7. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Пусть функция определена на промежутке. Число А называется пределом функциипри, если для любого положительногосуществует такое число, что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполнится неравенство.

8. Основные теоремы о пределах.

1) Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.

Пусть ,Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записатьи. Следовательно,. Здесь- б.м.ф., как сума б.м.ф. По теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать, т.е.

2) Функция имеет только один предел при

Пусть ,Тогда по предыдущей теореме, отсюда А = В.

3) Предел произведения (частного) функций равен произведению (частному) их пределов.

Доказательство аналогичного 1.

4) Постоянный множитель можно выносить из под знака предела.

5) Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.

9. Бесконечно малые функции.

Функция называетсябесконечно малой при , если.

Б.м.ф. часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами и т.п.

Алгебраическая сумма б.м.ф. есть б.м.ф.

Произведение ограниченной функции на б.м.ф. есть б.м.ф.

10. Свойства бесконечно малых функций.

Функция называетсябесконечно малой при , если.

Алгебраическая сумма б.м.ф. есть б.м.ф.

Пусть и- две б.м.ф. при. Это значит, что, т.е. для любого, а значит, инайдется число, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство. Тоже самое проделаем для(,)

Пусть - наименьшее из чисели. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству, выполняются неравенстваи, следовательно имеет место соотношение, таким образом, т.е.- б.м.ф. при

Произведение ограниченной функции на б.м.ф. есть б.м.ф.

Пусть функция ограничена при. Тогда существует такое число, чтодля всех х-окрестности точки. И пусть- б.м.ф. при. Тогда для любого, а значит и, найдется такое число, что при всех х, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство

Пусть - наименьшее из чисели. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству, выполняются неравенстваи, следовательно,. А это означает, что- б.м.ф. при

11. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Функция называетсябесконечно большой при , если для любого числа, существует число, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Если функция - бесконечно малая (), то функцияесть бесконечно большая функция (и наоборот).

12. Сравнение бесконечно малых функций.

Две б.м.ф сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть иесть б.м.ф. при, т.е.и.

1) Если , тоиназываютсябесконечно малыми одного порядка.

2) Если , тоназываетсябесконечно малой более высокого порядка, чем .

3) Если , тоназываетсябесконечно малой более низкого порядка, чем .

4) Если не существует, тоиназываютсянесравнимыми бесконечно малыми.

Такие же сравнения и для случаев, когда ,

13. Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1) Предел отношения двух б.м.ф. не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной бесконечно малой.

Пусть ипри, тогда

2) Разность б.м.ф. есть б.м.ф. более высокого порядка, чем каждая из них.

Пусть при, тогда, аналогично

3) Сумма конечного числа б.м.ф. разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Пусть иесть б.м.ф. при, причём- б.м.ф. высшего порядка, чем, т.е..

Тогда , следовательно,при.

14. Первый замечательный предел.

- первый замечательный предел

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радиальную меру угла MOB через х. Пусть . На рисунке, дугаMB численно равна центральному углу х, . Очевидно имеем.На основании соответствующих формул геометрии получаем, разделим неравенство на, получимили. Так каки, то по признаку о пределе промежуточной функции

15. Второй замечательный предел.

- второй замечательный предел

Мы знаем, что числовая последовательность имеет предел, равный е.

1. Пусть . Каждое значение х заключено между двумя целыми числами:,гдеn = {x} – целая часть х. Отсюда следует ,. Поэтому

Если , то, поэтому

,

По признаку о пределе промежуточной функции:

2. Пусть . Сделаем подстановку, тогда, следовательно

16. Непрерывность функции в точке.

Пусть функция определена в точкеи некоторой окрестности этой точки. Функцияназываетсянепрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке

Функция непрерывна, если выполняются 3 условия:

1. функция определена в точкеи в ее окрестности

2. функция имеет предел при

3. предел функции в точке равен значению функции в этой точке

Это значит, что при нахождении предела некоторой функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение .

Пример. .