Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т2 Физика макросистем Основные законы. 2015, 208с

Отметим попутно, что, как легко показать, связь между этими критическими величинами имеет вид

pкр VM кр 38 RTкр .

5.3.Энтропия и фазовые переходы. Лед с начальной температурой Т1, равной температуре таяния, сначала изотермически превратили в

воду, а затем при температуре кипения T2 — в пар. Найти приращение S удельной энтропии системы в этом процессе.

Ре ш е н и е. Данный процесс состоит из трех частей: таяния

(плавления), нагрева образовавшейся воды от Т1 до Т2 и превращения ее в пар. Соответственно можно записать в расчете на единицу массы:

где qпл и qпар — удельные теплоты плавления и парообразования,

с — удельная теплоемкость воды.

5.4.Уравнение Клапейрона–Клаузиуса. Давление p насыщенного пара ртути зависит от температуры Т по закону

ln p a b ln T const,

T

где a и b — положительные постоянные. Найти молярную теплоту испарения ртути как функцию температуры, q(T).

Р е ш е н и е. Воспользуемся уравнением Клапейрона–Клаузиуcа (5.3). Учитывая, что молярный объем пара значительно больше, чем у жидкости (Vп J Vж), запишем

Теперь найдем производную dp/dT из уравнения, приведенного в условии задачи:

Совместное решение уравнений (1) и (2) дает

q TV dp R( a bT ). dT

5.5.Водяной пар, заполняющий пространство под поршнем в цилиндре, сжимают так, что он все время остается насыщенным, находясь на грани конденсации. Полагая для простоты, что удельная теплота парообразования равна q и не зависит от температуры Т, найти молярную теплоемкость С пара в данном процессе как функцию Т. Пар считать идеальным газом.

Р е ш е н и е. Согласно (1.13) прежде всего найдем, что

Указанный в условии задачи процесс на диаграмме р-Т идет по кривой парообразования. Для него справедливо уравнение Кла- пейрона–Клаузиуса:

где M — молярная масса, Vп — молярный объем пара (объемом жидкости мы пренебрегаем).

Подстановка (3) в (2) с учетом идеальности газа дает

С= Сp – Mq/T.

5.6.Капиллярные явления. В дне стеклянного сосуда со ртутью имеется малое круглое отверстие радиуса r. При какой толщине слоя ртути она не будет вытекать через это отверстие?

Ре ш е н и е. Из формулы (5.6) следует, что максимальная толщина слоя ртути возможна при условии, что радиус кривизны мени-

ска R мин. Из рис. 5.23 видно, что это будет при условии R r. В этом случае поверхностное натяжение направлено вертикально вверх, и соответствующая суммарная сила будет максимальной. Таким образом

где коэффициент 2 учитывает тот факт, что пленка имеет два поверхностных слоя. Из условия равновесия на границе раздела обоих пузырей следует, что

Совместно решая уравнения (1) и (2), находим

R ab . a b

Далее, сумма трех сил поверхностного натяжения при равновесии должна равняться

нулю (рис. 5.25), откуда 120 .

Рис. 5.25

5.8.Вертикальный капилляр привели в соприкосновение с поверхностью воды. Какое количество тепла выделится при поднятии воды по капилляру? Смачивание считать полным, поверхностное натяжение равно (.

Р е ш е н и е. Работа А, совершаемая силами поверхностного натяжения при поднятии жидкости, идет на сообщение ей потенциальной и кинетической энергии:

А = П + К.

Если бы не было сил трения, уровень жидкости в капилляре совершал бы гармонические колебания около равновесного положения. Благодаря трению, кинетическая энергия К переходит во внутреннюю энергию, т. е. выделяется тепло Q К.

Учитывая формулу (5.11), запишем выражение для работы А:

А (·2 rh 4(2/ g.

Приращение же потенциальной энергии

П mgh/2 2(2/ g,

где m r2h .

В результате получим Q А – П 2(2/ g.

5.9.Получить формулу (5.11) для h, пользуясь энергетическими соображениями и не делая каких-либо предположений о форме мениска.

лучает приращение

где первое слагаемое — приращение свободной энергии, второе — приращение потенциальной энергии столба жидкости. Далее следует учесть, что при равновесии (рис. 5.26, б)

и вблизи равновесия выражение (1) равно нулю, dЕ 0. В результате получим

Отсюда и следует формула (5.11).

5.10.Теплота образования поверхностного слоя. Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости, показать, что при изотермическом процессе теплота, необходимая для образования единицы пло-

Р е ш е н и е. На электронную компоненту плазмы в этом случае будет действовать сила F qЕ, где q — суммарный заряд электронов (q < 0). Если суммарная масса этих электронов равна m, то согласно основному уравнению динамики

где Еx — проекция напряженности электрического поля, создаваемого зарядами на поверхности слоя. Известно, что, как и в конденсаторе с поверхностной плотностью заряда =,

где е — элементарный заряд, n — концентрация электронов, nx — число электронов на единицу площади заряженного поверхностного слоя. Заметим, что в рассматриваемый момент (см. рис. 5.28) Еx > 0 и x > 0. Подставим (2) в (1) и учтем, что m Nme и q N(–e). Тогда (1) можно преобразовать к виду

Таким образом, мы пришли к уравнению гармонических колебаний с циклической частотой

ne2/ 0me .

Глава 6

Неравновесные макросистемы

В предыдущих главах основное внимание было уделено равновесным макросистемам. Однако, строго говоря, равновесные системы — это идеализация. Повседневно нам приходится встречаться только с неравновесными системами*. Физика неравновесных систем развивается, имея большие перспективы. Мы не будем затрагивать общие вопросы этой области науки. Ограничимся рассмотрением лишь нескольких случаев, представляющих особый практический интерес. Это неравновесные системы, с которыми связаны создание лазеров, а также потоки некоторых физических величин (явления переноса).

§ 6.1. Инверсная среда. Лазеры

Вынужденное (индуцированное) излучение. Первоначально считалось, что между энергетическими уровнями атомов происходят два вида переходов: спонтанные (самопроизвольные) с более высоких на более низкие уровни и те, которые происходят под действием излучения (вынужденные) с более низких на более высокие уровни. Переходы первого рода приводят к спонтанному испусканию фотонов, переходы второго рода обусловливают поглощение излучения веществом.

Эйнштейн (1918) пришел к выводу, что этих двух видов излучения недостаточно для объяснения равновесия между излучением и веществом. В самом деле, вероятность спонтанных переходов определяется лишь внутренними свойствами атомов и поэтому не зависит от интенсивности падающего излучения, вероятность же вынужденных переходов с более низких уровней зависит как от свойств атомов, так и от интенсивности падающего излучения.

*Системы, очень далекие от равновесных, называют сильно неравновесными. К их числу, между прочим, относятся биологические (живые) системы, для которых такое состояние является условием существования (за счет активного взаимодействия с окружающей средой).

170 Глава 6

Для установления равновесия при произвольной интенсивности падающего излучения необходимы переходы, вероятность которых возрастала бы с увеличением интенсивности излучения, т. е. переходы, связанные с испусканием фотонов под действием излучения. Возникающее при таких переходах излучение было названо вынужденным или индуцированным. Это было весьма важное открытие, которое, увы, не сразу было оценено по достоинству.

Для упрощения дальнейших рассуждений рассмотрим два энергетических уровня атомов (молекул) среды, между которыми, по Эйнштейну, возможны три типа процессов: спонтанное излучение, поглощение и вынужденное (индуцированное) излу- чение (рис. 6.1). На рисунке они отмечены как сп, погл и инд. Далее будем считать (это не принципиаль-

но), что кратность вырождения

этих уровней g1 g2 1, т. е. уровни невырожденные.

Теперь введем «вероятности» переходов Р, понимая под этим число переходов ежесекундно в расчете на один атом:

где B21 и B12 — так называемые коэффициенты Эйнштейна, u — спектральная плотность энергии излучения, соответствующая энергии h перехода между данными уровнями.

Исходя из термодинамических соображений, Эйнштейн установил, что P21инд P12погл . Это значит, что коэффициенты

Обратимся к прохождению излучения через вещество. Согласно закону Бугера интенсивность I пучка излучения при этом изменяется с расстоянием x как

где k — коэффициент поглощения (другого процесса здесь не предполагалось). Учтем, однако, роль индуцированного излучения и его уникальные свойства: