Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т2 Физика макросистем Основные законы. 2015, 208с

1.10.Определить для ван-дер-ваальсовского газа разность молярных теплоемкостей Cp – CV.

Р е ш е н и е. По определению теплоемкости

Найдем ( V/ T)p. Для этого продифференцируем по T уравнение Ван-дер-Ваальса (1.42). В результате получим

Подстановка (2) в (1) приводит к искомому результату:

R

C p CV 1 2a( V b )2 .

RTV 3

1.11.Эффект Джоуля–Томсона. Считая газ до расширения ван-дер-ваальсовским, а после расширения (за пористой перегородкой) — идеальным, найти приращение температуры газа в результате такого расширения. До расширения газ имел молярный объем V1 и температуру T1. Известны также молярная теплоемкость Cp и постоянные Ван-дер-Ваальса данного газа.

Р е ш е н и е. Согласно 1-му началу термодинамики в данном процессе

Из уравнений состояния моля ван-дер-ваальсовского и идеального газов следует:

После подстановки выражений (2) и (3) в формулу (1) и сокращений получим

Здесь принято приближенно, что равенство Cp CV R справедливо и для ван-дер-ваальсовского газа, хотя это не совсем так (см. результат решения предыдущей задачи).

Глава 2

Статистическая физика. Распределения Максвелла и Больцмана

§ 2.1. Вероятность. Средние значения

Статистическая физика— это раздел физики, в котором изучают свойства макросистем, исходя из индивидуальных свойств составляющих макросистему частиц и взаимодействий между ними. Описание движения каждой частицы макросистемы (а их порядка 1022 1023) — задача совершенно немыслимая. Вместо этого статистическая физика оперирует со средними значениями параметров очень большого числа частиц. Колоссальное число частиц в макросистеме приводит, несмотря на очевидный хаос, к появлению новых, статистических закономерностей. Их изучение и делает возможным описание макросистем на основе сведений о свойствах отдельных частиц.

О вероятности. Основу статистической физики составляет теория вероятностей. Исходные понятия этой теории — собы-

тие и вероятность.

Событие — это, например, выпадение одного из шести номеров при бросании игрального кубика. Или при измерении скорости молекул газа: разбив возможные значения скоростей на отдельные интервалы vi (i 1, 2,...) и обнаружив, что скорость молекулы попала в i-й интервал, мы говорим об i-м событии.

В дальнейшем нас будут интересовать лишь такие события, которые являются:

1)случайными, т. е. событиями, условия наступления которых по тем или иным причинам неизвестны и которые поэтому нельзя заранее с уверенностью предсказать;

2)равновозможными или равновероятными — для которых нет никаких оснований ожидать, что при испытаниях они будут вести себя по-разному (например, при бросании игрального кубика или монеты, но никак не бутерброда с маслом).

Вероятность данного случайного события характеризуется кратностью его повторения. Если в N случаях i-е событие происходит Ni раз, то вероятностью Рi этого события называют величину

Так как на практике N всегда конечно, то для вычисления вероятности стараются, чтобы N и Ni были достаточно большими. Тогда можно считать, что

Ясно, что сумма вероятностей всех возможных результатов измерений равна единице:

Теперь обратимся к вычислению вероятностей сложных событий. Рассмотрим две основные теоремы: о сложении и умножении вероятностей на примере игрального кубика.

1. Теорема сложения вероятностей. Если в результате N

бросаний кубика в Ni случаях выпадет число i, а в Nk случаях — k, то вероятность выпадения i или k равна

Это значит, что при бросании кубика вероятность выпадения,

скажем, 2 или 5 равна Р 1/6 1/6 1/3.

В общем случае эта теорема утверждает: вероятности несовместимых событий складываются.

Пример. При бросании игрального кубика вероятность:

а) выпадения четной цифры равна 1/6 1/6 + 1/2. б) того, что не выпадет 2, равна 5/6.

2. Теорема умножения вероятностей. Найдем вероятность того, что при двух бросаниях кубика выпадет последовательно i и k. Рассмотрим N двойных бросаний. Пусть первый из каждой пары бросков дал i в Ni случаях (так что Рi % Ni/N). Теперь

выделим из этих Ni случаев те Nk событий, когда второй бросок кубика давал k (так что Рk Nk/Ni). Тогда искомая вероятность

Значит, вероятность того, что при двух бросаниях кубика выпадут, допустим, сначала 2, а затем 5, равна 1/6 · 1/6 1/36.

В общем случае теорема умножения вероятностей утверждает: вероятность совмещения двух или нескольких событий равна произведению вероятностей каждого их них в отдельности.

Пример. Вероятность того, что при двух бросаниях кубика: а) выпадут две 5, равна 1/6 · 1/6 1/36; б) не выпадет ни одной 5, равна 5/6 · 5/6 25/36;

в) выпадет одна 5, равна (1/6 · 5/6) + (5/6 · 1/6) = 10/36. Заметим, что Pa Pб Pв 1, как и должно быть.

Средние значения случайных величин. Зная вероятности появления различных результатов измерения дискретной величины x, можно найти их среднее значение pхq. По определению среднего

Функция распределения. Рассмотрим случай, когда случайная величина x имеет непрерывный характер (например, скорости молекул). Для этого разобьем всю область изменения x на отдельные интервалы и будем считать число попаданий случайной величины в тот или иной интервал. Интервалы должны быть во избежание заметных флуктуаций достаточно большими, чтобы в каждом интервале число попаданий было Ni J 1 и чтобы с помощью (2.2) можно было определить вероятность попадания случайной величины в данный интервал. Вместе с тем, интервалы должны быть достаточно небольшими, чтобы более детально характеризовать распределение величины х.

Итак, мы имеем достаточно большое число достаточно небольших интервалов и, допустим, нам известна вероятность Px попадания в тот или иной интервал x. Сама величина Px

весьма мала, поэтому в качестве характеристики случайной величины берут отношение Px/ x, которое для достаточно малых x не зависит от величины самого интервала x.

Это отношение при x 0 называют функцией распределения f(x) случайной величины х:

Видно, что функции распределения f(х) можно приписать смысл плотности вероятности, т. е. вероятности интересующей нас величины оказаться в единичном интервале вблизи значения х.

В разных случаях функция распределения имеет совершен-

но различный вид, один из которых в качестве примера приведен на рис. 2.1. В соответствии с (2.7) площадь полоски шириной dx на этом рисунке

Вероятность того, что величина х попадает в интервал (a, b):

a

Ясно, что вероятность того, что величина х может принять хотя бы какое-нибудь значение (достоверное событие), равна единице. Это называют условием нормировки:

где интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины х. Из этого условия следует, что вся площадь под кривой f(х) равна единице (см. рис. 2.1). Заметим, что (2.10) является аналогом формулы (2.3).

Средние значения. Среднее значение величины х можно найти, зная ее нормированную на единицу функцию распределения f(x). Обратимся к формуле (2.6). Она справедлива и для случая, когда интервал изменения величины х будет разбит на небольшие участки. Уменьшая участки, мы должны в конце

где интегрирование проводится по интересующему нас интервалу значений х. Аналогичные формулы справедливы для любой функции − (x), например

px2q x2 f(x) dx.

Пример. Идеальный газ находится в сферическом сосуде радиуса R. Найдем распределение расстояний r молекул от центра сосуда и среднее значение prq.

Выделим мысленно тонкий концентрический шаровой слой радиуса r и толщиной dr. Сначала найдем вероятность того, что молекулы попадают в этот слой. Она равна доле молекул в этом слое: dPr dNr/N. В силу равномерного распределения молекул это отношение равно отношению соответствующих объемов:

Согласно (2.7) искомая функция распределения

f(r) = dPr /dr = 3r2/R3.

Среднее значение prq находим по формуле (2.11):

Флуктуации. Вероятность случайного события и экспериментально наблюдаемая доля результатов, когда событие осуществляется, — это не одно и то же. Последняя (доля результатов) испытывает случайные отклонения от предсказываемой вероятности. Именно такого рода отклонения происходят в любых макросистемах. Эти отклонения и обусловливают флуктуации.

тральные ячейки действительно попадает больше всего зернышек.

При очень большом числе зернышек возникает вполне определенная статистическая закономерность распределения их по ячейкам, как показано на рис. 2.2. Повторив опыт, обнаружим то же распределение, ту же закономерность (это распределение называют нормальным законом Гаусса).

Таким образом, мы имеем наглядную, убедительную (и невольно вызывающую удивление) демонстрацию того, как проявляют себя статистические законы через большое число случайных событий.

§ 2.2. Распределение Максвелла

Закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, был найден Максвеллом (1859). Ход его рассуждений довольно сложен и полностью приводить его мы не будем, а ограничимся в основном рассмотрением подхода к решению этой проблемы, а также физического смысла закона Максвелла и некоторых его следствий.

Следуя Максвеллу, представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций vx, vy, vz отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве — конец вектора v. Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно* меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом (статистическом) равновесии.

Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости v (нo не от v).

Итак, пусть макросистема (газ) содержит N молекул. Выделим в некоторой точке — конце вектора v — малый объем

*При нормальных условиях каждая молекула газа испытывает порядка 109 столкновений в секунду. С такой частотой непредсказуемо меняется модуль и направление ее скорости.

относительные флуктуации которой пренебрежимо малы. В дальнейшем под dN мы будем понимать среднее число молекул в соответствующем нитервале той или иной величины.

Относительное число точек (молекул) в этом объеме dN/N, или другими словами, вероятность dP того, что скорость молекулы, т. е. конец вектора v, попадет в этот объем, можно запи-

где f(v) имеет смысл объемной плотности вероятности. Вероятность же того, что молекула (точка) будет иметь про-

екции скорости в интервале (vx, vx dvx), есть

где − (vx) — функция распределения по vx. Выражение (2.13) — это по существу интеграл (2.12) по vy и vz, т. е. относительное число молекул (точек) в тонком плоском слое от vx до vx + dvx.

Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в

интервалах (vx, vx + dvx), (vy, vy + dvy) и (vz, vz + dvz), являются независимыми (это было строго доказано), поэтому в соответст-

вии с теоремой об умножении вероятностей независимых событий можно записать

dP(vx, vy, vz) = dP(vx) dP(vy) dP(vz) =

− (v x ) − (v y) − (v z ) dv x dv ydv z . (2.14)