Лекция №4. Случайные погрешности. Обработка результатов многократных измерений
1
Основные понятия, используемые при анализе случайных погрешностей
Математическое ожидание
n
M(x) x1p1 x2p2 ... xnpn xipi
|
n |
i 1 |
|
|
|
M(x) x |
xi |
|
i 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
Дисперсия |
СКО |
|||
|
n |
|
n |
|
|
(xi x)2 |
x D(x) |
(xi x)2 |
|
D(x) |
i 1 |
i 1 |
||
n 1 |
||||
n 1 |
||||
|
|
|||
2
Законы распределения случайных величин
Виды законов распределения
трапецеидальные |
|
семейство распределения |
|
Стьюдента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экспоненциальные |
уплощеные |
|
|
|
|
|
|
|
|
двухмодальные
3
Трапецеидальные распределения
p(x)
p(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
x1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
0 |
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Равномерное |
p(x) |
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2(x |
x1) |
|
Треугольное |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
p(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
x1 |
x |
x2 |
x |
Трапецеидальное
x x1 x2
2
4
Двухмодальные распределения
p(x)
p(x)
0 x1 |
|
|
x2 |
x |
x1 |
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
x |
1 |
||||||||
Двухмодальное |
|
Арксинусоидальное |
p(x) |
|
|||||
|
|
A2 x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5
Распределения Стьюдента
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
p(x) |
|
Г ( |
2) |
|
1 |
x2 |
2 |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Г (n |
1) |
|
n 1 |
|
||||||
|
(n 1) |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Г - Гамма-функция от аргумента числа измерений |
|||
Г (n) (n 1)! |
Г (1) 1; |
Г ( |
1) |
|
|
|
2 |
p(x)
0 |
x |
x |
6
Нормальное распределение |
||||||
|
p(x) |
1 |
|
|
(x x)2 |
|
|
2 |
exp |
2 |
|
||
|
x |
|
|
2 x |
|
|
p(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 0,95 |
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
x 0.95 |
|
x |
|
|
x 0.95 |
|
|
|
|
|
|||
7
Доверительная вероятность попадания случайной величины в интервал [a; b]
b |
b |
|
1 |
|
|
(x x)2 |
|
Р(a x b) p(x)dx |
|
||||||
|
exp |
|
2 |
dx |
|||
a |
a |
x |
2 |
|
|
2 x |
|
|
1 |
|
b |
|
|
|
(x x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
exp |
|
2 |
dx |
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
||||||||
|
2 a |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Сделаем подстановку |
|
||||||
|
|
|
|
x x |
|
|
|
a x |
|
|
b x |
|
|
|
t x 2 |
|
|
x 2 |
|
x 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Р(a x b) |
|
e t2 x |
2dt |
e t2 dt 1 |
Ф( ) Ф( ) |
|||
x |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
8
Функция Лапласа
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
0,5t2 |
||||
Ф(t) |
|
|
exp |
dt |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
9
Практическое применение связи между доверительной вероятностью и функциями Стьюдента и Лапласа
Если число измерений больше или равно 20
Pд = |
1 |
|
|
1 - |
|
|
2 + |
|
|
|
Ф |
c |
+ Ф |
c |
|
||||
|
2 |
|
|
σср |
|
|
σср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если число измерений меньше 20
|
1 c |
Pд Fn |
|
|
ср |
|
|
|
2 c |
|
Fn |
|
|
|
ср |
|
|
-1
СКО среднего арифметического
n |
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
||||
ср ( Xi X ) |
|
|
||||
|
n |
|||||
i 1 |
n(n 1) |
|
|
|||
10