6. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов ,иназывается число, равное скалярному произведению векторана вектор, т. е. (,).

Обозначаться смешанное произведение может: или.

Пример 1.23. Вычислите смешанное произведение векторов,и.

Решение.Векторное произведение векторовивычислено в примере 1.20:=. Значит, по определению= (,) = (–38, 1, –15)(1, 1, –1) = –38 + 1 + 15 = – 22.

Можно воспользоваться формулой для вычисления смешанного произведения =, где– координаты вектора,– координаты вектора,– координаты вектора.

== 8 + 3 – 14 – 24 – 2 + 7 = –22.

Ответ: = –22.

Пример 1.24. Компланарны ли три векторы,и?

Решение.Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Вычислим смешанное произведение данных трех векторов: = == 18 – 27 + 6 – 18 – 6 + 27 = 0. Значит, данные векторы компланарны, т. е. лежат в одной плоскости.

Пример 1.24. Найти объемVпирамиды ABCD, построенной на векторах,,.

Решение.Модуль смешанного произведения трех векторов, выходящих из одной точки, равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Следовательно, объем треугольной пирамиды – это шестая часть модуля смешанного произведения векторов, на которых она построена, т. е.V = .

Вычислим смешанное произведение трех данных векторов: == 0 – 5 – 6 + 4 – 5 – 0 = – 12.

Таким образом, V = ==2 (куб. ед.)

Ответ: V =2.

Векторная алгебра 3

1. Координаты точки на плоскости и в пространстве 3

1.2. Векторы в прямоугольной декартовой системе координат 7

1.3. Умножение вектора на число 9

1.4. Сумма векторов 10

1.5. Скалярное произведение векторов 11

1.6. Векторное произведение векторов 14

1.7. Смешанное произведение векторов 15

2