невизначений інтеграл 1 роду

2

Лекція 8. Криволінійний інтеграл першого роду

Означення 8.1.

Криву AB , що задана параметричними рівняннями

x

x(t),

t ,

y(t),

y

називають гладкою, якщо функції x(t), y(t), x (t), y (t)

неперервні на відрізку ; , причому

2

2

0, t ; .

x (t)

y (t)

Якщо для скінченної кількості точок похідні не існу-

ють, або одночасно дорівнюють нулю, то криву нази-

вають кусково-гладкою.

Нехай на площині

Oxy задана гладка або кусково-гладка крива AB , в точ-

ках якої визначена неперервна функція f (x, y) (рис. 8.1).

Mi

A An 1

i

B An

Ai 1

A1

A A0

x

O

Рис. 8.1

Довільно розіб’ємо криву точками A A0, A1, ..., An 1, An B на n еле-

ментарних дуг, на

кожній дузі Ai 1Ai виберемо довільну

точку Mi( i; i ),

i

, і складемо суму

1, n

n

n f( i, i ) li ,

(8.1)

i 1

де li

— довжина дуги Ai 1Ai . Суму (8.1) називають інтегральною сумою для

функції

f (x, y) за довжиною дуги кривої. Нехай max li — найбільша з

1 i n

довжин елементарних дуг Ai 1Ai .

Означення 8.2.

Якщо існує скінченна

n

lim

f( i, i ) li ,

0

i 1

яка не залежить ні від способу розбиття кривої AB на

елементарні

дуги,

ні

від

вибору

точок

Mi( i ; i ) Ai 1Ai , то цю границю називають криволі-

нійним інтегралом першого

роду (або криволінійним

Лекція 8. Криволінійний інтеграл першого роду

3

інтегралом за довжиною дуги) від функції

f (x, y)

вздовж кривої AB і позначають f(x, y)dl .

Таким чином,

AB

def

n

f( i, i ) li.

(8.2)

f(x, y)dl lim

AB

0 i 1

n

m lim

( i, i ) li (x, y)dl,

0 i 1

AB

O

x

B

A

B

n

S lim

f( i, i ) li f (x, y)dl.

0 i 1

AB

чаткової точки A. Тоді криву AB задають рівняння

x x(l),

,

(8.3)

0 l l

y y(l),

де l — довжина кривої AB .

цією змінної l : f (x l , y l ). Позначимо через li

(i 1, 2, ..., n) значення пара-

метра l , що відповідає точці Mi , тоді інтегральна сума (8.1) набуде вигляду

n

f(x(li ), y(li )) li.

(8.4)

l

f(x, y)dl

f x(l), y(l) dl.

(8.5)

AB

0

Таким чином, криволінійний інтеграл (8.2) існує за умов існування визначе-

ного інтеграла в правій частині рівності (8.5). Сформулюємо теорему.

Теорема 8.1.

Якщо функція f (x, y) неперервна вздовж гладкої кривої

AB , то існує криволінійний інтеграл

f(x, y)dl .

AB

Властив0сті

1) (Нормованість). 1 dl

dl l ,

AB

AB

де l — довжина дуги кривої AB .

2) (Незалежність від напрямку кривої інтегрування).

Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від

напрямку шляху інтегрування, тобто

AB

BA

Лекція 8. Криволінійний інтеграл першого роду

5

то для функції f (x, y) g(x, y), де , — довільні

сталі, також існує криволінійний інтеграл по кривій

AB , причому

f (x, y) g(x, y) dl f (x, y)dl g(x, y)dl.

AB

AB

AB

4)

(Адитивність). Якщо крива AB AC CB і для

f (x, y) існує криволінійний інтеграл по AB , то існують

інтеграли f(x, y)dl , f(x, y)dl , причому

AC

CB

f(x, y)dl f(x, y)dl f (x, y)dl .

AB

AC

CB

5) (Збереження знаку). Якщо f (x, y) 0 на кривій AB ,

то

f(x, y)dl 0 .

AB

6) (Оцінка модуля інтеграла). Якщо функція f (x, y) інте-

гровна на кривій

AB , то функція

f (x, y)

також інтег-

ровна на AB і справедлива нерівність

f(x, y)dl

f (x, y)

dl .

AB

AB

7)

(Теорема про середнє). Якщо функція f (x, y) непере-

рвна на кривій

AB , то

на цій кривій

існує точка

( ; ) AB така, що

f(x, y)dl f ( , ) l

AB

де l — довжина дуги кривої AB .

Властивість 2 означає, що межі інтегрування в криво-

Зауваження 8.1.

лінійному інтегралі першого роду завжди треба брати

від меншого до більшого значення змінної, оскільки за

означенням li

— довжина дуги, тому li

0 .

У визначеному інтегралі величина xi може бути як

додатною, так і від’ємною. У зв’язку з чим

b

a

f(x)dx f(x)dx.

a

b

6

Лекція 8. Криволінійний інтеграл першого роду

для різних способів задання кривої.

1. Нехай крива AB задана параметричними рівняннями

x

x(t),

t ,

y(t),

y

причому точці A відповідає значення t

, а точці B — t

. Припустимо,

що функції x(t) та y(t) неперервні на відрізку ;

разом зі своїми похідними

2

2

0, t

;

.

x (t) та y (t) і виконується нерівність x (t)

y (t)

Тоді диференціал дуги кривої обчислюється за формулою

dl

2

2

(8.6)

(x (t))

(y (t)) dt,

а криволінійний інтеграл

f(x, y)dl f(x(t), y(t))

2

2

(8.7)

(x (t))

(y (t)) dt.

AB

рівнянням

2. Якщо крива AB в декартових координатах задана явним

y y(x), a x b,

причому функція y(x)

неперервно диференційовна на a;b

і точці A відпові-

дає значення x a , а

точці B — x b , то, обираючи змінну x

за параметр,

b

f(x, y)dl f(x, y(x))

2

(8.8)

1 (y (x)) dx.

AB

a

функція ( ) неперервна на 1; 2

і має неперервну похідну ( ), значення

1 відповідає точці A, а значення

2 — точці B . Декартові координати x, y

8

Лекція 8. Криволінійний інтеграл першого роду

dl

Приклад 8.2.

Обчислити криволінійний інтеграл

, де

x2

y2

L

x a cos t,

0 t 2 .

L : y a sin t,

z at.

dl

2

a

2

2

2

2

2

dt

dt

.

x2

y2

a2

cos2 t a2 sin2 t

a

a

L

0

0