6.2. Математическое описание вибраторных антенных решеток

Для проектирования антенных решеток и оптимизации их характеристик необходимо наличие точной и высокоэффективной в вычислительном отношении математической модели, поскольку многоэлементные ВК имеют большое число степеней свободы (длины вибраторов, расстояние между ними). Математическое описание можно свести к системе связанных интегральных уравнений относительно неизвестных функций распределения тока в каждом элементе.

6.2.1. Система связанных интегральных уравнений для многоэлементной антенной решетки вк

Математическая модель ВК сводится к системе связанных интегральных уравнений, порядок которой совпадает с количеством элемента. Например, для пятиэлементной антенны, представленной на рис. 6.6. искомыми являются пять функций распределения токов в рефлекторе, активном элементе и трех директорах.

Основываясь на тех же допущениях, что и при выводе уравнения По­клингтона одиночного вибратора (т. е. наличие сильного скин-эффекта, приближение тонкого провода) [1], можно сформулировать систему уравнений относительно неизвестных токов на каждом элементе ВК:

(6.1)

г

Рис. 6.6

де– стороннее электрическое поле (продольная компонента), создаваемое внешним источниками поля,– ток, протекающий по осиm-го элемента. Ядра системы (6.1) определяются на основе соотношений:

(6.2)

Здесь – – расстояние между точкой интегрирования на оси и точкой наблюдения на поверхностиi-го вибратора,– расстояние между точкой интегрирования на осиi-го вибратора и точкой наблюдения на поверхностиj-го вибратора, из (6.2) видно, что:.

В случае одного активного элемента левые части системы уравнений (6.1) имеют вид:

Значения стороннего электрического поля во всех строчках системы, кроме второй, равняются нулю, что объясняется наличием возбуждающего источника лишь у второго элемента.

Физический смысл системы интегральных уравнений (6.1) заключается в том, что каждая строчка – это запись граничного условия для касательной компоненты электрического поля на поверхности вибратора. Интегралы в правой части любой строки системы (6.1) – это вклад в поле на поверхности одного из вибраторов от каждого из N элементов антенной решетки, таким образом, общее число интегралов в системе равно квадрату числа элементов решетки.

Полученная система (6.1) описывает в самосогласованной постановке систему из Nвибраторов с учетом взаимного влияния их друг на друга. В частном случае, при отсутствии взаимной связи (например, в случае значительного междуэлементного расстояния, т. е. при), ядра системы (6.1) стремятся к нулю. Легко убедиться, что в этом случае система распадается наNнезависимых систем относительно тока в каждом уединенном вибраторе (т.е. наNнезависимых уравнений Поклингтона).

6.2.2. Решение системы связанных иу

Система (6.1) является обобщением уравнения Поклингтона для одиночного элемента и решается в пять этапов:

1-й этап. Выбираем систему базисных функцийпо которым раскладывается предполагаемое решение на первом, втором иN-м вибраторах.

При этом возможна ситуация, в которой число базисных функций на каждом вибраторе неодинаково:, а их вид на разных вибраторах разный. Получается система уравнений

(6.3)

2-й этап. Подставляем разложение (6.3) в исходную систему интегральных уравнений (6.1) и, меняя порядок суммирования и интегрирования, получаем:

(6.4)

3-й этап. Формируем систему линейных алгебраических уравнений на основе метода Галеркина. На этом этапе конкретизируем и упростим ситуацию, будем считать, что ток на каждом вибраторе описывается тремя базисными функциями. Далее, последовательно умножив правую и левую части уравнений системы (6.4) на проекционные функции, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)M= 3Nпорядка относительно неизвестных базисных коэффициентов на каждом вибраторе:

(6.5)

Систему (6.5) можно переписать в более наглядном виде, введя сквозную нумерацию базисных функций и токов:

(6.6)

или в матричном виде – [U]=[Z][I]

Здесь – амплитуды напряжения, выражаемые через интегралы от напряженности стороннего электрического поля:, причем вектор-столбец левых частей для ВК имеет вид

,

где – напряжение дельта-источника, включенного в центре активного элемента (центральный сегмент активного элемента имеет 5-й порядковыйномер), остальные элементы вектора [U] равны нулю; элементы матрицы [Z] – обобщенных взаимных импедансов; [I] – вектор неизвестных базисных коэффициентов.

4-й этап. Решаем систему уравнений (6.6) любым известным способом, например методом Гаусса. В результате решения будут найдены базисные коэффициенты токов.

Рис. 6.7

5-й этап. По найденным коэффициентам на основе (6.3) восстанавлива­ется ток в каждом вибраторе, затем находится входное сопротивление актив­ного вибратора и ДН всей системы.

Результаты решения системы и вычисления ДН 5-элементной ВК (рис. 6.6)представлены на рис. 6.7.

Рассмотренный выше частный пример электродинамического анализа проволочных антенн можно легко алгоритмизировать в доступных математических пакетах.

Г

y

x

ораздо более удобной является реализация электродинамической модели в универсальных пакетах, специально разработанных для расчета характеристик проволочных структур достаточно общего вида. К таким пакетам относятся, прежде всего пакеты серииNEC, и их многочисленные вариации (winNEC,miniNEC,SuperNEC,MМANA).