
- •1. Введение в математический анализ. Числовая последовательность.
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •3. Монотонные последовательности.
- •4. Число е.
- •5. Связь натурального и десятичного логарифмов.
- •6. Предел функции в точке.
- •7. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
- •8. Основные теоремы о пределах.
- •9. Бесконечно малые функции.
- •10. Свойства бесконечно малых функций.
- •11. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •17. Свойства непрерывных функций.
- •18. Точки разрыва и их классификация.
- •19. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •20. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •21. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •26. Производные основных функций.
- •27. Производная сложной функции.
- •51. Критические точки.
- •59. Свойства неопределенного интеграла.
- •60. Таблица основных интегралов.
17. Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. (для частного кроме тех случаев, когда значение знаменателя равно нулю)
Пусть
функции
и
непрерывны на некотором множестве Х и
- любое значение из этого множества.
2)
Пусть функции
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
.
Тогдасложная
функция
,
состоящая из непрерывных функций,
непрерывна в точке
.
В силу непрерывности
функции
,
,
т.е. при
имеем
.
В следствии непрерывности функции
имеем :
3)
Если функция
непрерывна и строго монотонна на [a;b]
оси Ох, то обратная функция
также непрерывна и монотонна на
соответствующем отрезке [c;d]
оси Oy.
18. Точки разрыва и их классификация.
Точки,
в которых нарушается непрерывность
функции, называются точками
разрыва этой
функции. Если
- точка разрыва функции
,
то в ней не выполняется по крайней мере
одно из условий непрерывности функции.
Функция определена в окрестности точки
, но не определена в самой точке
.
Функция
определена в точке
и в ее окрестности, но не существует пределаf(x) при
Точка
называетсяточкой
разрыва первого рода
функции
,
если в этой точке существуют конечные
пределы слева и справа (односторонние
пределы), т.е.
и
.
При этом:
Если
, то точка
называетсяточкой устранимого разрыва.
Если
, то точка
называетсяточкой конечного разрыва
Величину
называютскачком
функции в
точке разрыва первого рода.
Точка
называетсяточкой
разрыва второго рода
функции
,
если по крайней мере один из односторонних
пределов не существует или равен
бесконечности.
19. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
Функция
называетсянепрерывной
на интервале
(a;b),
если она непрерывна в каждой точке
этого интервала.
Функция
называетсянепрерывной
на отрезке
[a;b],
если она непрерывна на отрезке (a;b)
и в точке
x
= a
непрерывна справа
,
а в точкеx
= b
непрерывна слева
.
20. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1) Теорема Вейрштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
1’) Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
2)
Теорема Больцано-Коши.
Если функция
непрерывна на отрезке [a;b]
и принимает на его концах неравные
значения f(a)
= A
и f(b)
= B,
то на этом отрезке она принимает и все
промежуточные значения между А и В.
2’)
Следствие.
Если функция
непрерывна на отрезке [a;b]
и принимает на его концах разные по
знаку значения, то внутри отрезка [a;b]
найдется хотя бы одна точка с, в которой
функция обращается в нуль. F(c)
= 0
21. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Производной
функции
в точке
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, при
условии, что приращение аргумента
стремится к нулю.
или
Функция
,
имеющая производную в каждой точке
интервала (a;b),
называется дифференцируемой
в этом интервале; операция нахождения
производной функции называется
дифференцированием.
22. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Физический смысл. Производная – скорость протекания процесса.
Геометрический
смысл.
Производная
в точке х равна угловому коэффициенту
касательной (тангенсу угла наклона) к
графику функции
в точке, абсцисса которой равна х.
23. Уравнение касательной и нормали к кривой.
Уравнение
касательной.
Уравнение
нормали.
24. Односторонние производные функции в точке.
Возьмем
функцию y
= |x|
в точке х=0.
,
.
В
таких случаях говорят, что функция
имеет односторонние производные(или
«производные слева и справа»), и
обозначают соответственно
и
.
Если,
значит, производная в точке не существует.
25. Основные правила дифференцирования.
Производная
суммы (разности)
двух функций равна сумме (разности)
производных этих функций.
.
Производная
произведения двух функций
равна произведению первого сомножителя
на второй плюс произведение первого
сомножителя на производную второго:
.
Производная
частного двух функций
равна дроби, числитель которой есть
разность произведения знаменателя
дроби на производную числителя и
числителя дроби на производную
знаменателя, а знаменатель есть квадрат
прежнего знаменателя:
.
Выполняется, когда
.