7. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Пусть
функция
определена на промежутке
.
Число А называется пределом функции
при
,
если для любого положительного
существует такое число
,
что для всех
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполнится неравенство
.
8. Основные теоремы о пределах.
1)
Предел суммы (разности)
двух функций равен сумме (разности) их
пределов.
Пусть
,
Тогда
по теореме о связи функции, ее предела
и б.м.ф. можно записать
и
.
Следовательно,
.
Здесь
- б.м.ф., как сума б.м.ф. По теореме о связи
функции, ее предела и б.м.ф. можно записать
,
т.е.
2) Функция имеет только один предел при
Пусть
,
Тогда
по предыдущей теореме
,
отсюда А = В.
3)
Предел произведения
(частного)
функций равен произведению (частному)
их пределов.
Доказательство аналогичного 1.
4)
Постоянный множитель
можно выносить из под знака предела.
5)
Предел степени с натуральным показателем
равен той же степени предела.
9. Бесконечно малые функции.
Функция
называется бесконечно
малой при
,
если
.
Б.м.ф.
часто называют бесконечно малыми
величинами или бесконечно малыми;
обозначают обычно греческими буквами
и т.п.
Алгебраическая сумма б.м.ф. есть б.м.ф.
Произведение ограниченной функции на б.м.ф. есть б.м.ф.
10. Свойства бесконечно малых функций.
Функция называется бесконечно малой при , если .
Алгебраическая сумма б.м.ф. есть б.м.ф.
Пусть
и
- две б.м.ф. при
.
Это значит, что
,
т.е. для любого
,
а значит, и
найдется число
,
такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству
,
выполняется неравенство
.
Тоже самое проделаем для
(
,
)
Пусть
- наименьшее из чисел
и
.
Тогда для всех х, удовлетворяющих
неравенству
,
выполняются неравенства
и
,
следовательно имеет место соотношение
,
таким образом
,
т.е.
- б.м.ф. при
Произведение ограниченной функции на б.м.ф. есть б.м.ф.
Пусть
функция
ограничена при
.
Тогда существует такое число
,
что
для всех х
-окрестности
точки
.
И пусть
- б.м.ф. при
.
Тогда для любого
,
а значит и
,
найдется такое число
,
что при всех х, удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
Пусть
- наименьшее из чисел
и
.
Тогда для всех х, удовлетворяющих
неравенству
,
выполняются неравенства
и
,
следовательно,
.
А это означает, что
- б.м.ф. при
11. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
Функция
называется бесконечно
большой при
,
если для любого числа
,
существует число
,
такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству
,
выполняется неравенство
.
Если
функция
- бесконечно малая (
),
то функция
есть бесконечно большая функция (и
наоборот).
12. Сравнение бесконечно малых функций.
Две
б.м.ф сравниваются между собой с помощью
их отношения. Пусть
и
есть б.м.ф. при
,
т.е.
и
.
1)
Если
,
то
и
называются бесконечно
малыми одного порядка.
2)
Если
,
то
называется бесконечно
малой более высокого порядка,
чем
.
3)
Если
,
то
называется бесконечно
малой более низкого порядка,
чем
.
4)
Если
не существует, то
и
называются несравнимыми
бесконечно малыми.
Такие
же сравнения и для случаев, когда
,
