Нормальная линейная регрессия (метод наименьших квадратов)

Дана последовательность независимых совместных наблюдений {x_i,y_i},i=1…N. Требуется оценить параметры наилучшей аппроксимирующей (регрессионной) кривой, соответствующей данным наблюдениям.

Задача нахождения наилучшей аппроксимирующей кривой в общем случае является достаточно сложной и наиболее просто решается, если функциональная за­висимость имеет вид прямой линии у = ax + b. Поэтому на прак­тике, если это возможно, сложные функциональные зависимости сводят к линейным зависимостям. При этом задача нахождения регрессионной кривой сводится к решению следующих задач:

1. Линеаризация нелинейных зависимостей, которая производится путем соответствующей заме­ны переменных. Примеры такой замены приведены в таблице.

№	Исходная функция	Замена переменных	Новая функция

2.Нахождение наилучших значений коэффици­ентов aиbв линейной зависимостиу = ax + b или коэффици­ента aв зависимостиу = ax согласнометоду наименьших квадратов (МНК).

3.Нахождение случайных и приборных погрешностей этих коэффициентов.

4. Определение по найденным значениям коэффициентов a и b физи­ческих констант, содержащихся в этих коэффициентах. Последняя задача ре­шается стандартным приемом метода переноса погрешностей при косвен­ных измерениях

Обработка данных по МНК для уравнения y = ax + b

1. Заполнить таблицу 4 обработки данных по МНК для уравнения y = ax + b.

Таблица 4.

№	xi=ti	yi=Vi
…
∑

2. Вычислить средние значения x и у: , .

3. Определить средние значения и: ,.

4. Рассчитать дисперсии и СКО :

, ,,.

5. Определить случайные погрешности а и b. Для расчетов необходимо брать коэффициент Стьюдента t_P, N-1 , в отличие от прямых измерений, где использовался t_P, N : ,.

6. Рассчитать приборную погрешность коэффициента b (приборная погрешность коэффициента, а равна нулю): .

7. Определить полные погрешностиа и b: и.

8. Записать результат измерения и округлить его.

9. Привести окончательный результат в округленной форме:

, с вероятностью.

Обработка данных по МНК для уравнения y = ax

1. Заполняем таблицу 5 обработки данных по МНК для уравнения y = ax.

Таблица 5.

№ набл.		y­i=Ti	xi2	yi2	xiyi
1 2
…
Обозначения сумм	∑ x­i	∑ y­i	∑ xi2	∑ yi2	∑ xiyi
∑

2. Определить среднее значение a : .

4.Рассчитать дисперсию и СКО : ,.

5. Определить случайную погрешность коэффициента a: .

6. Рассчитать приборную погрешность коэффициента а по формуле

.

7. Определить полную погрешность коэффициента a : .

8. Записать результат измерения и округлить его.

9. Привести окончательный результат в округленной форме:

с вероятностью Р = 95 %.