1.7.Дифференцирование показательно – степенной функции.

Для того, чтобы найти производную показательно – степенной функции , где f(x) и g(x) – дифференцируемые функции от х, ее удобно предварительно прологарифмировать.

, тогда . [воспользуемся свойствами логарифма и запишем] . [теперь найдем производные от обеих частей равенства.]

.[для нахождения производной правой части воспользуемся правилом (1.3), а для левой части – правилом дифференцирования сложной функции (1.5)].

. [выразим из данного равенства ]

.

Запоминать такую громоздкую формулу нет необходимости, так как правильнее, при необходимости найти производную показательно – степенной функции, каждый раз применять данный прием.

Пример 1.12. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства:

. [воспользуемся свойствами логарифма]

. [найдем производные от обеих частей равенства]

. [выразим из данного равенства ]

Пример 1.13. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства:

.

. [найдем производные от обеих частей равенства]

.

.

.

1.8.Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически.

Если зависимость между x и y задана в форме уравнения F(x, y)=0, то говорят, что функция задана неявно. В этом случае для нахождения производных и следует продифференцировать уравнение F(x, y)=0 по x, считая y функцией от x , или по y , считая x функцией от y и выразить из полученного уравнения производную или .

Пример 1.3. Найдите производную функции, заданной неявно .

Решение. Продифференцируем исходное уравнение, считая y функцией от x . Дифференцируя левую часть уравнения, необходимо воспользоваться правилом (1.5), а правую – правилом (1.3).

. [выразим из данного равенства ]

.

.

.

Пример 1.14. Найдите производную заданной неявно функции .

Решение. Продифференцируем исходное уравнение, считая y функцией от x. Второе слагаемое в уравнения является сложной функцией, первое - произведением двух функций, одна из которых – экспонента сама является сложной. Поэтому продифференцируем каждое слагаемое отдельно, а потом запишем производную всей функции целиком.

.

В итоге получаем:

. [раскрываем скобки и группируем слагаемые, содержащие производную ]

. [выражаем из получившегося уравнения ]

.

.

1.9.Производные высших порядков.

Производной второго порядка, или второй производной, функции называется производная от ее производной (которую называют первой производной).

Обозначения второй производной:

.

Механический смысл второй производной.

Если – закон прямолинейного движения точки, то – ускорение этого движения в момент времени x.

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и более высоких порядков:

.

Производная n –ого порядка обозначается и так: .

Если функция задана параметрически: , то ее вторая производная определяется формулой:

.

Пример 1.15. Найти для функции .

Решение. Для того, чтобы вычислить значение третьей производной функции в точке , необходимо найти первую и вторую производные этой функции.

.

.

. [Подставляем в найденное выражение третьей производной значение ]

.

Ответ: {-6}.

Пример 1.16. Найти вторую производную функции, заданной параметрически: .

Решение. Найдем первую и вторую производные для функций .

.

.

Воспользуемся формулой, приведенной выше:

[воспользуемся тождеством, ] .

Ответ: .