Лекция-Корреляция-
.pdfЛЕКЦИЯ
КОРРЕЛЯЦИЯ
Понятия корреляции и регрессии впервые появились в работах К. Пирсона и Ф. Гальтона. Последний, исследуя зависимость между ростом родителей и их детей, выявил «регрессию к среднему» − рост у детей, чьи родители высокого роста, имел тенденцию «возвращаться» к средней величине.
Определение. Если изменение одной величины влечет за собой изменение распределения другой величины, то такая их зависимость называется статистической.
Определение. Если статистическая зависимость такова, что изменение одной величины влечет за собой изменение среднего значения (т.е. условного математического ожидания) другой величины, то она называется корреляционной зависимостью.
Определение. Условным
средним
y |
x |
|
называют среднее
арифметическое наблюдавшихся значений Y , соответствующих
X x.
Определение. Условным средним
x |
y |
|
называют среднее
арифметическое наблюдавшихся
значений |
X |
, соответствующих |
|
||
Y y. |
|
|
Определение.
Уравнение
yx |
y yx x x |
называется выборочным уравнением регрессии
Y
на
X
, где
|
|
|
|
|
* |
|
xy x y |
|||
|
|
r |
|
y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx |
B |
|
|
* |
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−
выборочный коэффициент регрессии, а его график − выборочной линией регрессии Y на X .
Определение. Уравнение
xy |
x xy y y |
называется выборочным уравнением регрессии
X
на
Y
,
где
|
|
|
|
|
* |
|
xy x y |
|||
|
|
r |
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
B |
|
|
* |
|
y |
|
y |
2 |
|
|
|
|
y |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−
выборочный коэффициент регрессии, а его график − выборочной линией регрессии X на Y .
Замечание. Выборочный коэффициент |
||
корреляции r |
|
− это оценка степени тесноты |
B |
|
|
линейной связи величин X и Y , а также |
||
* |
|
* |
величины x |
и y − выборочные средние |
|
квадратические отклонения вычисляются по
* |
|
x |
2 |
|
x |
2 |
* |
|
y |
2 |
|
y |
|
||||||||||||
формулам: x |
|
|
, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
xy x y |
. |
||||||
|
||||||||
B |
* * |
|||||||
|
|
|||||||
|
|
|
x y |
|||||
2
,
|
Свойства выборочного коэффициента корреляции: |
||
1. |
Коэффициент |
корреляции принимает значения на отрезке |
|
|
|
B |
к единице, тем теснее связь. |
|
1;1 , чем ближе r |
||
2. |
Если все значения переменных увеличить или уменьшить на |
||
одно и то же число или в одно и то же число раз, то величина выборочного коэффициента корреляции не изменится.
3. При значениях |
rB 1 |
корреляционная связь представляет |
собой линейную функциональную зависимость. При этом выборочные линии регрессии Y на X и X на Y совпадают, и все наблюденные значения располагаются на одной общей прямой.
4. При значении |
rB |
0 |
|
линейная корреляционная связь |
||
|
|
|
|
|
|
|
отсутствует. При этом |
|
yx |
xy , а линии выборочной регрессии |
|||
параллельны осям координат.