнялось условие

.

Критерием допустимости отбрасывания малых величин можно считать стабильность величины K_

,

полученной при уменьшении h в 4, 8 и т.д. раз.

Реализация программного средства в среде Node.js на языке JavaScript

/**

* Заданная функция 1/(1+x)

* @param {number} x

*/

function f(x) {

return 1/(1+x)

}

/**

* Получить Xi элемент, начиная с a, с шагом h

* @param {number} a - начало отрезка

* @param {number} h - длина шага

* @param {number} i - номер элемента (с 0)

*/

function xi(a, h, i) {

return a + h * i;

}

/**

* Метод левых прямоугольников

* @param {number} a - начало отрезка

* @param {number} b - конец отрезка

* @param {number} n - количество частичных отрезков

*/

function J(a, b, n) {

const h = (b - a) / n

const x = xi.bind(null, a, h)

let j = 0

for (let i = 0; i <= n-1; i++) {

j += h * f(x(i))

}

return j

}

function main() {

const a = 0

const b = 1

const result = []

for (let n = 1; Math.log2(n) < 25; n*=2) {

result.push({

n,

Jh: J(a, b, n)

})

}

console.table(result)

}

main()

Пример работы программного средства

Фильтрация результатов численного решения задачи

Фильтрация позволяет устранить погрешность метода численного интегрирования и получить результат с высокой точностью. Для сравнения на рисунок нанесена прямая y=16(lgn/2) (пунктирная линия). Тем самым, из результатов эксперимента следует, что погрешность округления накапливается.

График 1

Значения интегралов отфильтрованы по формуле фильтрации, которая совпадает с экстраполяционной формулой Ричардсона.

Результаты экстраполяций удобно представлять в виде треугольной матрицы

Значения для графика (1) были рассчитаны в пакете Excel:

Заключение

В ходе выполнения работы мы разработали программу, которая, применяя численное интегрирование методом левых прямоугольников, вычисляет приближенное значение интеграла .

Также рассчитали экстраполированные значения, произвели численную фильтрацию значений и построили график для каждой фильтрации

Были закреплены навыки работы в Excel, научились реализовывать метод численной фильтрации.

Список используемой литературы

1. Шерыхалина Н.М. Лекции по вычислительной математике. 2016.

2. Бахвалов, Н. С., Жидков, Н. П., Кобельков, Г. М. Численные методы.  М.: Наука, 1987. – 598 с.

3. Прудников, А. П., Бычков, Ю. А., Маричев, О. И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981.  800 с.