16. Момент инерции. Вычисление моментов инерции ноторых тел относительно оси симметрии (тонкий стержень, обруч, диск). Теорема Штейнера.

Момент инерции — скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Для расчета моментов инерции тонкого диска массы m и радиуса R выберем систему координат так, чтобы ее оси совпадали с главными центральными осями (рис.32). Определим момент инерции тонкого однородного диска относительно оси z , перпендикулярной к плоскости диска. Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним

радиусом r и наружным r+dr. Площадь такого кольца ds=2r $\pi$ dr, а его масса , гдеS= $\pi$ R² - площадь всего диска. Момент инерции тонкого кольца найдется по формуле dJ=dmr². Момент инерции всего диска определяется интегралом

Вычисление момента инерции тонкого стержня:

Пусть тонкий стержень имеет длину l и массу m. Разделим его на малые элементы длины dx (рис.27), масса которых . Если выбранный элемент находится на расстоянии x от оси, то его момент инерции, т.е.     Интегрируя последнее соотношение в пределах от 0 до l/2 и удваивая полученное выражение (для учета левой половины стержня), получим

Момент инеpции обручаотносительно оси, пpоходящей чеpез центp кольца пеpпендикуляpно к его плоскости. В этом случае все элементаpные массы обруча удалены от оси на одинаковое pасстояние, поэтому в сумме (3.18) r2 можно вынести за знак суммы, т. е.    

Теорема Штейнера:

В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: J=J0+ma^2.

Например, момент инерции диска относительно оси О' в соответствии с теоремой Штейнера:

17. Момент инерции однородного тела вращения. Моменты инерции конуса, шара.

Линия - ось вращения.

- масса на квадрат радиуса окружности, по которой движется материальная точка.

Все тело мысленно разбиваем на маленькие объемы. Масса этого кусочка .

Твердое тело представляется как совокупность системы точечных масс.

- расстояние, на котором находится точка от оси вращения.

- общий алгоритм определения собственного момента инерции твердого тела, относительно оси проходящей через центр инерции данного тела.

Момент инерции шара.

     Сплошной шар массы m и радиуса R можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами dm , радиусом r, толщиной dr (рис.35).

     Рассмотрим малый элемент сферического слоя $\delta$ m с координатами x, y, z. Его моменты инерции относительно осей проходящих через центр слоя - $\delta$ J_x, $\delta$ J_y, $\delta$ J_z, равны Т. е. можно записать     (п.26)

     Так как для элементов сферического слоя x²+y²+z²=r² то      После интегрирования по всему объему слоя получим     (п.27)

     Так как, в силу симметрии для сферического слоя dJ_x=dJ_y=dJ_z=dJ , а , тоИнтегрируя по всему объему шара, получаем      Окончательно (после интегрирования) получим, что момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр равен

Разобьём КОНУС на цилиндрические слои   ось толщиной dr. Масса такого слоя   dm = r²dr,

где ρ – плотность материала, из которого изготовлен конус. Момент инерции этого слоя dI = dm^.r².

Момент инерции всего конуса   складывается из моментов инерции всех слоёв: 

 I = = ρπ r ⁴ dr = ρR⁵.

Остаётся выразить его через массу всего цилиндра: m = = = R³,

отсюда    ρ = , I =  = mR².